MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climcnds Unicode version

Theorem climcnds 12401
Description: The Cauchy condensation test. If  a ( k ) is a decreasing sequence of nonnegative terms, then  sum_ k  e.  NN a ( k ) converges iff  sum_ n  e. 
NN0 2 ^ n  x.  a ( 2 ^ n ) converges. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcnds.1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  RR )
climcnds.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( F `  k
) )
climcnds.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( F `  k
) )
climcnds.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  =  ( ( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
climcnds  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  seq  0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  ) )
Distinct variable groups:    k, n, F    k, G, n    ph, k, n

Proof of Theorem climcnds
Dummy variables  j  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10352 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10142 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
32a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )  -> 
1  e.  ZZ )
42a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
5 nnnn0 10061 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
6 climcnds.4 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  =  ( ( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) ) )
7 2nn 9966 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN
8 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  NN0 )
9 nnexpcl 11206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ n
)  e.  NN )
107, 8, 9sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ n )  e.  NN )
1110nnred 9848 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ n )  e.  RR )
12 climcnds.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  RR )
1312ralrimiva 2702 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR )
1413adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR )
15 fveq2 5605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( 2 ^ n )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( 2 ^ n
) ) )
1615eleq1d 2424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( 2 ^ n )  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  ( 2 ^ n
) )  e.  RR ) )
1716rspcv 2956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2 ^ n )  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  ( 2 ^ n ) )  e.  RR ) )
1810, 14, 17sylc 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( 2 ^ n
) )  e.  RR )
1911, 18remulcld 8950 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ n )  x.  ( F `  ( 2 ^ n
) ) )  e.  RR )
206, 19eqeltrd 2432 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  e.  RR )
215, 20sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( G `
 n )  e.  RR )
221, 4, 21serfre 11164 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  G ) : NN --> RR )
2322adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )  ->  seq  1 (  +  ,  G ) : NN --> RR )
24 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN )
2524, 1syl6eleq 2448 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
26 nnz 10134 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ZZ )
2726adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ZZ )
28 uzid 10331 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
29 peano2uz 10361 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  j )
)
3027, 28, 293syl 18 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  j )
)
31 simpl 443 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ph )
32 elfznn 10908 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( j  +  1 ) )  ->  n  e.  NN )
3331, 32, 21syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... (
j  +  1 ) ) )  ->  ( G `  n )  e.  RR )
34 simpll 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( ( j  +  1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  ph )
35 elfz1eq 10896 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ( j  +  1 ) ... ( j  +  1 ) )  ->  n  =  ( j  +  1 ) )
3635adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( ( j  +  1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  n  =  ( j  +  1 ) )
37 nnnn0 10061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  NN0 )
38 peano2nn0 10093 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( j  +  1 )  e. 
NN0 )
3937, 38syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN0 )
4039ad2antlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( ( j  +  1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  (
j  +  1 )  e.  NN0 )
4136, 40eqeltrd 2432 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( ( j  +  1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
4210nnnn0d 10107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ n )  e. 
NN0 )
4342nn0ge0d 10110 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( 2 ^ n ) )
44 climcnds.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( F `  k
) )
4544ralrimiva 2702 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  0  <_  ( F `  k ) )
4645adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  NN  0  <_  ( F `  k )
)
4715breq2d 4114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( 2 ^ n )  ->  (
0  <_  ( F `  k )  <->  0  <_  ( F `  ( 2 ^ n ) ) ) )
4847rspcv 2956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2 ^ n )  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  0  <_  ( F `  k )  ->  0  <_  ( F `  (
2 ^ n ) ) ) )
4910, 46, 48sylc 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( F `  ( 2 ^ n ) ) )
5011, 18, 43, 49mulge0d 9436 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( ( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) ) )
5150, 6breqtrrd 4128 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( G `  n ) )
5234, 41, 51syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( ( j  +  1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  0  <_  ( G `  n
) )
5325, 30, 33, 52sermono 11167 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j
)  <_  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) ) )
5453adantlr 695 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  j )  <_  (  seq  1 (  +  ,  G ) `
 ( j  +  1 ) ) )
55 2re 9902 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
56 eqidd 2359 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
5712adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
58 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
591, 3, 56, 57, 58isumrecl 12319 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )  ->  sum_ k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR )
60 remulcl 8909 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  sum_ k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR )  ->  (
2  x.  sum_ k  e.  NN  ( F `  k ) )  e.  RR )
6155, 59, 60sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )  -> 
( 2  x.  sum_ k  e.  NN  ( F `  k )
)  e.  RR )
62 ffvelrn 5743 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  G ) : NN --> RR  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j
)  e.  RR )
6323, 62sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  j )  e.  RR )
641, 4, 12serfre 11164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> RR )
6564ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> RR )
6637adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN0 )
67 nnexpcl 11206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ j
)  e.  NN )
687, 66, 67sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ j )  e.  NN )
69 ffvelrn 5743 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> RR  /\  (
2 ^ j )  e.  NN )  -> 
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( 2 ^ j ) )  e.  RR )
7065, 68, 69syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ j ) )  e.  RR )
71 remulcl 8909 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( 2 ^ j
) )  e.  RR )  ->  ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( 2 ^ j ) ) )  e.  RR )
7255, 70, 71sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( 2 ^ j ) ) )  e.  RR )
7361adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x. 
sum_ k  e.  NN  ( F `  k ) )  e.  RR )
74 climcnds.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( F `  k
) )
7512, 44, 74, 6climcndslem2 12400 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j
)  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ j ) ) ) )
7675adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  j )  <_  ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) ) ) )
77 eqidd 2359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... ( 2 ^ j ) ) )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
7868, 1syl6eleq 2448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ j )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
79 simpll 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ph )
80 elfznn 10908 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( 2 ^ j
) )  ->  k  e.  NN )
8112recnd 8948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  CC )
8279, 80, 81syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... ( 2 ^ j ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
8377, 78, 82fsumser 12294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2 ^ j ) ) ( F `  k
)  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) ) )
842a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  1  e.  ZZ )
85 fzfid 11124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1 ... ( 2 ^ j
) )  e.  Fin )
8680ssriv 3260 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... ( 2 ^ j ) )  C_  NN
8786a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1 ... ( 2 ^ j
) )  C_  NN )
88 eqidd 2359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
8957adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
9079, 44sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( F `  k )
)
91 simplr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
921, 84, 85, 87, 88, 89, 90, 91isumless 12395 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2 ^ j ) ) ( F `  k
)  <_  sum_ k  e.  NN  ( F `  k ) )
9383, 92eqbrtrrd 4124 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ j ) )  <_  sum_ k  e.  NN  ( F `  k ) )
9459adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR )
9555a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
96 2pos 9915 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  2
9796a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  0  <  2
)
98 lemul2 9696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( 2 ^ j ) )  e.  RR  /\  sum_ k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) )  <_  sum_ k  e.  NN  ( F `  k )  <->  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ j ) ) )  <_  ( 2  x.  sum_ k  e.  NN  ( F `  k ) ) ) )
9970, 94, 95, 97, 98syl112anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) )  <_  sum_ k  e.  NN  ( F `  k )  <->  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ j ) ) )  <_  ( 2  x.  sum_ k  e.  NN  ( F `  k ) ) ) )
10093, 99mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( 2 ^ j ) ) )  <_  ( 2  x. 
sum_ k  e.  NN  ( F `  k ) ) )
10163, 72, 73, 76, 100letrd 9060 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  j )  <_  ( 2  x.  sum_ k  e.  NN  ( F `  k )
) )
102101ralrimiva 2702 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )  ->  A. j  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j )  <_  (
2  x.  sum_ k  e.  NN  ( F `  k ) ) )
103 breq2 4106 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( 2  x. 
sum_ k  e.  NN  ( F `  k ) )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j
)  <_  x  <->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j
)  <_  ( 2  x.  sum_ k  e.  NN  ( F `  k ) ) ) )
104103ralbidv 2639 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( 2  x. 
sum_ k  e.  NN  ( F `  k ) )  ->  ( A. j  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j
)  <_  x  <->  A. j  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  j )  <_  ( 2  x.  sum_ k  e.  NN  ( F `  k )
) ) )
105104rspcev 2960 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  x.  sum_ k  e.  NN  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  A. j  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j
)  <_  ( 2  x.  sum_ k  e.  NN  ( F `  k ) ) )  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  j )  <_  x )
10661, 102, 105syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j
)  <_  x )
1071, 3, 23, 54, 106climsup 12233 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )  ->  seq  1 (  +  ,  G )  ~~>  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  G ) ,  RR ,  <  )
)
108 climrel 12056 . . . . 5  |-  Rel  ~~>
109108releldmi 4994 . . . 4  |-  (  seq  1 (  +  ,  G )  ~~>  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  G ) ,  RR ,  <  )  ->  seq  1 (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
110107, 109syl 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )  ->  seq  1 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )
111 nn0uz 10351 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
112 1nn0 10070 . . . . . 6  |-  1  e.  NN0
113112a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  NN0 )
11420recnd 8948 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  e.  CC )
115111, 113, 114iserex 12220 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  <->  seq  1
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  ) )
116115biimpar 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )  ->  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )
117110, 116syldan 456 . 2  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )  ->  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )
1182a1i 10 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  seq  0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )  -> 
1  e.  ZZ )
11964adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  seq  0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )  ->  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> RR )
120 elfznn 10908 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( j  +  1 ) )  ->  k  e.  NN )
12131, 120, 12syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... (
j  +  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
122 simpll 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  ph )
123 peano2nn 9845 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN )
124123adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  e.  NN )
125 elfz1eq 10896 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( j  +  1 ) ... ( j  +  1 ) )  ->  k  =  ( j  +  1 ) )
126 eleq1 2418 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
k  e.  NN  <->  ( j  +  1 )  e.  NN ) )
127126biimparc 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  NN  /\  k  =  ( j  +  1 ) )  ->  k  e.  NN )
128124, 125, 127syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
129122, 128, 44syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  0  <_  ( F `  k
) )
13025, 30, 121, 129sermono 11167 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  j
)  <_  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
j  +  1 ) ) )
131130adantlr 695 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  j )  <_  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( j  +  1 ) ) )
132 0z 10124 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
133132a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  seq  0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )  -> 
0  e.  ZZ )
134 eqidd 2359 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  =  ( G `  n ) )
13520adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  e.  RR )
136 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  seq  0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )  ->  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )
137111, 133, 134, 135, 136isumrecl 12319 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq  0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )  ->  sum_ n  e.  NN0  ( G `  n )  e.  RR )
138 ffvelrn 5743 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> RR  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  j
)  e.  RR )
139119, 138sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  j )  e.  RR )
140132a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
141111, 140, 20serfre 11164 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  G ) : NN0 --> RR )
142141adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq  0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )  ->  seq  0 (  +  ,  G ) : NN0 --> RR )
143 ffvelrn 5743 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  0 (  +  ,  G ) : NN0 --> RR  /\  j  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  j
)  e.  RR )
144142, 37, 143syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  0
(  +  ,  G
) `  j )  e.  RR )
145137adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  sum_ n  e.  NN0  ( G `  n )  e.  RR )
146119adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> RR )
147 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN )
14826adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ZZ )
14939adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  e.  NN0 )
150149nn0red 10108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  e.  RR )
151 nnexpcl 11206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  ( j  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  e.  NN )
1527, 149, 151sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  NN )
153152nnred 9848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  RR )
154 2z 10143 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  ZZ
155 uzid 10331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
156154, 155ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
157 bernneq3 11319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
j  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( j  +  1 )  <  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
158156, 149, 157sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  <  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) )
159150, 153, 158ltled 9054 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  <_  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) )
160148peano2zd 10209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  e.  ZZ )
161152nnzd 10205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ZZ )
162 eluz 10330 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) )  <-> 
( j  +  1 )  <_  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
163160, 161, 162syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) )  <-> 
( j  +  1 )  <_  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
164159, 163mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  (
ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )
165 eluzp1m1 10340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  -> 
( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  j ) )
166148, 164, 165syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 )  e.  (
ZZ>= `  j ) )
1671uztrn2 10334 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  NN  /\  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  e.  NN )
168147, 166, 167syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 )  e.  NN )
169 ffvelrn 5743 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> RR  /\  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 )  e.  NN )  -> 
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) )  e.  RR )
170146, 168, 169syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  RR )
17125adantlr 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
172 simpll 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ph )
173 elfznn 10908 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  k  e.  NN )
174172, 173, 12syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
175172adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ph )
176123adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  e.  NN )
177 elfzuz 10883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ( j  +  1 ) ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )
1781uztrn2 10334 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  -> 
k  e.  NN )
179176, 177, 178syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
180175, 179, 44syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  0  <_  ( F `  k ) )
181171, 166, 174, 180sermono 11167 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  j )  <_  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) ) )
18237adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN0 )
18312, 44, 74, 6climcndslem1 12399 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  j
) )
184172, 182, 183syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq  0
(  +  ,  G
) `  j )
)
185139, 170, 144, 181, 184letrd 9060 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  j )  <_  (  seq  0 (  +  ,  G ) `
 j ) )
186 eqidd 2359 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 0 ... j ) )  ->  ( G `  n )  =  ( G `  n ) )
187182, 111syl6eleq 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
188 elfznn0 10911 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 0 ... j )  ->  n  e.  NN0 )
189172, 188, 114syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 0 ... j ) )  ->  ( G `  n )  e.  CC )
190186, 187, 189fsumser 12294 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... j ) ( G `  n
)  =  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  j
) )
191132a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  0  e.  ZZ )
192 fzfid 11124 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 0 ... j )  e.  Fin )
193188ssriv 3260 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... j )  C_  NN0
194193a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 0 ... j )  C_  NN0 )
195 eqidd 2359 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  =  ( G `  n ) )
196172, 20sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  e.  RR )
197172, 51sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( G `  n )
)
198 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )
199111, 191, 192, 194, 195, 196, 197, 198isumless 12395 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... j ) ( G `  n
)  <_  sum_ n  e. 
NN0  ( G `  n ) )
200190, 199eqbrtrrd 4124 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  0
(  +  ,  G
) `  j )  <_ 
sum_ n  e.  NN0  ( G `  n ) )
201139, 144, 145, 185, 200letrd 9060 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  j )  <_ 
sum_ n  e.  NN0  ( G `  n ) )
202201ralrimiva 2702 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq  0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )  ->  A. j  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  j )  <_  sum_ n  e.  NN0  ( G `  n ) )
203 breq2 4106 . . . . . . 7  |-  ( x  =  sum_ n  e.  NN0  ( G `  n )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  j
)  <_  x  <->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  j
)  <_  sum_ n  e. 
NN0  ( G `  n ) ) )
204203ralbidv 2639 . . . . . 6  |-  ( x  =  sum_ n  e.  NN0  ( G `  n )  ->  ( A. j  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  j )  <_  x  <->  A. j  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  j )  <_  sum_ n  e.  NN0  ( G `  n ) ) )
205204rspcev 2960 . . . . 5  |-  ( (
sum_ n  e.  NN0  ( G `  n )  e.  RR  /\  A. j  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  j
)  <_  sum_ n  e. 
NN0  ( G `  n ) )  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  j
)  <_  x )
206137, 202, 205syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  seq  0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  j
)  <_  x )
2071, 118, 119, 131, 206climsup 12233 . . 3  |-  ( (
ph  /\  seq  0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )
)
208108releldmi 4994 . . 3  |-  (  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
209207, 208syl 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  seq  0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
210117, 209impbida 805 1  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  seq  0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   E.wrex 2620    C_ wss 3228   class class class wbr 4102   dom cdm 4768   ran crn 4769   -->wf 5330   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   supcsup 7280   CCcc 8822   RRcr 8823   0cc0 8824   1c1 8825    + caddc 8827    x. cmul 8829    < clt 8954    <_ cle 8955    - cmin 9124   NNcn 9833   2c2 9882   NN0cn0 10054   ZZcz 10113   ZZ>=cuz 10319   ...cfz 10871    seq cseq 11135   ^cexp 11194    ~~> cli 12048   sum_csu 12249
This theorem is referenced by:  harmonic  12408  zetacvg  24048
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-inf2 7429  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-se 4432  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-isom 5343  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-oadd 6567  df-er 6744  df-pm 6860  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-sup 7281  df-oi 7312  df-card 7659  df-cda 7881  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-rp 10444  df-ico 10751  df-fz 10872  df-fzo 10960  df-fl 11014  df-seq 11136  df-exp 11195  df-hash 11428  df-cj 11674  df-re 11675  df-im 11676  df-sqr 11810  df-abs 11811  df-clim 12052  df-rlim 12053  df-sum 12250
  Copyright terms: Public domain W3C validator