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Theorem climcn1 12386
Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcn1.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climcn1.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climcn1.3  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
climcn1.4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
climcn1.5  |-  ( ph  ->  G  ~~>  A )
climcn1.6  |-  ( ph  ->  H  e.  W )
climcn1.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  B  ( ( abs `  ( z  -  A
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
climcn1.8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  B )
climcn1.9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  =  ( F `  ( G `  k ) ) )
Assertion
Ref Expression
climcn1  |-  ( ph  ->  H  ~~>  ( F `  A ) )
Distinct variable groups:    x, k,
y, z, A    B, k, z    k, G, y, z    k, H, x   
k, F, x, y, z    ph, k, x, y, z    k, Z, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)    G( x)    H( y, z)    M( x, y, z, k)    W( x, y, z, k)    Z( x, z)

Proof of Theorem climcn1
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climcn1.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  B  ( ( abs `  ( z  -  A
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
2 climcn1.1 . . . . . . . 8  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
3 climcn1.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
43adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  M  e.  ZZ )
5 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  y  e.  RR+ )
6 eqidd 2438 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  k ) )
7 climcn1.5 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  ~~>  A )
87adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  G  ~~>  A )
92, 4, 5, 6, 8climi2 12306 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y )
102uztrn2 10504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
11 climcn1.8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  B )
1211adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  B )
13 oveq1 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( G `  k )  ->  (
z  -  A )  =  ( ( G `
 k )  -  A ) )
1413fveq2d 5733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( G `  k )  ->  ( abs `  ( z  -  A ) )  =  ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) ) )
1514breq1d 4223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( G `  k )  ->  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( G `  k )  -  A
) )  <  y
) )
16 fveq2 5729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( G `  k )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  ( G `  k ) ) )
1716oveq1d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( G `  k )  ->  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) )  =  ( ( F `
 ( G `  k ) )  -  ( F `  A ) ) )
1817fveq2d 5733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( G `  k )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  ( F `  A ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  ( G `
 k ) )  -  ( F `  A ) ) ) )
1918breq1d 4223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( G `  k )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  ( G `  k ) )  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
2015, 19imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( G `  k )  ->  (
( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x )  <-> 
( ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  ( G `  k )
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) ) )
2120rspcva 3051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G `  k
)  e.  B  /\  A. z  e.  B  ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )  ->  ( ( abs `  ( ( G `
 k )  -  A ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  ( G `  k ) )  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
2212, 21sylan 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z )  /\  A. z  e.  B  ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )  ->  ( ( abs `  ( ( G `
 k )  -  A ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  ( G `  k ) )  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
2322an32s 781 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  B  ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  ( G `  k )
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
2410, 23sylan2 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  B  ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  ( G `  k )
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
2524anassrs 631 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  B  ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  ( ( G `
 k )  -  A ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  ( G `  k ) )  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
2625ralimdva 2785 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  B  ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( G `  k )  -  A ) )  <  y  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  ( G `  k )
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
2726reximdva 2819 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  B  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( G `  k )  -  A
) )  <  y  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  ( G `
 k ) )  -  ( F `  A ) ) )  <  x ) )
2827ex 425 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( A. z  e.  B  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  ( G `
 k ) )  -  ( F `  A ) ) )  <  x ) ) )
299, 28mpid 40 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( A. z  e.  B  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  ( G `
 k ) )  -  ( F `  A ) ) )  <  x ) )
3029rexlimdva 2831 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  B  ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  ( G `
 k ) )  -  ( F `  A ) ) )  <  x ) )
3130adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  B  ( ( abs `  ( z  -  A ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  A )
) )  <  x
)  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  ( G `  k )
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
321, 31mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  ( G `  k )
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x )
3332ralrimiva 2790 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  ( G `  k ) )  -  ( F `
 A ) ) )  <  x )
34 climcn1.6 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  W )
35 climcn1.9 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  =  ( F `  ( G `  k ) ) )
36 climcn1.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
37 climcn1.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
3837ralrimiva 2790 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  B  ( F `  z )  e.  CC )
39 fveq2 5729 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  ( F `  z )  =  ( F `  A ) )
4039eleq1d 2503 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  (
( F `  z
)  e.  CC  <->  ( F `  A )  e.  CC ) )
4140rspcv 3049 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  ( A. z  e.  B  ( F `  z )  e.  CC  ->  ( F `  A )  e.  CC ) )
4236, 38, 41sylc 59 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  e.  CC )
4338adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A. z  e.  B  ( F `  z )  e.  CC )
4416eleq1d 2503 . . . . 5  |-  ( z  =  ( G `  k )  ->  (
( F `  z
)  e.  CC  <->  ( F `  ( G `  k
) )  e.  CC ) )
4544rspcv 3049 . . . 4  |-  ( ( G `  k )  e.  B  ->  ( A. z  e.  B  ( F `  z )  e.  CC  ->  ( F `  ( G `  k ) )  e.  CC ) )
4611, 43, 45sylc 59 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  ( G `  k ) )  e.  CC )
472, 3, 34, 35, 42, 46clim2c 12300 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  ~~>  ( F `
 A )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  ( G `  k )
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
4833, 47mpbird 225 1  |-  ( ph  ->  H  ~~>  ( F `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706   E.wrex 2707   class class class wbr 4213   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   CCcc 8989    < clt 9121    - cmin 9292   ZZcz 10283   ZZ>=cuz 10489   RR+crp 10613   abscabs 12040    ~~> cli 12279
This theorem is referenced by:  climcn1lem  12397  climcncf  18931  climrec  27706
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-neg 9295  df-z 10284  df-uz 10490  df-clim 12283
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