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Theorem climcndslem1 12308
Description: Lemma for climcnds 12310: bound the original series by the condensed series. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcnds.1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  RR )
climcnds.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( F `  k
) )
climcnds.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( F `  k
) )
climcnds.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  =  ( ( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
climcndslem1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN0 )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ ( N  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  N
) )
Distinct variable groups:    k, n, F    k, G, n    ph, k, n
Allowed substitution hints:    N( k, n)

Proof of Theorem climcndslem1
Dummy variables  j  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  (
x  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
2 0p1e1 9839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  1 )  =  1
31, 2syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  (
x  +  1 )  =  1 )
43oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
2 ^ ( x  +  1 ) )  =  ( 2 ^ 1 ) )
5 2cn 9816 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
6 exp1 11109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2 ^ 1 )  =  2 )
75, 6ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 ^ 1 )  =  2
8 df-2 9804 . . . . . . . . . 10  |-  2  =  ( 1  +  1 )
97, 8eqtri 2303 . . . . . . . . 9  |-  ( 2 ^ 1 )  =  ( 1  +  1 )
104, 9syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
2 ^ ( x  +  1 ) )  =  ( 1  +  1 ) )
1110oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( 1  +  1 )  - 
1 ) )
12 ax-1cn 8795 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
13 pncan 9057 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  1 )  -  1 )  =  1 )
1412, 12, 13mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  +  1 )  -  1 )  =  1
1511, 14syl6eq 2331 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 )  =  1 )
1615fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  1
) )
17 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  x
)  =  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  0
) )
1816, 17breq12d 4036 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( ( 2 ^ ( x  + 
1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
(  seq  0 (  +  ,  G ) `
 x )  <->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  1
)  <_  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  0
) ) )
1918imbi2d 307 . . 3  |-  ( x  =  0  ->  (
( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  x
) )  <->  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 1 )  <_ 
(  seq  0 (  +  ,  G ) `
 0 ) ) ) )
20 oveq1 5865 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  j  ->  (
x  +  1 )  =  ( j  +  1 ) )
2120oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( x  =  j  ->  (
2 ^ ( x  +  1 ) )  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
2221oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( x  =  j  ->  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) )
2322fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( x  =  j  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) )
24 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( x  =  j  ->  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  x
)  =  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  j
) )
2523, 24breq12d 4036 . . . 4  |-  ( x  =  j  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( ( 2 ^ ( x  + 
1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
(  seq  0 (  +  ,  G ) `
 x )  <->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  j
) ) )
2625imbi2d 307 . . 3  |-  ( x  =  j  ->  (
( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  x
) )  <->  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
(  seq  0 (  +  ,  G ) `
 j ) ) ) )
27 oveq1 5865 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
x  +  1 )  =  ( ( j  +  1 )  +  1 ) )
2827oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
2 ^ ( x  +  1 ) )  =  ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) ) )
2928oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )
3029fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )
31 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  x
)  =  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) ) )
3230, 31breq12d 4036 . . . 4  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( ( 2 ^ ( x  + 
1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
(  seq  0 (  +  ,  G ) `
 x )  <->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) ) ) )
3332imbi2d 307 . . 3  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  x
) )  <->  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
(  seq  0 (  +  ,  G ) `
 ( j  +  1 ) ) ) ) )
34 oveq1 5865 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (
x  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
3534oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
2 ^ ( x  +  1 ) )  =  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) )
3635oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( 2 ^ ( N  + 
1 ) )  - 
1 ) )
3736fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ ( N  +  1 ) )  -  1 ) ) )
38 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  x
)  =  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  N
) )
3937, 38breq12d 4036 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( ( 2 ^ ( x  + 
1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
(  seq  0 (  +  ,  G ) `
 x )  <->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ ( N  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  N
) ) )
4039imbi2d 307 . . 3  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  x
) )  <->  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( ( 2 ^ ( N  + 
1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
(  seq  0 (  +  ,  G ) `
 N ) ) ) )
41 1nn 9757 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
42 climcnds.1 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  RR )
4342ralrimiva 2626 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR )
44 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  1  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
1 ) )
4544eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  1 )  e.  RR ) )
4645rspcv 2880 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  1 )  e.  RR ) )
4741, 43, 46mpsyl 59 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  RR )
4847leidd 9339 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  <_  ( F `  1 ) )
4947recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  CC )
5049mulid2d 8853 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( F `  1 )
)  =  ( F `
 1 ) )
5148, 50breqtrrd 4049 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  <_  ( 1  x.  ( F ` 
1 ) ) )
52 1z 10053 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
53 eqidd 2284 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( F `
 1 ) )
5452, 53seq1i 11060 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 1 )  =  ( F `  1
) )
55 0z 10035 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
56 0nn0 9980 . . . . . 6  |-  0  e.  NN0
57 climcnds.4 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  =  ( ( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) ) )
5857ralrimiva 2626 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN0  ( G `  n )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  ( F `  (
2 ^ n ) ) ) )
59 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  0  ->  ( G `  n )  =  ( G ` 
0 ) )
60 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  0  ->  (
2 ^ n )  =  ( 2 ^ 0 ) )
61 exp0 11108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2 ^ 0 )  =  1 )
625, 61ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 ^ 0 )  =  1
6360, 62syl6eq 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  0  ->  (
2 ^ n )  =  1 )
6463fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  0  ->  ( F `  ( 2 ^ n ) )  =  ( F ` 
1 ) )
6563, 64oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  0  ->  (
( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) )  =  ( 1  x.  ( F `  1
) ) )
6659, 65eqeq12d 2297 . . . . . . 7  |-  ( n  =  0  ->  (
( G `  n
)  =  ( ( 2 ^ n )  x.  ( F `  ( 2 ^ n
) ) )  <->  ( G `  0 )  =  ( 1  x.  ( F `  1 )
) ) )
6766rspcv 2880 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( A. n  e.  NN0  ( G `
 n )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  ( F `  ( 2 ^ n ) ) )  ->  ( G `  0 )  =  ( 1  x.  ( F `  1 )
) ) )
6856, 58, 67mpsyl 59 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  0
)  =  ( 1  x.  ( F ` 
1 ) ) )
6955, 68seq1i 11060 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  0 (  +  ,  G ) `
 0 )  =  ( 1  x.  ( F `  1 )
) )
7051, 54, 693brtr4d 4053 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 1 )  <_ 
(  seq  0 (  +  ,  G ) `
 0 ) )
71 fzfid 11035 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )  e. 
Fin )
72 simpl 443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ph )
7372adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ph )
74 2nn 9877 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN
75 peano2nn0 10004 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( j  +  1 )  e. 
NN0 )
7675adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( j  +  1 )  e. 
NN0 )
77 nnexpcl 11116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  ( j  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  e.  NN )
7874, 76, 77sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  NN )
79 elfzuz 10794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
80 nnuz 10263 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
8180uztrn2 10245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  -> 
k  e.  NN )
8278, 79, 81syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
8373, 82, 42syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
8443adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR )
85 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )
8685eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  e.  RR ) )
8786rspcv 2880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  RR ) )
8878, 84, 87sylc 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  e.  RR )
8988adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
90 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
91 simplll 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ... n ) )  ->  ph )
9278adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  NN )
93 elfzuz 10794 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... n )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
9492, 93, 81syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ... n ) )  ->  k  e.  NN )
9591, 94, 42syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ... n ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
96 simplll 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( n  - 
1 ) ) )  ->  ph )
97 elfzuz 10794 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( n  -  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
9892, 97, 81syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( n  - 
1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
99 climcnds.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( F `  k
) )
10096, 98, 99syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( n  - 
1 ) ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )
)
10190, 95, 100monoord2 11077 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  n )  <_  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
102101ralrimiva 2626 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  n
)  <_  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )
103 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
104103breq1d 4033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
( F `  n
)  <_  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  <->  ( F `  k )  <_  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
105104rspccva 2883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. n  e.  (
ZZ>= `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  n )  <_  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
106102, 79, 105syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
10771, 83, 89, 106fsumle 12257 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )
108 2z 10054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  ZZ
109 zexpcl 11118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( j  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  e.  ZZ )
110108, 76, 109sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ZZ )
111 nn0p1nn 10003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( j  +  1 )  e.  NN )
112111adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( j  +  1 )  e.  NN )
113112, 80syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
114 2re 9815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  e.  RR
115 1re 8837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  RR
116 1lt2 9886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  <  2
117115, 114, 116ltleii 8941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  <_  2
118 leexp2a 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <_  2  /\  (
j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )  ->  (
2 ^ 1 )  <_  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
119114, 117, 118mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 2 ^ 1 )  <_ 
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )
120113, 119syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ 1 )  <_ 
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )
1217, 120syl5eqbrr 4057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  2  <_  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
122108eluz1i 10237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ZZ  /\  2  <_ 
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )
123110, 121, 122sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
124 uz2m1nn 10292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  e.  NN )
125123, 124syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  e.  NN )
126125, 80syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
127 peano2zm 10062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ZZ  ->  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )
128110, 127syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )
129 peano2nn0 10004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ( j  +  1 )  +  1 )  e. 
NN0 )
13076, 129syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
j  +  1 )  +  1 )  e. 
NN0 )
131 zexpcl 11118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( ( j  +  1 )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  e.  ZZ )
132108, 130, 131sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  e.  ZZ )
133 peano2zm 10062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  e.  ZZ  ->  (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )
134132, 133syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )
135110zred 10117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  RR )
136132zred 10117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
137115a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  1  e.  RR )
13876nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( j  +  1 )  e.  ZZ )
139 uzid 10242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
j  +  1 ) ) )
140138, 139syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )
141 peano2uz 10272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
j  +  1 ) )  ->  ( (
j  +  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )
142 leexp2a 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <_  2  /\  (
( j  +  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
j  +  1 ) ) )  ->  (
2 ^ ( j  +  1 ) )  <_  ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) ) )
143114, 117, 142mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( j  +  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
j  +  1 ) )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  <_ 
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) ) )
144140, 141, 1433syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  <_ 
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) ) )
145135, 136, 137, 144lesub1dd 9388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  <_ 
( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )
146 eluz2 10236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )  <->  ( ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  <_ 
( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )
147128, 134, 145, 146syl3anbrc 1136 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) )
148 elfzuzb 10792 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  <->  ( (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  /\  ( (
2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
149126, 147, 148sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )
150 fzsplit 10816 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  (
1 ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )  =  ( ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  u.  (
( ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 )  +  1 ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
151149, 150syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )  =  ( ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  u.  (
( ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 )  +  1 ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
15278nnred 9761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  RR )
153152recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  CC )
154 npcan 9060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 )  +  1 )  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
155153, 12, 154sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 )  +  1 )  =  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )
156155oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  +  1 ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )  =  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )
157156uneq2d 3329 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) )  u.  ( ( ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  +  1 ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  =  ( ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )  u.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) ) )
158151, 157eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )  =  ( ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  u.  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
159158fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( # `  (
1 ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  =  ( # `  (
( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )  u.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) ) ) )
160 expp1 11110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( j  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  x.  2 ) )
1615, 76, 160sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  x.  2 ) )
162153times2d 9955 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  x.  2 )  =  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  +  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
163161, 162eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  +  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
164163oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  +  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  -  1 ) )
16512a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  1  e.  CC )
166153, 153, 165addsubd 9178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  +  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  -  1 )  =  ( ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 )  +  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
167164, 166eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 )  +  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
168 uztrn 10244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  /\  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )  ->  (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
169147, 126, 168syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
170169, 80syl6eleqr 2374 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  NN )
171170nnnn0d 10018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e. 
NN0 )
172 hashfz1 11345 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )
173171, 172syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( # `  (
1 ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )
174125nnnn0d 10018 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  e. 
NN0 )
175 hashfz1 11345 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )
176174, 175syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( # `  (
1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) )
177176oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( # `
 ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  +  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
178167, 173, 1773eqtr4d 2325 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( # `  (
1 ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  =  ( ( # `  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
179 fzfid 11035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) )  e. 
Fin )
180152ltm1d 9689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  < 
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )
181 fzdisj 10817 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 )  <  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  ->  (
( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )  i^i  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  =  (/) )
182180, 181syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) )  i^i  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  =  (/) )
183 hashun 11364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  Fin  /\  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  Fin  /\  ( ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  i^i  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  =  (/) )  -> 
( # `  ( ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  u.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  (
# `  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) ) ) )
184179, 71, 182, 183syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( # `  (
( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )  u.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) ) )  =  ( (
# `  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  ( # `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ) ) )
185159, 178, 1843eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( # `
 ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  =  ( ( # `  (
1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  +  ( # `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ) ) )
186 hashcl 11350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  e. 
NN0 )
187179, 186syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( # `  (
1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  e.  NN0 )
188187nn0cnd 10020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( # `  (
1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  e.  CC )
189 hashcl 11350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  e. 
NN0 )
19071, 189syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( # `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  e.  NN0 )
191190nn0cnd 10020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( # `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  e.  CC )
192188, 153, 191addcand 9015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( # `  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  +  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( # `  (
1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  +  ( # `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )  <->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  =  ( # `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ) ) )
193185, 192mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  =  ( # `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
194193oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  x.  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
19558adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  A. n  e.  NN0  ( G `  n )  =  ( ( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) ) )
196 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( G `  n )  =  ( G `  ( j  +  1 ) ) )
197 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
2 ^ n )  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
198197fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( F `  ( 2 ^ n ) )  =  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )
199197, 198oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  x.  ( F `  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
200196, 199eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
( G `  n
)  =  ( ( 2 ^ n )  x.  ( F `  ( 2 ^ n
) ) )  <->  ( G `  ( j  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
201200rspcv 2880 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN0  ->  ( A. n  e.  NN0  ( G `
 n )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  ( F `  ( 2 ^ n ) ) )  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
20276, 195, 201sylc 56 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
20388recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  e.  CC )
204 fsumconst 12252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  Fin  /\  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( # `  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  x.  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
20571, 203, 204syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  =  ( ( # `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
206194, 202, 2053eqtr4d 2325 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  =  sum_ k  e.  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
207107, 206breqtrrd 4049 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  ( G `  ( j  +  1 ) ) )
208 elfznn 10819 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  k  e.  NN )
20972, 208, 42syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
210179, 209fsumrecl 12207 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  e.  RR )
21171, 83fsumrecl 12207 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  e.  RR )
212 nn0uz 10262 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
21355a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
214 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  NN0 )
215 nnexpcl 11116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ n
)  e.  NN )
21674, 214, 215sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ n )  e.  NN )
217216nnred 9761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ n )  e.  RR )
21843adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR )
219 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( 2 ^ n )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( 2 ^ n
) ) )
220219eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( 2 ^ n )  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  ( 2 ^ n
) )  e.  RR ) )
221220rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ n )  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  ( 2 ^ n ) )  e.  RR ) )
222216, 218, 221sylc 56 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( 2 ^ n
) )  e.  RR )
223217, 222remulcld 8863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ n )  x.  ( F `  ( 2 ^ n
) ) )  e.  RR )
22457, 223eqeltrd 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  e.  RR )
225212, 213, 224serfre 11075 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  G ) : NN0 --> RR )
226 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq  0 (  +  ,  G ) : NN0 --> RR  /\  j  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  j
)  e.  RR )
227225, 226sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  j
)  e.  RR )
228135, 88remulcld 8863 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  x.  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
229202, 228eqeltrd 2357 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
230 le2add 9256 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k
)  e.  RR  /\  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) ( F `  k )  e.  RR )  /\  ( (  seq  0
(  +  ,  G
) `  j )  e.  RR  /\  ( G `
 ( j  +  1 ) )  e.  RR ) )  -> 
( ( sum_ k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  j
)  /\  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) ) ( F `  k )  +  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k
) )  <_  (
(  seq  0 (  +  ,  G ) `
 j )  +  ( G `  (
j  +  1 ) ) ) ) )
231210, 211, 227, 229, 230syl22anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  (  seq  0
(  +  ,  G
) `  j )  /\  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k
)  <_  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  -> 
( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k ) )  <_ 
( (  seq  0
(  +  ,  G
) `  j )  +  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
232207, 231mpan2d 655 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  (  seq  0
(  +  ,  G
) `  j )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k ) )  <_ 
( (  seq  0
(  +  ,  G
) `  j )  +  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
233 eqidd 2284 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
23442recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  CC )
23572, 208, 234syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
236233, 126, 235fsumser 12203 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) )
237236eqcomd 2288 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k ) )
238237breq1d 4033 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  j
)  <->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k
)  <_  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  j
) ) )
239 eqidd 2284 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
240 elfznn 10819 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  k  e.  NN )
24172, 240, 234syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
242239, 169, 241fsumser 12203 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )
243 fzfid 11035 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )  e. 
Fin )
244182, 158, 243, 241fsumsplit 12212 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k ) ) )
245242, 244eqtr3d 2317 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) ) ( F `  k )  +  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k
) ) )
246 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  j  e.  NN0 )
247246, 212syl6eleq 2373 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
248 seqp1 11061 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  G ) `  j )  +  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) )
249247, 248syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  G ) `  j )  +  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) )
250245, 249breq12d 4036 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) )  <->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  +  sum_ k  e.  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) ( F `  k ) )  <_  ( (  seq  0 (  +  ,  G ) `  j
)  +  ( G `
 ( j  +  1 ) ) ) ) )
251232, 238, 2503imtr4d 259 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  j
)  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) ) ) )
252251expcom 424 . . . 4  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq  0
(  +  ,  G
) `  j )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
(  seq  0 (  +  ,  G ) `
 ( j  +  1 ) ) ) ) )
253252a2d 23 . . 3  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( (
ph  ->  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq  0
(  +  ,  G
) `  j )
)  ->  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
(  seq  0 (  +  ,  G ) `
 ( j  +  1 ) ) ) ) )
25419, 26, 33, 40, 70, 253nn0ind 10108 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( ( 2 ^ ( N  + 
1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
(  seq  0 (  +  ,  G ) `
 N ) ) )
255254impcom 419 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN0 )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ ( N  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    u. cun 3150    i^i cin 3151   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782    seq cseq 11046   ^cexp 11104   #chash 11337   sum_csu 12158
This theorem is referenced by:  climcnds  12310
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-ico 10662  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159
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