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Theorem climcnds 12310
Description: The Cauchy condensation test. If  a ( k ) is a decreasing sequence of nonnegative terms, then  sum_ k  e.  NN a ( k ) converges iff  sum_ n  e. 
NN0 2 ^ n  x.  a ( 2 ^ n ) converges. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcnds.1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  RR )
climcnds.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( F `  k
) )
climcnds.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( F `  k
) )
climcnds.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  =  ( ( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
climcnds  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  seq  0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  ) )
Distinct variable groups:    k, n, F    k, G, n    ph, k, n

Proof of Theorem climcnds
Dummy variables  j  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10263 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10053 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
32a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )  -> 
1  e.  ZZ )
42a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
5 nnnn0 9972 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
6 climcnds.4 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  =  ( ( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) ) )
7 2nn 9877 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN
8 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  NN0 )
9 nnexpcl 11116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ n
)  e.  NN )
107, 8, 9sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ n )  e.  NN )
1110nnred 9761 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ n )  e.  RR )
12 climcnds.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  RR )
1312ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR )
1413adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR )
15 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( 2 ^ n )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( 2 ^ n
) ) )
1615eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( 2 ^ n )  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  ( 2 ^ n
) )  e.  RR ) )
1716rspcv 2880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2 ^ n )  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  ( 2 ^ n ) )  e.  RR ) )
1810, 14, 17sylc 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( 2 ^ n
) )  e.  RR )
1911, 18remulcld 8863 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ n )  x.  ( F `  ( 2 ^ n
) ) )  e.  RR )
206, 19eqeltrd 2357 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  e.  RR )
215, 20sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( G `
 n )  e.  RR )
221, 4, 21serfre 11075 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  G ) : NN --> RR )
2322adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )  ->  seq  1 (  +  ,  G ) : NN --> RR )
24 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN )
2524, 1syl6eleq 2373 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
26 nnz 10045 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ZZ )
2726adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ZZ )
28 uzid 10242 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
29 peano2uz 10272 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  j )
)
3027, 28, 293syl 18 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  j )
)
31 simpl 443 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ph )
32 elfznn 10819 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( j  +  1 ) )  ->  n  e.  NN )
3331, 32, 21syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... (
j  +  1 ) ) )  ->  ( G `  n )  e.  RR )
34 simpll 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( ( j  +  1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  ph )
35 elfz1eq 10807 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ( j  +  1 ) ... ( j  +  1 ) )  ->  n  =  ( j  +  1 ) )
3635adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( ( j  +  1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  n  =  ( j  +  1 ) )
37 nnnn0 9972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  NN0 )
38 peano2nn0 10004 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( j  +  1 )  e. 
NN0 )
3937, 38syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN0 )
4039ad2antlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( ( j  +  1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  (
j  +  1 )  e.  NN0 )
4136, 40eqeltrd 2357 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( ( j  +  1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
4210nnnn0d 10018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ n )  e. 
NN0 )
4342nn0ge0d 10021 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( 2 ^ n ) )
44 climcnds.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( F `  k
) )
4544ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  0  <_  ( F `  k ) )
4645adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  NN  0  <_  ( F `  k )
)
4715breq2d 4035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( 2 ^ n )  ->  (
0  <_  ( F `  k )  <->  0  <_  ( F `  ( 2 ^ n ) ) ) )
4847rspcv 2880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2 ^ n )  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  0  <_  ( F `  k )  ->  0  <_  ( F `  (
2 ^ n ) ) ) )
4910, 46, 48sylc 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( F `  ( 2 ^ n ) ) )
5011, 18, 43, 49mulge0d 9349 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( ( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) ) )
5150, 6breqtrrd 4049 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( G `  n ) )
5234, 41, 51syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( ( j  +  1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  0  <_  ( G `  n
) )
5325, 30, 33, 52sermono 11078 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j
)  <_  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) ) )
5453adantlr 695 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  j )  <_  (  seq  1 (  +  ,  G ) `
 ( j  +  1 ) ) )
55 2re 9815 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
56 eqidd 2284 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
5712adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
58 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
591, 3, 56, 57, 58isumrecl 12228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )  ->  sum_ k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR )
60 remulcl 8822 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  sum_ k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR )  ->  (
2  x.  sum_ k  e.  NN  ( F `  k ) )  e.  RR )
6155, 59, 60sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )  -> 
( 2  x.  sum_ k  e.  NN  ( F `  k )
)  e.  RR )
62 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  G ) : NN --> RR  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j
)  e.  RR )
6323, 62sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  j )  e.  RR )
641, 4, 12serfre 11075 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> RR )
6564ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> RR )
6637adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN0 )
67 nnexpcl 11116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ j
)  e.  NN )
687, 66, 67sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ j )  e.  NN )
69 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> RR  /\  (
2 ^ j )  e.  NN )  -> 
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( 2 ^ j ) )  e.  RR )
7065, 68, 69syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ j ) )  e.  RR )
71 remulcl 8822 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( 2 ^ j
) )  e.  RR )  ->  ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( 2 ^ j ) ) )  e.  RR )
7255, 70, 71sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( 2 ^ j ) ) )  e.  RR )
7361adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x. 
sum_ k  e.  NN  ( F `  k ) )  e.  RR )
74 climcnds.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( F `  k
) )
7512, 44, 74, 6climcndslem2 12309 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j
)  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ j ) ) ) )
7675adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  j )  <_  ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) ) ) )
77 eqidd 2284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... ( 2 ^ j ) ) )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
7868, 1syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ j )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
79 simpll 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ph )
80 elfznn 10819 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( 2 ^ j
) )  ->  k  e.  NN )
8112recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  CC )
8279, 80, 81syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... ( 2 ^ j ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
8377, 78, 82fsumser 12203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2 ^ j ) ) ( F `  k
)  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) ) )
842a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  1  e.  ZZ )
85 fzfid 11035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1 ... ( 2 ^ j
) )  e.  Fin )
8680ssriv 3184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... ( 2 ^ j ) )  C_  NN
8786a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1 ... ( 2 ^ j
) )  C_  NN )
88 eqidd 2284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
8957adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
9079, 44sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( F `  k )
)
91 simplr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
921, 84, 85, 87, 88, 89, 90, 91isumless 12304 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2 ^ j ) ) ( F `  k
)  <_  sum_ k  e.  NN  ( F `  k ) )
9383, 92eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ j ) )  <_  sum_ k  e.  NN  ( F `  k ) )
9459adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR )
9555a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
96 2pos 9828 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  2
9796a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  0  <  2
)
98 lemul2 9609 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( 2 ^ j ) )  e.  RR  /\  sum_ k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) )  <_  sum_ k  e.  NN  ( F `  k )  <->  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ j ) ) )  <_  ( 2  x.  sum_ k  e.  NN  ( F `  k ) ) ) )
9970, 94, 95, 97, 98syl112anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) )  <_  sum_ k  e.  NN  ( F `  k )  <->  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ j ) ) )  <_  ( 2  x.  sum_ k  e.  NN  ( F `  k ) ) ) )
10093, 99mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( 2 ^ j ) ) )  <_  ( 2  x. 
sum_ k  e.  NN  ( F `  k ) ) )
10163, 72, 73, 76, 100letrd 8973 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  j )  <_  ( 2  x.  sum_ k  e.  NN  ( F `  k )
) )
102101ralrimiva 2626 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )  ->  A. j  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j )  <_  (
2  x.  sum_ k  e.  NN  ( F `  k ) ) )
103 breq2 4027 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( 2  x. 
sum_ k  e.  NN  ( F `  k ) )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j
)  <_  x  <->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j
)  <_  ( 2  x.  sum_ k  e.  NN  ( F `  k ) ) ) )
104103ralbidv 2563 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( 2  x. 
sum_ k  e.  NN  ( F `  k ) )  ->  ( A. j  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j
)  <_  x  <->  A. j  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  j )  <_  ( 2  x.  sum_ k  e.  NN  ( F `  k )
) ) )
105104rspcev 2884 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  x.  sum_ k  e.  NN  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  A. j  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j
)  <_  ( 2  x.  sum_ k  e.  NN  ( F `  k ) ) )  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  j )  <_  x )
10661, 102, 105syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j
)  <_  x )
1071, 3, 23, 54, 106climsup 12143 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )  ->  seq  1 (  +  ,  G )  ~~>  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  G ) ,  RR ,  <  )
)
108 climrel 11966 . . . . 5  |-  Rel  ~~>
109108releldmi 4915 . . . 4  |-  (  seq  1 (  +  ,  G )  ~~>  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  G ) ,  RR ,  <  )  ->  seq  1 (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
110107, 109syl 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )  ->  seq  1 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )
111 nn0uz 10262 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
112 1nn0 9981 . . . . . 6  |-  1  e.  NN0
113112a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  NN0 )
11420recnd 8861 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  e.  CC )
115111, 113, 114iserex 12130 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  <->  seq  1
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  ) )
116115biimpar 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )  ->  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )
117110, 116syldan 456 . 2  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )  ->  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )
1182a1i 10 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  seq  0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )  -> 
1  e.  ZZ )
11964adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  seq  0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )  ->  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> RR )
120 elfznn 10819 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( j  +  1 ) )  ->  k  e.  NN )
12131, 120, 12syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... (
j  +  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
122 simpll 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  ph )
123 peano2nn 9758 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN )
124123adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  e.  NN )
125 elfz1eq 10807 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( j  +  1 ) ... ( j  +  1 ) )  ->  k  =  ( j  +  1 ) )
126 eleq1 2343 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
k  e.  NN  <->  ( j  +  1 )  e.  NN ) )
127126biimparc 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  NN  /\  k  =  ( j  +  1 ) )  ->  k  e.  NN )
128124, 125, 127syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
129122, 128, 44syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  0  <_  ( F `  k
) )
13025, 30, 121, 129sermono 11078 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  j
)  <_  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
j  +  1 ) ) )
131130adantlr 695 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  j )  <_  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( j  +  1 ) ) )
132 0z 10035 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
133132a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  seq  0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )  -> 
0  e.  ZZ )
134 eqidd 2284 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  =  ( G `  n ) )
13520adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  e.  RR )
136 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  seq  0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )  ->  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )
137111, 133, 134, 135, 136isumrecl 12228 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq  0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )  ->  sum_ n  e.  NN0  ( G `  n )  e.  RR )
138 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> RR  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  j
)  e.  RR )
139119, 138sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  j )  e.  RR )
140132a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
141111, 140, 20serfre 11075 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  G ) : NN0 --> RR )
142141adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq  0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )  ->  seq  0 (  +  ,  G ) : NN0 --> RR )
143 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  0 (  +  ,  G ) : NN0 --> RR  /\  j  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  j
)  e.  RR )
144142, 37, 143syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  0
(  +  ,  G
) `  j )  e.  RR )
145137adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  sum_ n  e.  NN0  ( G `  n )  e.  RR )
146119adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> RR )
147 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN )
14826adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ZZ )
14939adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  e.  NN0 )
150149nn0red 10019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  e.  RR )
151 nnexpcl 11116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  ( j  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  e.  NN )
1527, 149, 151sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  NN )
153152nnred 9761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  RR )
154 2z 10054 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  ZZ
155 uzid 10242 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
156154, 155ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
157 bernneq3 11229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
j  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( j  +  1 )  <  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
158156, 149, 157sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  <  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) )
159150, 153, 158ltled 8967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  <_  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) )
160148peano2zd 10120 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  e.  ZZ )
161152nnzd 10116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ZZ )
162 eluz 10241 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) )  <-> 
( j  +  1 )  <_  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
163160, 161, 162syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) )  <-> 
( j  +  1 )  <_  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
164159, 163mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  (
ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )
165 eluzp1m1 10251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  -> 
( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  j ) )
166148, 164, 165syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 )  e.  (
ZZ>= `  j ) )
1671uztrn2 10245 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  NN  /\  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  e.  NN )
168147, 166, 167syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 )  e.  NN )
169 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> RR  /\  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 )  e.  NN )  -> 
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) )  e.  RR )
170146, 168, 169syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  RR )
17125adantlr 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
172 simpll 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ph )
173 elfznn 10819 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  k  e.  NN )
174172, 173, 12syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
175172adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ph )
176123adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  e.  NN )
177 elfzuz 10794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ( j  +  1 ) ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )
1781uztrn2 10245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  -> 
k  e.  NN )
179176, 177, 178syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
180175, 179, 44syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  0  <_  ( F `  k ) )
181171, 166, 174, 180sermono 11078 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  j )  <_  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) ) )
18237adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN0 )
18312, 44, 74, 6climcndslem1 12308 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  j
) )
184172, 182, 183syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq  0
(  +  ,  G
) `  j )
)
185139, 170, 144, 181, 184letrd 8973 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  j )  <_  (  seq  0 (  +  ,  G ) `
 j ) )
186 eqidd 2284 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 0 ... j ) )  ->  ( G `  n )  =  ( G `  n ) )
187182, 111syl6eleq 2373 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
188 elfznn0 10822 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 0 ... j )  ->  n  e.  NN0 )
189172, 188, 114syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 0 ... j ) )  ->  ( G `  n )  e.  CC )
190186, 187, 189fsumser 12203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... j ) ( G `  n
)  =  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  j
) )
191132a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  0  e.  ZZ )
192 fzfid 11035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 0 ... j )  e.  Fin )
193188ssriv 3184 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... j )  C_  NN0
194193a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 0 ... j )  C_  NN0 )
195 eqidd 2284 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  =  ( G `  n ) )
196172, 20sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  e.  RR )
197172, 51sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( G `  n )
)
198 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )
199111, 191, 192, 194, 195, 196, 197, 198isumless 12304 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... j ) ( G `  n
)  <_  sum_ n  e. 
NN0  ( G `  n ) )
200190, 199eqbrtrrd 4045 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  0
(  +  ,  G
) `  j )  <_ 
sum_ n  e.  NN0  ( G `  n ) )
201139, 144, 145, 185, 200letrd 8973 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  j )  <_ 
sum_ n  e.  NN0  ( G `  n ) )
202201ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq  0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )  ->  A. j  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  j )  <_  sum_ n  e.  NN0  ( G `  n ) )
203 breq2 4027 . . . . . . 7  |-  ( x  =  sum_ n  e.  NN0  ( G `  n )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  j
)  <_  x  <->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  j
)  <_  sum_ n  e. 
NN0  ( G `  n ) ) )
204203ralbidv 2563 . . . . . 6  |-  ( x  =  sum_ n  e.  NN0  ( G `  n )  ->  ( A. j  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  j )  <_  x  <->  A. j  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  j )  <_  sum_ n  e.  NN0  ( G `  n ) ) )
205204rspcev 2884 . . . . 5  |-  ( (
sum_ n  e.  NN0  ( G `  n )  e.  RR  /\  A. j  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  j
)  <_  sum_ n  e. 
NN0  ( G `  n ) )  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  j
)  <_  x )
206137, 202, 205syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  seq  0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  j
)  <_  x )
2071, 118, 119, 131, 206climsup 12143 . . 3  |-  ( (
ph  /\  seq  0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )
)
208108releldmi 4915 . . 3  |-  (  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
209207, 208syl 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  seq  0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
210117, 209impbida 805 1  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  seq  0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   ran crn 4690   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   supcsup 7193   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782    seq cseq 11046   ^cexp 11104    ~~> cli 11958   sum_csu 12158
This theorem is referenced by:  harmonic  12317  zetacvg  23689
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-ico 10662  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159
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