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Theorem climcn2 12082
Description: Image of a limit under a continuous map, two-arg version. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcn2.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climcn2.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climcn2.3a  |-  ( ph  ->  A  e.  C )
climcn2.3b  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
climcn2.4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  C  /\  v  e.  D ) )  -> 
( u F v )  e.  CC )
climcn2.5a  |-  ( ph  ->  G  ~~>  A )
climcn2.5b  |-  ( ph  ->  H  ~~>  B )
climcn2.6  |-  ( ph  ->  K  e.  W )
climcn2.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( ( ( abs `  ( u  -  A
) )  <  y  /\  ( abs `  (
v  -  B ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
climcn2.8a  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  C )
climcn2.8b  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  e.  D )
climcn2.9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( K `  k )  =  ( ( G `
 k ) F ( H `  k
) ) )
Assertion
Ref Expression
climcn2  |-  ( ph  ->  K  ~~>  ( A F B ) )
Distinct variable groups:    u, k,
v, C    D, k, u, v    y, k, z, H, v    x, k,
ph, u, y, z, v    A, k, u, v, x, y, z    k, G, u, v, y, z   
k, K, x    k, Z, y, z    B, k, u, v, x, y, z    k, F, u, v, x, y, z
Allowed substitution hints:    C( x, y, z)    D( x, y, z)    G( x)    H( x, u)    K( y, z, v, u)    M( x, y, z, v, u, k)    W( x, y, z, v, u, k)    Z( x, v, u)

Proof of Theorem climcn2
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climcn2.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( ( ( abs `  ( u  -  A
) )  <  y  /\  ( abs `  (
v  -  B ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
2 climcn2.1 . . . . . . . . 9  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
3 climcn2.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
43adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  M  e.  ZZ )
5 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  y  e.  RR+ )
6 eqidd 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k
)  =  ( G `
 k ) )
7 climcn2.5a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  ~~>  A )
87adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  G  ~~>  A )
92, 4, 5, 6, 8climi2 12001 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y )
10 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  z  e.  RR+ )
11 eqidd 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k
)  =  ( H `
 k ) )
12 climcn2.5b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  H  ~~>  B )
1312adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  H  ~~>  B )
142, 4, 10, 11, 13climi2 12001 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( H `  k
)  -  B ) )  <  z )
152rexanuz2 11849 . . . . . . . 8  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( abs `  ( ( G `  k )  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `
 k )  -  B ) )  < 
z )  <->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( G `  k )  -  A
) )  <  y  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( H `  k )  -  B ) )  <  z ) )
169, 14, 15sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `  k )  -  B ) )  <  z ) )
172uztrn2 10261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
18 climcn2.8a . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  C )
19 climcn2.8b . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  e.  D )
20 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  =  ( G `  k )  ->  (
u  -  A )  =  ( ( G `
 k )  -  A ) )
2120fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  =  ( G `  k )  ->  ( abs `  ( u  -  A ) )  =  ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) ) )
2221breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  =  ( G `  k )  ->  (
( abs `  (
u  -  A ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( G `  k )  -  A
) )  <  y
) )
2322anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  ( G `  k )  ->  (
( ( abs `  (
u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  <  z )  <->  ( ( abs `  ( ( G `
 k )  -  A ) )  < 
y  /\  ( abs `  ( v  -  B
) )  <  z
) ) )
24 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  =  ( G `  k )  ->  (
u F v )  =  ( ( G `
 k ) F v ) )
2524oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  =  ( G `  k )  ->  (
( u F v )  -  ( A F B ) )  =  ( ( ( G `  k ) F v )  -  ( A F B ) ) )
2625fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  =  ( G `  k )  ->  ( abs `  ( ( u F v )  -  ( A F B ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( G `  k
) F v )  -  ( A F B ) ) ) )
2726breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  ( G `  k )  ->  (
( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( ( G `
 k ) F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
2823, 27imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  ( G `  k )  ->  (
( ( ( abs `  ( u  -  A
) )  <  y  /\  ( abs `  (
v  -  B ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x )  <-> 
( ( ( abs `  ( ( G `  k )  -  A
) )  <  y  /\  ( abs `  (
v  -  B ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( G `  k ) F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) ) )
29 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  ( H `  k )  ->  (
v  -  B )  =  ( ( H `
 k )  -  B ) )
3029fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  ( H `  k )  ->  ( abs `  ( v  -  B ) )  =  ( abs `  (
( H `  k
)  -  B ) ) )
3130breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  ( H `  k )  ->  (
( abs `  (
v  -  B ) )  <  z  <->  ( abs `  ( ( H `  k )  -  B
) )  <  z
) )
3231anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  ( H `  k )  ->  (
( ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  <  z )  <->  ( ( abs `  ( ( G `
 k )  -  A ) )  < 
y  /\  ( abs `  ( ( H `  k )  -  B
) )  <  z
) ) )
33 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  ( H `  k )  ->  (
( G `  k
) F v )  =  ( ( G `
 k ) F ( H `  k
) ) )
3433oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  ( H `  k )  ->  (
( ( G `  k ) F v )  -  ( A F B ) )  =  ( ( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )
3534fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  ( H `  k )  ->  ( abs `  ( ( ( G `  k ) F v )  -  ( A F B ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( G `  k
) F ( H `
 k ) )  -  ( A F B ) ) ) )
3635breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  ( H `  k )  ->  (
( abs `  (
( ( G `  k ) F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( ( G `
 k ) F ( H `  k
) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
3732, 36imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( H `  k )  ->  (
( ( ( abs `  ( ( G `  k )  -  A
) )  <  y  /\  ( abs `  (
v  -  B ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( G `  k ) F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x )  <-> 
( ( ( abs `  ( ( G `  k )  -  A
) )  <  y  /\  ( abs `  (
( H `  k
)  -  B ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) ) )
3828, 37rspc2v 2903 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G `  k
)  e.  C  /\  ( H `  k )  e.  D )  -> 
( A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( ( ( abs `  ( u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x
)  ->  ( (
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `  k )  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) ) )
3918, 19, 38syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( ( ( abs `  ( u  -  A
) )  <  y  /\  ( abs `  (
v  -  B ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x )  ->  ( ( ( abs `  ( ( G `  k )  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `
 k )  -  B ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x
) ) )
4039imp 418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  A. u  e.  C  A. v  e.  D  (
( ( abs `  (
u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )  ->  ( (
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `  k )  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
4140an32s 779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  C  A. v  e.  D  (
( ( abs `  (
u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `  k )  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
4217, 41sylan2 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  C  A. v  e.  D  (
( ( abs `  (
u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `  k )  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
4342anassrs 629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. u  e.  C  A. v  e.  D  (
( ( abs `  (
u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `  k )  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
4443ralimdva 2634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  C  A. v  e.  D  (
( ( abs `  (
u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `  k )  -  B ) )  <  z )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( ( G `  k
) F ( H `
 k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
4544reximdva 2668 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( (
( abs `  (
u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( abs `  ( ( G `  k )  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `
 k )  -  B ) )  < 
z )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
4645ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( ( ( abs `  ( u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x
)  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( abs `  ( ( G `  k )  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `
 k )  -  B ) )  < 
z )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) ) )
4746adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  ( A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( ( ( abs `  ( u  -  A
) )  <  y  /\  ( abs `  (
v  -  B ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `  k )  -  B ) )  <  z )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( ( G `  k
) F ( H `
 k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) ) )
4816, 47mpid 37 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  ( A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( ( ( abs `  ( u  -  A
) )  <  y  /\  ( abs `  (
v  -  B ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( ( G `  k
) F ( H `
 k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
4948rexlimdvva 2687 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  C  A. v  e.  D  (
( ( abs `  (
u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( ( G `  k
) F ( H `
 k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
5049adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( ( ( abs `  ( u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x
)  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
511, 50mpd 14 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x )
5251ralrimiva 2639 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( ( G `
 k ) F ( H `  k
) )  -  ( A F B ) ) )  <  x )
53 climcn2.6 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  W )
54 climcn2.9 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( K `  k )  =  ( ( G `
 k ) F ( H `  k
) ) )
55 climcn2.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  C  /\  v  e.  D ) )  -> 
( u F v )  e.  CC )
56 climcn2.3a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  C )
57 climcn2.3b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
5855, 56, 57caovcld 6029 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A F B )  e.  CC )
5918, 19jca 518 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( G `  k
)  e.  C  /\  ( H `  k )  e.  D ) )
6055ralrimivva 2648 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( u F v )  e.  CC )
6160adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( u F v )  e.  CC )
6224eleq1d 2362 . . . . 5  |-  ( u  =  ( G `  k )  ->  (
( u F v )  e.  CC  <->  ( ( G `  k ) F v )  e.  CC ) )
6333eleq1d 2362 . . . . 5  |-  ( v  =  ( H `  k )  ->  (
( ( G `  k ) F v )  e.  CC  <->  ( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  e.  CC ) )
6462, 63rspc2v 2903 . . . 4  |-  ( ( ( G `  k
)  e.  C  /\  ( H `  k )  e.  D )  -> 
( A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( u F v )  e.  CC  ->  ( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  e.  CC ) )
6559, 61, 64sylc 56 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( G `  k
) F ( H `
 k ) )  e.  CC )
662, 3, 53, 54, 58, 65clim2c 11995 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  ~~>  ( A F B )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
6752, 66mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  K  ~~>  ( A F B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751    < clt 8883    - cmin 9053   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   abscabs 11735    ~~> cli 11974
This theorem is referenced by:  climadd  12121  climmul  12122  climsub  12123
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-neg 9056  df-z 10041  df-uz 10247  df-clim 11978
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