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Theorem climcndslem2 12631
Description: Lemma for climcnds 12632: bound the condensed series by the original series. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcnds.1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  RR )
climcnds.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( F `  k
) )
climcnds.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( F `  k
) )
climcnds.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  =  ( ( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
climcndslem2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  N
)  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ N ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, n, F    k, G, n    ph, k, n
Allowed substitution hints:    N( k, n)

Proof of Theorem climcndslem2
Dummy variables  j  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5729 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  x
)  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  1
) )
2 oveq2 6090 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  (
2 ^ x )  =  ( 2 ^ 1 ) )
3 2cn 10071 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
4 exp1 11388 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2 ^ 1 )  =  2 )
53, 4ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( 2 ^ 1 )  =  2
62, 5syl6eq 2485 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
2 ^ x )  =  2 )
76fveq2d 5733 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ x ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  2
) )
87oveq2d 6098 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ x ) ) )  =  ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  2
) ) )
91, 8breq12d 4226 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  G ) `
 x )  <_ 
( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ x ) ) )  <->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  1
)  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  2 )
) ) )
109imbi2d 309 . . 3  |-  ( x  =  1  ->  (
( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  x
)  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ x ) ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `
 1 )  <_ 
( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  2
) ) ) ) )
11 fveq2 5729 . . . . 5  |-  ( x  =  j  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  x
)  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j
) )
12 oveq2 6090 . . . . . . 7  |-  ( x  =  j  ->  (
2 ^ x )  =  ( 2 ^ j ) )
1312fveq2d 5733 . . . . . 6  |-  ( x  =  j  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ x ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) ) )
1413oveq2d 6098 . . . . 5  |-  ( x  =  j  ->  (
2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ x ) ) )  =  ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) ) ) )
1511, 14breq12d 4226 . . . 4  |-  ( x  =  j  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  G ) `
 x )  <_ 
( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ x ) ) )  <->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j
)  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ j ) ) ) ) )
1615imbi2d 309 . . 3  |-  ( x  =  j  ->  (
( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  x
)  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ x ) ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `
 j )  <_ 
( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) ) ) ) ) )
17 fveq2 5729 . . . . 5  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  x
)  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) ) )
18 oveq2 6090 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
2 ^ x )  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
1918fveq2d 5733 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ x ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
2019oveq2d 6098 . . . . 5  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ x ) ) )  =  ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
2117, 20breq12d 4226 . . . 4  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  G ) `
 x )  <_ 
( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ x ) ) )  <->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) )  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
2221imbi2d 309 . . 3  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  x
)  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ x ) ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `
 ( j  +  1 ) )  <_ 
( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) ) )
23 fveq2 5729 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  x
)  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  N
) )
24 oveq2 6090 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
2 ^ x )  =  ( 2 ^ N ) )
2524fveq2d 5733 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ x ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ N ) ) )
2625oveq2d 6098 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ x ) ) )  =  ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ N ) ) ) )
2723, 26breq12d 4226 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  G ) `
 x )  <_ 
( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ x ) ) )  <->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  N
)  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ N ) ) ) ) )
2827imbi2d 309 . . 3  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  x
)  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ x ) ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `
 N )  <_ 
( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ N ) ) ) ) ) )
29 1nn 10012 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
30 climcnds.2 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( F `  k
) )
3130ralrimiva 2790 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  0  <_  ( F `  k ) )
32 fveq2 5729 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  1  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
1 ) )
3332breq2d 4225 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1  ->  (
0  <_  ( F `  k )  <->  0  <_  ( F `  1 ) ) )
3433rspcv 3049 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  0  <_  ( F `  k )  ->  0  <_  ( F `  1
) ) )
3529, 31, 34mpsyl 62 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( F `  1 ) )
36 2nn 10134 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
37 climcnds.1 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  RR )
3837ralrimiva 2790 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR )
39 fveq2 5729 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  2  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
2 ) )
4039eleq1d 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  2  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  2 )  e.  RR ) )
4140rspcv 3049 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  2 )  e.  RR ) )
4236, 38, 41mpsyl 62 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  2
)  e.  RR )
4332eleq1d 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  1  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  1 )  e.  RR ) )
4443rspcv 3049 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  1 )  e.  RR ) )
4529, 38, 44mpsyl 62 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  RR )
4642, 45addge02d 9616 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( F `  1 )  <->  ( F `  2 )  <_  ( ( F `
 1 )  +  ( F `  2
) ) ) )
4735, 46mpbid 203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  2
)  <_  ( ( F `  1 )  +  ( F ` 
2 ) ) )
4845, 42readdcld 9116 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
1 )  +  ( F `  2 ) )  e.  RR )
49 2re 10070 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
50 2pos 10083 . . . . . . . 8  |-  0  <  2
5149, 50pm3.2i 443 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
5251a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
53 lemul2 9864 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  2
)  e.  RR  /\  ( ( F ` 
1 )  +  ( F `  2 ) )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( F `  2 )  <_  ( ( F ` 
1 )  +  ( F `  2 ) )  <->  ( 2  x.  ( F `  2
) )  <_  (
2  x.  ( ( F `  1 )  +  ( F ` 
2 ) ) ) ) )
5442, 48, 52, 53syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
2 )  <_  (
( F `  1
)  +  ( F `
 2 ) )  <-> 
( 2  x.  ( F `  2 )
)  <_  ( 2  x.  ( ( F `
 1 )  +  ( F `  2
) ) ) ) )
5547, 54mpbid 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( F `  2 )
)  <_  ( 2  x.  ( ( F `
 1 )  +  ( F `  2
) ) ) )
56 1z 10312 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
57 1nn0 10238 . . . . . 6  |-  1  e.  NN0
58 climcnds.4 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  =  ( ( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) ) )
5958ralrimiva 2790 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN0  ( G `  n )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  ( F `  (
2 ^ n ) ) ) )
60 fveq2 5729 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  ( G `  n )  =  ( G ` 
1 ) )
61 oveq2 6090 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  (
2 ^ n )  =  ( 2 ^ 1 ) )
6261, 5syl6eq 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  (
2 ^ n )  =  2 )
6362fveq2d 5733 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  ( F `  ( 2 ^ n ) )  =  ( F ` 
2 ) )
6462, 63oveq12d 6100 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  (
( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) )  =  ( 2  x.  ( F `  2
) ) )
6560, 64eqeq12d 2451 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  (
( G `  n
)  =  ( ( 2 ^ n )  x.  ( F `  ( 2 ^ n
) ) )  <->  ( G `  1 )  =  ( 2  x.  ( F `  2 )
) ) )
6665rspcv 3049 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  NN0  ->  ( A. n  e.  NN0  ( G `
 n )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  ( F `  ( 2 ^ n ) ) )  ->  ( G `  1 )  =  ( 2  x.  ( F `  2 )
) ) )
6757, 59, 66mpsyl 62 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  =  ( 2  x.  ( F ` 
2 ) ) )
6856, 67seq1i 11338 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `
 1 )  =  ( 2  x.  ( F `  2 )
) )
69 nnuz 10522 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
70 df-2 10059 . . . . . 6  |-  2  =  ( 1  +  1 )
71 eqidd 2438 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( F `
 1 ) )
7256, 71seq1i 11338 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 1 )  =  ( F `  1
) )
73 eqidd 2438 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  2
)  =  ( F `
 2 ) )
7469, 29, 70, 72, 73seqp1i 11340 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 2 )  =  ( ( F ` 
1 )  +  ( F `  2 ) ) )
7574oveq2d 6098 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  2
) )  =  ( 2  x.  ( ( F `  1 )  +  ( F ` 
2 ) ) ) )
7655, 68, 753brtr4d 4243 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `
 1 )  <_ 
( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  2
) ) )
77 peano2nn 10013 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN )
7877adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  e.  NN )
7978nnnn0d 10275 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  e. 
NN0 )
8059adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  A. n  e.  NN0  ( G `  n )  =  ( ( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) ) )
81 fveq2 5729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( G `  n )  =  ( G `  ( j  +  1 ) ) )
82 oveq2 6090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
2 ^ n )  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
8382fveq2d 5733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( F `  ( 2 ^ n ) )  =  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )
8482, 83oveq12d 6100 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  x.  ( F `  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
8581, 84eqeq12d 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
( G `  n
)  =  ( ( 2 ^ n )  x.  ( F `  ( 2 ^ n
) ) )  <->  ( G `  ( j  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
8685rspcv 3049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN0  ->  ( A. n  e.  NN0  ( G `
 n )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  ( F `  ( 2 ^ n ) ) )  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
8779, 80, 86sylc 59 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `
 ( j  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  x.  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
88 nnnn0 10229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  NN0 )
8988adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e. 
NN0 )
90 expp1 11389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ j )  x.  2 ) )
913, 89, 90sylancr 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ j )  x.  2 ) )
92 nnexpcl 11395 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ j
)  e.  NN )
9336, 88, 92sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2 ^ j )  e.  NN )
9493adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ j )  e.  NN )
9594nncnd 10017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ j )  e.  CC )
96 mulcom 9077 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2 ^ j
)  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( 2 ^ j )  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( 2 ^ j ) ) )
9795, 3, 96sylancl 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ j )  x.  2 )  =  ( 2  x.  (
2 ^ j ) ) )
9891, 97eqtrd 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  =  ( 2  x.  (
2 ^ j ) ) )
9998oveq1d 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  x.  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( 2 ^ j
) )  x.  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
1003a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
101 nnexpcl 11395 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  ( j  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  e.  NN )
10236, 79, 101sylancr 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  NN )
10338adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR )
104 fveq2 5729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )
105104eleq1d 2503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  e.  RR ) )
106105rspcv 3049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  RR ) )
107102, 103, 106sylc 59 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
108107recnd 9115 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
109100, 95, 108mulassd 9112 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  ( 2 ^ j ) )  x.  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  (
( 2 ^ j
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
11087, 99, 1093eqtrd 2473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `
 ( j  +  1 ) )  =  ( 2  x.  (
( 2 ^ j
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
11194nnnn0d 10275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ j )  e. 
NN0 )
112 hashfz1 11631 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2 ^ j )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... (
2 ^ j ) ) )  =  ( 2 ^ j ) )
113111, 112syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( # `  ( 1 ... (
2 ^ j ) ) )  =  ( 2 ^ j ) )
114113, 95eqeltrd 2511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( # `  ( 1 ... (
2 ^ j ) ) )  e.  CC )
115 fzfid 11313 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( ( 2 ^ j
)  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  e. 
Fin )
116 hashcl 11640 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  e. 
NN0 )
117115, 116syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( # `  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  e.  NN0 )
118117nn0cnd 10277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( # `  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
119 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN )
120119nnzd 10375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ZZ )
121 uzid 10501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
122 peano2uz 10531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  j )
)
123 1re 9091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  RR
124 1lt2 10143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  <  2
125123, 49, 124ltleii 9197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  <_  2
126 leexp2a 11436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <_  2  /\  (
j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  j
) )  ->  (
2 ^ j )  <_  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
12749, 125, 126mp3an12 1270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( 2 ^ j )  <_ 
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )
128120, 121, 122, 1274syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ j )  <_ 
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )
12994, 69syl6eleq 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ j )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
130102nnzd 10375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ZZ )
131 elfz5 11052 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 2 ^ j
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  (
2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2 ^ j )  e.  ( 1 ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  <-> 
( 2 ^ j
)  <_  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
132129, 130, 131syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ j )  e.  ( 1 ... ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  <->  ( 2 ^ j )  <_ 
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )
133128, 132mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ j )  e.  ( 1 ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
134 fzsplit 11078 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2 ^ j )  e.  ( 1 ... ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  ->  (
1 ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( 1 ... ( 2 ^ j
) )  u.  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
135133, 134syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1 ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( 1 ... ( 2 ^ j
) )  u.  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
136135fveq2d 5733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( # `  ( 1 ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  =  (
# `  ( (
1 ... ( 2 ^ j ) )  u.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
13795times2d 10212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ j )  x.  2 )  =  ( ( 2 ^ j )  +  ( 2 ^ j ) ) )
13891, 137eqtrd 2469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ j )  +  ( 2 ^ j ) ) )
139102nnnn0d 10275 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e. 
NN0 )
140 hashfz1 11631 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
141139, 140syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( # `  ( 1 ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
142113oveq1d 6097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( (
# `  ( 1 ... ( 2 ^ j
) ) )  +  ( 2 ^ j
) )  =  ( ( 2 ^ j
)  +  ( 2 ^ j ) ) )
143138, 141, 1423eqtr4d 2479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( # `  ( 1 ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  (
1 ... ( 2 ^ j ) ) )  +  ( 2 ^ j ) ) )
144 fzfid 11313 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1 ... ( 2 ^ j ) )  e. 
Fin )
14594nnred 10016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ j )  e.  RR )
146145ltp1d 9942 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ j )  < 
( ( 2 ^ j )  +  1 ) )
147 fzdisj 11079 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2 ^ j )  <  ( ( 2 ^ j )  +  1 )  ->  (
( 1 ... (
2 ^ j ) )  i^i  ( ( ( 2 ^ j
)  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  =  (/) )
148146, 147syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 1 ... ( 2 ^ j ) )  i^i  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  =  (/) )
149 hashun 11657 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1 ... (
2 ^ j ) )  e.  Fin  /\  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  Fin  /\  ( ( 1 ... ( 2 ^ j
) )  i^i  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  =  (/) )  -> 
( # `  ( ( 1 ... ( 2 ^ j ) )  u.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( # `  ( 1 ... (
2 ^ j ) ) )  +  (
# `  ( (
( 2 ^ j
)  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
150144, 115, 148, 149syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( # `  ( ( 1 ... ( 2 ^ j
) )  u.  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( # `  (
1 ... ( 2 ^ j ) ) )  +  ( # `  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
151136, 143, 1503eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( (
# `  ( 1 ... ( 2 ^ j
) ) )  +  ( 2 ^ j
) )  =  ( ( # `  (
1 ... ( 2 ^ j ) ) )  +  ( # `  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
152114, 95, 118, 151addcanad 9272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ j )  =  ( # `  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
153152oveq1d 6097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ j )  x.  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
154 fsumconst 12574 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  Fin  /\  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j
)  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( # `  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  x.  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
155115, 108, 154syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  =  ( ( # `  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
156153, 155eqtr4d 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ j )  x.  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
157107adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
158 simpl 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ph )
159158adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ph )
160 peano2nn 10013 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2 ^ j )  e.  NN  ->  (
( 2 ^ j
)  +  1 )  e.  NN )
16194, 160syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ j )  +  1 )  e.  NN )
162 elfzuz 11056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( (
2 ^ j )  +  1 ) ) )
16369uztrn2 10504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( 2 ^ j )  +  1 )  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ) )  -> 
k  e.  NN )
164161, 162, 163syl2an 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  k  e.  NN )
165159, 164, 37syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
166 elfzuz3 11057 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  ->  (
2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  n
) )
167166adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  (
2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  n
) )
168 simplll 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ( n ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ph )
169 elfzuz 11056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( (
2 ^ j )  +  1 ) ) )
17069uztrn2 10504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( 2 ^ j )  +  1 )  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN )
171161, 169, 170syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
172 elfzuz 11056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( n ... ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)
17369uztrn2 10504 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
k  e.  NN )
174171, 172, 173syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ( n ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  k  e.  NN )
175168, 174, 37syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ( n ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
176 simplll 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ( n ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ph )
177 elfzuz 11056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( n ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)
178171, 177, 173syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ( n ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
179 climcnds.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( F `  k
) )
180176, 178, 179syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ( n ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k ) )
181167, 175, 180monoord2 11355 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  <_  ( F `  n ) )
182181ralrimiva 2790 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  A. n  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  <_  ( F `  n )
)
183 fveq2 5729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
184183breq2d 4225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
( F `  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) )  <_  ( F `  n )  <->  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  <_  ( F `  k )
) )
185184rspccva 3052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. n  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) )  <_  ( F `  n )  /\  k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  <_  ( F `  k ) )
186182, 185sylan 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  <_  ( F `  k ) )
187115, 157, 165, 186fsumle 12579 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k ) )
188156, 187eqbrtrd 4233 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ j )  x.  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j
)  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k ) )
189145, 107remulcld 9117 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ j )  x.  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
190115, 165fsumrecl 12529 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k )  e.  RR )
19151a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
192 lemul2 9864 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( 2 ^ j )  x.  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  e.  RR  /\  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j
)  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k )  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( ( 2 ^ j )  x.  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j
)  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k )  <-> 
( 2  x.  (
( 2 ^ j
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( 2  x.  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k
) ) ) )
193189, 190, 191, 192syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( ( 2 ^ j
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k
)  <->  ( 2  x.  ( ( 2 ^ j )  x.  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )  <_  (
2  x.  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k ) ) ) )
194188, 193mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( ( 2 ^ j )  x.  ( F `  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )  <_ 
( 2  x.  sum_ k  e.  ( (
( 2 ^ j
)  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k ) ) )
195110, 194eqbrtrd 4233 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `
 ( j  +  1 ) )  <_ 
( 2  x.  sum_ k  e.  ( (
( 2 ^ j
)  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k ) ) )
19656a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
197 nnnn0 10229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
198 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  NN0 )
199 nnexpcl 11395 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ n
)  e.  NN )
20036, 198, 199sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ n )  e.  NN )
201200nnred 10016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ n )  e.  RR )
20238adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR )
203 fveq2 5729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( 2 ^ n )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( 2 ^ n
) ) )
204203eleq1d 2503 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( 2 ^ n )  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  ( 2 ^ n
) )  e.  RR ) )
205204rspcv 3049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2 ^ n )  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  ( 2 ^ n ) )  e.  RR ) )
206200, 202, 205sylc 59 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( 2 ^ n
) )  e.  RR )
207201, 206remulcld 9117 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ n )  x.  ( F `  ( 2 ^ n
) ) )  e.  RR )
20858, 207eqeltrd 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  e.  RR )
209197, 208sylan2 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( G `
 n )  e.  RR )
21069, 196, 209serfre 11353 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  G ) : NN --> RR )
211210ffvelrnda 5871 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j
)  e.  RR )
212209ralrimiva 2790 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( G `  n )  e.  RR )
213212adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  A. n  e.  NN  ( G `  n )  e.  RR )
21481eleq1d 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
( G `  n
)  e.  RR  <->  ( G `  ( j  +  1 ) )  e.  RR ) )
215214rspcv 3049 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  ( G `  n )  e.  RR  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  e.  RR ) )
21678, 213, 215sylc 59 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `
 ( j  +  1 ) )  e.  RR )
21769, 196, 37serfre 11353 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> RR )
218 ffvelrn 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> RR  /\  (
2 ^ j )  e.  NN )  -> 
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( 2 ^ j ) )  e.  RR )
219217, 93, 218syl2an 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) )  e.  RR )
220 remulcl 9076 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( 2 ^ j
) )  e.  RR )  ->  ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( 2 ^ j ) ) )  e.  RR )
22149, 219, 220sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ j ) ) )  e.  RR )
222 remulcl 9076 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j
)  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  sum_ k  e.  ( (
( 2 ^ j
)  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k ) )  e.  RR )
22349, 190, 222sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k
) )  e.  RR )
224 le2add 9511 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (  seq  1
(  +  ,  G
) `  j )  e.  RR  /\  ( G `
 ( j  +  1 ) )  e.  RR )  /\  (
( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  sum_ k  e.  ( (
( 2 ^ j
)  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k ) )  e.  RR ) )  ->  ( (
(  seq  1 (  +  ,  G ) `
 j )  <_ 
( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) ) )  /\  ( G `  ( j  +  1 ) )  <_  ( 2  x. 
sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k
) ) )  -> 
( (  seq  1
(  +  ,  G
) `  j )  +  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  <_ 
( ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( 2 ^ j ) ) )  +  ( 2  x. 
sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k
) ) ) ) )
225211, 216, 221, 223, 224syl22anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( (  seq  1 (  +  ,  G ) `
 j )  <_ 
( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) ) )  /\  ( G `  ( j  +  1 ) )  <_  ( 2  x. 
sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k
) ) )  -> 
( (  seq  1
(  +  ,  G
) `  j )  +  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  <_ 
( ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( 2 ^ j ) ) )  +  ( 2  x. 
sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k
) ) ) ) )
226195, 225mpan2d 657 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j )  <_  (
2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) ) )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  G ) `
 j )  +  ( G `  (
j  +  1 ) ) )  <_  (
( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) ) )  +  ( 2  x.  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k ) ) ) ) )
227119, 69syl6eleq 2527 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
228 seqp1 11339 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j )  +  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) )
229227, 228syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j )  +  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) )
230 fzfid 11313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1 ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  e. 
Fin )
231 elfznn 11081 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
23237recnd 9115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  CC )
233158, 231, 232syl2an 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
234148, 135, 230, 233fsumsplit 12534 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2 ^ j ) ) ( F `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k ) ) )
235 eqidd 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
236102, 69syl6eleq 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
237235, 236, 233fsumser 12525 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k )  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )
238 eqidd 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... (
2 ^ j ) ) )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
239 elfznn 11081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( 2 ^ j
) )  ->  k  e.  NN )
240158, 239, 232syl2an 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... (
2 ^ j ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
241238, 129, 240fsumser 12525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... (
2 ^ j ) ) ( F `  k )  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( 2 ^ j
) ) )
242241oveq1d 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2 ^ j ) ) ( F `  k )  +  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k
) )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( 2 ^ j ) )  + 
sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k
) ) )
243234, 237, 2423eqtr3d 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( 2 ^ j
) )  +  sum_ k  e.  ( (
( 2 ^ j
)  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k ) ) )
244243oveq2d 6098 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) )  +  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k ) ) ) )
245219recnd 9115 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) )  e.  CC )
246190recnd 9115 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k )  e.  CC )
247100, 245, 246adddid 9113 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) )  +  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k ) ) )  =  ( ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ j ) ) )  +  ( 2  x.  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k
) ) ) )
248244, 247eqtrd 2469 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) ) )  +  ( 2  x.  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k ) ) ) )
249229, 248breq12d 4226 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  G ) `  ( j  +  1 ) )  <_  (
2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  <->  ( (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j
)  +  ( G `
 ( j  +  1 ) ) )  <_  ( ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ j ) ) )  +  ( 2  x.  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k
) ) ) ) )
250226, 249sylibrd 227 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j )  <_  (
2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) ) )  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) )  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
251250expcom 426 . . . 4  |-  ( j  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j
)  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ j ) ) )  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) )  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) ) )
252251a2d 25 . . 3  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j
)  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ j ) ) ) )  ->  ( ph  ->  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  ( j  +  1 ) )  <_  ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) ) )
25310, 16, 22, 28, 76, 252nnind 10019 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ph  ->  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  N )  <_  ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ N ) ) ) ) )
254253impcom 421 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  N
)  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ N ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706    u. cun 3319    i^i cin 3320   (/)c0 3629   class class class wbr 4213   -->wf 5451   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   Fincfn 7110   CCcc 8989   RRcr 8990   0cc0 8991   1c1 8992    + caddc 8994    x. cmul 8996    < clt 9121    <_ cle 9122    - cmin 9292   NNcn 10001   2c2 10050   NN0cn0 10222   ZZcz 10283   ZZ>=cuz 10489   ...cfz 11044    seq cseq 11324   ^cexp 11383   #chash 11619   sum_csu 12480
This theorem is referenced by:  climcnds  12632
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-cda 8049  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-rp 10614  df-ico 10923  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-seq 11325  df-exp 11384  df-hash 11620  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-clim 12283  df-sum 12481
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