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Theorem climcnds 12586
Description: The Cauchy condensation test. If  a ( k ) is a decreasing sequence of nonnegative terms, then  sum_ k  e.  NN a ( k ) converges iff  sum_ n  e. 
NN0 2 ^ n  x.  a ( 2 ^ n ) converges. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcnds.1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  RR )
climcnds.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( F `  k
) )
climcnds.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( F `  k
) )
climcnds.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  =  ( ( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
climcnds  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  seq  0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  ) )
Distinct variable groups:    k, n, F    k, G, n    ph, k, n

Proof of Theorem climcnds
Dummy variables  j  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10477 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10267 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )  -> 
1  e.  ZZ )
42a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
5 nnnn0 10184 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
6 climcnds.4 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  =  ( ( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) ) )
7 2nn 10089 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN
8 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  NN0 )
9 nnexpcl 11349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ n
)  e.  NN )
107, 8, 9sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ n )  e.  NN )
1110nnred 9971 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ n )  e.  RR )
12 climcnds.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  RR )
1312ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR )
1413adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR )
15 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( 2 ^ n )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( 2 ^ n
) ) )
1615eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( 2 ^ n )  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  ( 2 ^ n
) )  e.  RR ) )
1716rspcv 3008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2 ^ n )  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  ( 2 ^ n ) )  e.  RR ) )
1810, 14, 17sylc 58 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( 2 ^ n
) )  e.  RR )
1911, 18remulcld 9072 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ n )  x.  ( F `  ( 2 ^ n
) ) )  e.  RR )
206, 19eqeltrd 2478 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  e.  RR )
215, 20sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( G `
 n )  e.  RR )
221, 4, 21serfre 11307 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  G ) : NN --> RR )
2322adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )  ->  seq  1 (  +  ,  G ) : NN --> RR )
24 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN )
2524, 1syl6eleq 2494 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
26 nnz 10259 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ZZ )
2726adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ZZ )
28 uzid 10456 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
29 peano2uz 10486 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  j )
)
3027, 28, 293syl 19 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  j )
)
31 simpl 444 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ph )
32 elfznn 11036 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( j  +  1 ) )  ->  n  e.  NN )
3331, 32, 21syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... (
j  +  1 ) ) )  ->  ( G `  n )  e.  RR )
34 simpll 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( ( j  +  1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  ph )
35 elfz1eq 11024 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ( j  +  1 ) ... ( j  +  1 ) )  ->  n  =  ( j  +  1 ) )
3635adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( ( j  +  1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  n  =  ( j  +  1 ) )
37 nnnn0 10184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  NN0 )
38 peano2nn0 10216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( j  +  1 )  e. 
NN0 )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN0 )
4039ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( ( j  +  1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  (
j  +  1 )  e.  NN0 )
4136, 40eqeltrd 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( ( j  +  1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
4210nnnn0d 10230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ n )  e. 
NN0 )
4342nn0ge0d 10233 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( 2 ^ n ) )
44 climcnds.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( F `  k
) )
4544ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  0  <_  ( F `  k ) )
4645adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  NN  0  <_  ( F `  k )
)
4715breq2d 4184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( 2 ^ n )  ->  (
0  <_  ( F `  k )  <->  0  <_  ( F `  ( 2 ^ n ) ) ) )
4847rspcv 3008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2 ^ n )  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  0  <_  ( F `  k )  ->  0  <_  ( F `  (
2 ^ n ) ) ) )
4910, 46, 48sylc 58 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( F `  ( 2 ^ n ) ) )
5011, 18, 43, 49mulge0d 9559 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( ( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) ) )
5150, 6breqtrrd 4198 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( G `  n ) )
5234, 41, 51syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( ( j  +  1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  0  <_  ( G `  n
) )
5325, 30, 33, 52sermono 11310 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j
)  <_  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) ) )
5453adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  j )  <_  (  seq  1 (  +  ,  G ) `
 ( j  +  1 ) ) )
55 2re 10025 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
56 eqidd 2405 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
5712adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
58 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
591, 3, 56, 57, 58isumrecl 12504 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )  ->  sum_ k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR )
60 remulcl 9031 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  sum_ k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR )  ->  (
2  x.  sum_ k  e.  NN  ( F `  k ) )  e.  RR )
6155, 59, 60sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )  -> 
( 2  x.  sum_ k  e.  NN  ( F `  k )
)  e.  RR )
6223ffvelrnda 5829 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  j )  e.  RR )
631, 4, 12serfre 11307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> RR )
6463ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> RR )
6537adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN0 )
66 nnexpcl 11349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ j
)  e.  NN )
677, 65, 66sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ j )  e.  NN )
6864, 67ffvelrnd 5830 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ j ) )  e.  RR )
69 remulcl 9031 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( 2 ^ j
) )  e.  RR )  ->  ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( 2 ^ j ) ) )  e.  RR )
7055, 68, 69sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( 2 ^ j ) ) )  e.  RR )
7161adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x. 
sum_ k  e.  NN  ( F `  k ) )  e.  RR )
72 climcnds.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( F `  k
) )
7312, 44, 72, 6climcndslem2 12585 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j
)  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ j ) ) ) )
7473adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  j )  <_  ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) ) ) )
75 eqidd 2405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... ( 2 ^ j ) ) )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
7667, 1syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ j )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
77 simpll 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ph )
78 elfznn 11036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( 2 ^ j
) )  ->  k  e.  NN )
7912recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  CC )
8077, 78, 79syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... ( 2 ^ j ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
8175, 76, 80fsumser 12479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2 ^ j ) ) ( F `  k
)  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) ) )
822a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  1  e.  ZZ )
83 fzfid 11267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1 ... ( 2 ^ j
) )  e.  Fin )
8478ssriv 3312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... ( 2 ^ j ) )  C_  NN
8584a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1 ... ( 2 ^ j
) )  C_  NN )
86 eqidd 2405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
8757adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
8877, 44sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( F `  k )
)
89 simplr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
901, 82, 83, 85, 86, 87, 88, 89isumless 12580 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2 ^ j ) ) ( F `  k
)  <_  sum_ k  e.  NN  ( F `  k ) )
9181, 90eqbrtrrd 4194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ j ) )  <_  sum_ k  e.  NN  ( F `  k ) )
9259adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR )
9355a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
94 2pos 10038 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  2
9594a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  0  <  2
)
96 lemul2 9819 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( 2 ^ j ) )  e.  RR  /\  sum_ k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) )  <_  sum_ k  e.  NN  ( F `  k )  <->  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ j ) ) )  <_  ( 2  x.  sum_ k  e.  NN  ( F `  k ) ) ) )
9768, 92, 93, 95, 96syl112anc 1188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) )  <_  sum_ k  e.  NN  ( F `  k )  <->  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ j ) ) )  <_  ( 2  x.  sum_ k  e.  NN  ( F `  k ) ) ) )
9891, 97mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( 2 ^ j ) ) )  <_  ( 2  x. 
sum_ k  e.  NN  ( F `  k ) ) )
9962, 70, 71, 74, 98letrd 9183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  j )  <_  ( 2  x.  sum_ k  e.  NN  ( F `  k )
) )
10099ralrimiva 2749 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )  ->  A. j  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j )  <_  (
2  x.  sum_ k  e.  NN  ( F `  k ) ) )
101 breq2 4176 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( 2  x. 
sum_ k  e.  NN  ( F `  k ) )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j
)  <_  x  <->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j
)  <_  ( 2  x.  sum_ k  e.  NN  ( F `  k ) ) ) )
102101ralbidv 2686 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( 2  x. 
sum_ k  e.  NN  ( F `  k ) )  ->  ( A. j  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j
)  <_  x  <->  A. j  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  j )  <_  ( 2  x.  sum_ k  e.  NN  ( F `  k )
) ) )
103102rspcev 3012 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  x.  sum_ k  e.  NN  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  A. j  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j
)  <_  ( 2  x.  sum_ k  e.  NN  ( F `  k ) ) )  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  j )  <_  x )
10461, 100, 103syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j
)  <_  x )
1051, 3, 23, 54, 104climsup 12418 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )  ->  seq  1 (  +  ,  G )  ~~>  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  G ) ,  RR ,  <  )
)
106 climrel 12241 . . . . 5  |-  Rel  ~~>
107106releldmi 5065 . . . 4  |-  (  seq  1 (  +  ,  G )  ~~>  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  G ) ,  RR ,  <  )  ->  seq  1 (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
108105, 107syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )  ->  seq  1 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )
109 nn0uz 10476 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
110 1nn0 10193 . . . . . 6  |-  1  e.  NN0
111110a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  NN0 )
11220recnd 9070 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  e.  CC )
113109, 111, 112iserex 12405 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  <->  seq  1
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  ) )
114113biimpar 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )  ->  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )
115108, 114syldan 457 . 2  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )  ->  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )
1162a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  seq  0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )  -> 
1  e.  ZZ )
11763adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  seq  0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )  ->  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> RR )
118 elfznn 11036 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( j  +  1 ) )  ->  k  e.  NN )
11931, 118, 12syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... (
j  +  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
120 simpll 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  ph )
121 peano2nn 9968 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN )
122121adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  e.  NN )
123 elfz1eq 11024 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( j  +  1 ) ... ( j  +  1 ) )  ->  k  =  ( j  +  1 ) )
124 eleq1 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
k  e.  NN  <->  ( j  +  1 )  e.  NN ) )
125124biimparc 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  NN  /\  k  =  ( j  +  1 ) )  ->  k  e.  NN )
126122, 123, 125syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
127120, 126, 44syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  0  <_  ( F `  k
) )
12825, 30, 119, 127sermono 11310 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  j
)  <_  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
j  +  1 ) ) )
129128adantlr 696 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  j )  <_  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( j  +  1 ) ) )
130 0z 10249 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
131130a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  seq  0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )  -> 
0  e.  ZZ )
132 eqidd 2405 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  =  ( G `  n ) )
13320adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  e.  RR )
134 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  seq  0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )  ->  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )
135109, 131, 132, 133, 134isumrecl 12504 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq  0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )  ->  sum_ n  e.  NN0  ( G `  n )  e.  RR )
136117ffvelrnda 5829 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  j )  e.  RR )
137130a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
138109, 137, 20serfre 11307 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  G ) : NN0 --> RR )
139138adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq  0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )  ->  seq  0 (  +  ,  G ) : NN0 --> RR )
140 ffvelrn 5827 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  0 (  +  ,  G ) : NN0 --> RR  /\  j  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  j
)  e.  RR )
141139, 37, 140syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  0
(  +  ,  G
) `  j )  e.  RR )
142135adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  sum_ n  e.  NN0  ( G `  n )  e.  RR )
143117adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> RR )
144 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN )
14526adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ZZ )
14639adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  e.  NN0 )
147146nn0red 10231 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  e.  RR )
148 nnexpcl 11349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  ( j  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  e.  NN )
1497, 146, 148sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  NN )
150149nnred 9971 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  RR )
151 2z 10268 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  ZZ
152 uzid 10456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
153151, 152ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
154 bernneq3 11462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
j  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( j  +  1 )  <  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
155153, 146, 154sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  <  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) )
156147, 150, 155ltled 9177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  <_  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) )
157145peano2zd 10334 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  e.  ZZ )
158149nnzd 10330 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ZZ )
159 eluz 10455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) )  <-> 
( j  +  1 )  <_  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
160157, 158, 159syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) )  <-> 
( j  +  1 )  <_  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
161156, 160mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  (
ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )
162 eluzp1m1 10465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  -> 
( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  j ) )
163145, 161, 162syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 )  e.  (
ZZ>= `  j ) )
1641uztrn2 10459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  NN  /\  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  e.  NN )
165144, 163, 164syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 )  e.  NN )
166143, 165ffvelrnd 5830 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  RR )
16725adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
168 simpll 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ph )
169 elfznn 11036 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  k  e.  NN )
170168, 169, 12syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
171168adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ph )
172121adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  e.  NN )
173 elfzuz 11011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ( j  +  1 ) ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )
1741uztrn2 10459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  -> 
k  e.  NN )
175172, 173, 174syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
176171, 175, 44syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  0  <_  ( F `  k ) )
177167, 163, 170, 176sermono 11310 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  j )  <_  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) ) )
17837adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN0 )
17912, 44, 72, 6climcndslem1 12584 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  j
) )
180168, 178, 179syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq  0
(  +  ,  G
) `  j )
)
181136, 166, 141, 177, 180letrd 9183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  j )  <_  (  seq  0 (  +  ,  G ) `
 j ) )
182 eqidd 2405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 0 ... j ) )  ->  ( G `  n )  =  ( G `  n ) )
183178, 109syl6eleq 2494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
184 elfznn0 11039 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 0 ... j )  ->  n  e.  NN0 )
185168, 184, 112syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 0 ... j ) )  ->  ( G `  n )  e.  CC )
186182, 183, 185fsumser 12479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... j ) ( G `  n
)  =  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  j
) )
187130a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  0  e.  ZZ )
188 fzfid 11267 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 0 ... j )  e.  Fin )
189184ssriv 3312 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... j )  C_  NN0
190189a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 0 ... j )  C_  NN0 )
191 eqidd 2405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  =  ( G `  n ) )
192168, 20sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  e.  RR )
193168, 51sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( G `  n )
)
194 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )
195109, 187, 188, 190, 191, 192, 193, 194isumless 12580 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... j ) ( G `  n
)  <_  sum_ n  e. 
NN0  ( G `  n ) )
196186, 195eqbrtrrd 4194 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  0
(  +  ,  G
) `  j )  <_ 
sum_ n  e.  NN0  ( G `  n ) )
197136, 141, 142, 181, 196letrd 9183 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  j )  <_ 
sum_ n  e.  NN0  ( G `  n ) )
198197ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq  0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )  ->  A. j  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  j )  <_  sum_ n  e.  NN0  ( G `  n ) )
199 breq2 4176 . . . . . . 7  |-  ( x  =  sum_ n  e.  NN0  ( G `  n )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  j
)  <_  x  <->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  j
)  <_  sum_ n  e. 
NN0  ( G `  n ) ) )
200199ralbidv 2686 . . . . . 6  |-  ( x  =  sum_ n  e.  NN0  ( G `  n )  ->  ( A. j  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  j )  <_  x  <->  A. j  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  j )  <_  sum_ n  e.  NN0  ( G `  n ) ) )
201200rspcev 3012 . . . . 5  |-  ( (
sum_ n  e.  NN0  ( G `  n )  e.  RR  /\  A. j  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  j
)  <_  sum_ n  e. 
NN0  ( G `  n ) )  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  j
)  <_  x )
202135, 198, 201syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  seq  0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  j
)  <_  x )
2031, 116, 117, 129, 202climsup 12418 . . 3  |-  ( (
ph  /\  seq  0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )
)
204106releldmi 5065 . . 3  |-  (  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
205203, 204syl 16 . 2  |-  ( (
ph  /\  seq  0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
206115, 205impbida 806 1  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  seq  0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667    C_ wss 3280   class class class wbr 4172   dom cdm 4837   ran crn 4838   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   supcsup 7403   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999    seq cseq 11278   ^cexp 11337    ~~> cli 12233   sum_csu 12434
This theorem is referenced by:  harmonic  12593  zetacvg  24752
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-ico 10878  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435
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