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Theorem climcndslem2 12309
Description: Lemma for climcnds 12310: bound the condensed series by the original series. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcnds.1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  RR )
climcnds.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( F `  k
) )
climcnds.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( F `  k
) )
climcnds.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  =  ( ( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
climcndslem2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  N
)  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ N ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, n, F    k, G, n    ph, k, n
Allowed substitution hints:    N( k, n)

Proof of Theorem climcndslem2
Dummy variables  j  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  x
)  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  1
) )
2 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  (
2 ^ x )  =  ( 2 ^ 1 ) )
3 2cn 9816 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
4 exp1 11109 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2 ^ 1 )  =  2 )
53, 4ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( 2 ^ 1 )  =  2
62, 5syl6eq 2331 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
2 ^ x )  =  2 )
76fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ x ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  2
) )
87oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ x ) ) )  =  ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  2
) ) )
91, 8breq12d 4036 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  G ) `
 x )  <_ 
( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ x ) ) )  <->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  1
)  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  2 )
) ) )
109imbi2d 307 . . 3  |-  ( x  =  1  ->  (
( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  x
)  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ x ) ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `
 1 )  <_ 
( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  2
) ) ) ) )
11 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( x  =  j  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  x
)  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j
) )
12 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( x  =  j  ->  (
2 ^ x )  =  ( 2 ^ j ) )
1312fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( x  =  j  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ x ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) ) )
1413oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( x  =  j  ->  (
2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ x ) ) )  =  ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) ) ) )
1511, 14breq12d 4036 . . . 4  |-  ( x  =  j  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  G ) `
 x )  <_ 
( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ x ) ) )  <->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j
)  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ j ) ) ) ) )
1615imbi2d 307 . . 3  |-  ( x  =  j  ->  (
( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  x
)  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ x ) ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `
 j )  <_ 
( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) ) ) ) ) )
17 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  x
)  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) ) )
18 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
2 ^ x )  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
1918fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ x ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
2019oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ x ) ) )  =  ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
2117, 20breq12d 4036 . . . 4  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  G ) `
 x )  <_ 
( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ x ) ) )  <->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) )  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
2221imbi2d 307 . . 3  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  x
)  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ x ) ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `
 ( j  +  1 ) )  <_ 
( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) ) )
23 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  x
)  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  N
) )
24 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
2 ^ x )  =  ( 2 ^ N ) )
2524fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ x ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ N ) ) )
2625oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ x ) ) )  =  ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ N ) ) ) )
2723, 26breq12d 4036 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  G ) `
 x )  <_ 
( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ x ) ) )  <->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  N
)  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ N ) ) ) ) )
2827imbi2d 307 . . 3  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  x
)  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ x ) ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `
 N )  <_ 
( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ N ) ) ) ) ) )
29 1nn 9757 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
30 climcnds.2 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( F `  k
) )
3130ralrimiva 2626 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  0  <_  ( F `  k ) )
32 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  1  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
1 ) )
3332breq2d 4035 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1  ->  (
0  <_  ( F `  k )  <->  0  <_  ( F `  1 ) ) )
3433rspcv 2880 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  0  <_  ( F `  k )  ->  0  <_  ( F `  1
) ) )
3529, 31, 34mpsyl 59 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( F `  1 ) )
36 2nn 9877 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
37 climcnds.1 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  RR )
3837ralrimiva 2626 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR )
39 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  2  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
2 ) )
4039eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  2  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  2 )  e.  RR ) )
4140rspcv 2880 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  2 )  e.  RR ) )
4236, 38, 41mpsyl 59 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  2
)  e.  RR )
4332eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  1  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  1 )  e.  RR ) )
4443rspcv 2880 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  1 )  e.  RR ) )
4529, 38, 44mpsyl 59 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  RR )
4642, 45addge02d 9361 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( F `  1 )  <->  ( F `  2 )  <_  ( ( F `
 1 )  +  ( F `  2
) ) ) )
4735, 46mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  2
)  <_  ( ( F `  1 )  +  ( F ` 
2 ) ) )
4845, 42readdcld 8862 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
1 )  +  ( F `  2 ) )  e.  RR )
49 2re 9815 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
50 2pos 9828 . . . . . . . 8  |-  0  <  2
5149, 50pm3.2i 441 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
5251a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
53 lemul2 9609 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  2
)  e.  RR  /\  ( ( F ` 
1 )  +  ( F `  2 ) )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( F `  2 )  <_  ( ( F ` 
1 )  +  ( F `  2 ) )  <->  ( 2  x.  ( F `  2
) )  <_  (
2  x.  ( ( F `  1 )  +  ( F ` 
2 ) ) ) ) )
5442, 48, 52, 53syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
2 )  <_  (
( F `  1
)  +  ( F `
 2 ) )  <-> 
( 2  x.  ( F `  2 )
)  <_  ( 2  x.  ( ( F `
 1 )  +  ( F `  2
) ) ) ) )
5547, 54mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( F `  2 )
)  <_  ( 2  x.  ( ( F `
 1 )  +  ( F `  2
) ) ) )
56 1z 10053 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
57 1nn0 9981 . . . . . 6  |-  1  e.  NN0
58 climcnds.4 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  =  ( ( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) ) )
5958ralrimiva 2626 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN0  ( G `  n )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  ( F `  (
2 ^ n ) ) ) )
60 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  ( G `  n )  =  ( G ` 
1 ) )
61 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  (
2 ^ n )  =  ( 2 ^ 1 ) )
6261, 5syl6eq 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  (
2 ^ n )  =  2 )
6362fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  ( F `  ( 2 ^ n ) )  =  ( F ` 
2 ) )
6462, 63oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  (
( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) )  =  ( 2  x.  ( F `  2
) ) )
6560, 64eqeq12d 2297 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  (
( G `  n
)  =  ( ( 2 ^ n )  x.  ( F `  ( 2 ^ n
) ) )  <->  ( G `  1 )  =  ( 2  x.  ( F `  2 )
) ) )
6665rspcv 2880 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  NN0  ->  ( A. n  e.  NN0  ( G `
 n )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  ( F `  ( 2 ^ n ) ) )  ->  ( G `  1 )  =  ( 2  x.  ( F `  2 )
) ) )
6757, 59, 66mpsyl 59 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  =  ( 2  x.  ( F ` 
2 ) ) )
6856, 67seq1i 11060 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `
 1 )  =  ( 2  x.  ( F `  2 )
) )
69 nnuz 10263 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
70 df-2 9804 . . . . . 6  |-  2  =  ( 1  +  1 )
71 eqidd 2284 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( F `
 1 ) )
7256, 71seq1i 11060 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 1 )  =  ( F `  1
) )
73 eqidd 2284 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  2
)  =  ( F `
 2 ) )
7469, 29, 70, 72, 73seqp1i 11062 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 2 )  =  ( ( F ` 
1 )  +  ( F `  2 ) ) )
7574oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  2
) )  =  ( 2  x.  ( ( F `  1 )  +  ( F ` 
2 ) ) ) )
7655, 68, 753brtr4d 4053 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `
 1 )  <_ 
( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  2
) ) )
77 peano2nn 9758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN )
7877adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  e.  NN )
7978nnnn0d 10018 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  e. 
NN0 )
8059adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  A. n  e.  NN0  ( G `  n )  =  ( ( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) ) )
81 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( G `  n )  =  ( G `  ( j  +  1 ) ) )
82 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
2 ^ n )  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
8382fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( F `  ( 2 ^ n ) )  =  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )
8482, 83oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  x.  ( F `  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
8581, 84eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
( G `  n
)  =  ( ( 2 ^ n )  x.  ( F `  ( 2 ^ n
) ) )  <->  ( G `  ( j  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
8685rspcv 2880 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN0  ->  ( A. n  e.  NN0  ( G `
 n )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  ( F `  ( 2 ^ n ) ) )  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
8779, 80, 86sylc 56 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `
 ( j  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  x.  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
88 nnnn0 9972 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  NN0 )
8988adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e. 
NN0 )
90 expp1 11110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ j )  x.  2 ) )
913, 89, 90sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ j )  x.  2 ) )
92 nnexpcl 11116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ j
)  e.  NN )
9336, 88, 92sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2 ^ j )  e.  NN )
9493adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ j )  e.  NN )
9594nncnd 9762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ j )  e.  CC )
96 mulcom 8823 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2 ^ j
)  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( 2 ^ j )  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( 2 ^ j ) ) )
9795, 3, 96sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ j )  x.  2 )  =  ( 2  x.  (
2 ^ j ) ) )
9891, 97eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  =  ( 2  x.  (
2 ^ j ) ) )
9998oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  x.  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( 2 ^ j
) )  x.  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
1003a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
101 nnexpcl 11116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  ( j  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  e.  NN )
10236, 79, 101sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  NN )
10338adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR )
104 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )
105104eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  e.  RR ) )
106105rspcv 2880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  RR ) )
107102, 103, 106sylc 56 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
108107recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
109100, 95, 108mulassd 8858 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  ( 2 ^ j ) )  x.  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  (
( 2 ^ j
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
11087, 99, 1093eqtrd 2319 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `
 ( j  +  1 ) )  =  ( 2  x.  (
( 2 ^ j
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
111 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN )
112111nnzd 10116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ZZ )
113 uzid 10242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
114112, 113syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
115 peano2uz 10272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  j )
)
116 1re 8837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  RR
117 1lt2 9886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  <  2
118116, 49, 117ltleii 8941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  <_  2
119 leexp2a 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <_  2  /\  (
j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  j
) )  ->  (
2 ^ j )  <_  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
12049, 118, 119mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( 2 ^ j )  <_ 
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )
121114, 115, 1203syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ j )  <_ 
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )
12294, 69syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ j )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
123102nnzd 10116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ZZ )
124 elfz5 10790 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 2 ^ j
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  (
2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2 ^ j )  e.  ( 1 ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  <-> 
( 2 ^ j
)  <_  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
125122, 123, 124syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ j )  e.  ( 1 ... ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  <->  ( 2 ^ j )  <_ 
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )
126121, 125mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ j )  e.  ( 1 ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
127 fzsplit 10816 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2 ^ j )  e.  ( 1 ... ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  ->  (
1 ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( 1 ... ( 2 ^ j
) )  u.  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
128126, 127syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1 ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( 1 ... ( 2 ^ j
) )  u.  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
129128fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( # `  ( 1 ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  =  (
# `  ( (
1 ... ( 2 ^ j ) )  u.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
13095times2d 9955 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ j )  x.  2 )  =  ( ( 2 ^ j )  +  ( 2 ^ j ) ) )
13191, 130eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ j )  +  ( 2 ^ j ) ) )
132102nnnn0d 10018 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e. 
NN0 )
133 hashfz1 11345 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
134132, 133syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( # `  ( 1 ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
13594nnnn0d 10018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ j )  e. 
NN0 )
136 hashfz1 11345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2 ^ j )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... (
2 ^ j ) ) )  =  ( 2 ^ j ) )
137135, 136syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( # `  ( 1 ... (
2 ^ j ) ) )  =  ( 2 ^ j ) )
138137oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( (
# `  ( 1 ... ( 2 ^ j
) ) )  +  ( 2 ^ j
) )  =  ( ( 2 ^ j
)  +  ( 2 ^ j ) ) )
139131, 134, 1383eqtr4d 2325 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( # `  ( 1 ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  (
1 ... ( 2 ^ j ) ) )  +  ( 2 ^ j ) ) )
140 fzfid 11035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1 ... ( 2 ^ j ) )  e. 
Fin )
141 fzfid 11035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( ( 2 ^ j
)  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  e. 
Fin )
14294nnred 9761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ j )  e.  RR )
143142ltp1d 9687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ j )  < 
( ( 2 ^ j )  +  1 ) )
144 fzdisj 10817 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2 ^ j )  <  ( ( 2 ^ j )  +  1 )  ->  (
( 1 ... (
2 ^ j ) )  i^i  ( ( ( 2 ^ j
)  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  =  (/) )
145143, 144syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 1 ... ( 2 ^ j ) )  i^i  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  =  (/) )
146 hashun 11364 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1 ... (
2 ^ j ) )  e.  Fin  /\  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  Fin  /\  ( ( 1 ... ( 2 ^ j
) )  i^i  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  =  (/) )  -> 
( # `  ( ( 1 ... ( 2 ^ j ) )  u.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( # `  ( 1 ... (
2 ^ j ) ) )  +  (
# `  ( (
( 2 ^ j
)  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
147140, 141, 145, 146syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( # `  ( ( 1 ... ( 2 ^ j
) )  u.  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( # `  (
1 ... ( 2 ^ j ) ) )  +  ( # `  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
148129, 139, 1473eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( (
# `  ( 1 ... ( 2 ^ j
) ) )  +  ( 2 ^ j
) )  =  ( ( # `  (
1 ... ( 2 ^ j ) ) )  +  ( # `  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
149137, 95eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( # `  ( 1 ... (
2 ^ j ) ) )  e.  CC )
150 hashcl 11350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  e. 
NN0 )
151141, 150syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( # `  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  e.  NN0 )
152151nn0cnd 10020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( # `  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
153149, 95, 152addcand 9015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( ( # `  (
1 ... ( 2 ^ j ) ) )  +  ( 2 ^ j ) )  =  ( ( # `  (
1 ... ( 2 ^ j ) ) )  +  ( # `  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )  <->  ( 2 ^ j )  =  ( # `  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
154148, 153mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ j )  =  ( # `  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
155154oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ j )  x.  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
156 fsumconst 12252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  Fin  /\  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j
)  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( # `  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  x.  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
157141, 108, 156syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  =  ( ( # `  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
158155, 157eqtr4d 2318 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ j )  x.  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
159107adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
160 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ph )
161160adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ph )
162 peano2nn 9758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2 ^ j )  e.  NN  ->  (
( 2 ^ j
)  +  1 )  e.  NN )
16394, 162syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ j )  +  1 )  e.  NN )
164 elfzuz 10794 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( (
2 ^ j )  +  1 ) ) )
16569uztrn2 10245 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( 2 ^ j )  +  1 )  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ) )  -> 
k  e.  NN )
166163, 164, 165syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  k  e.  NN )
167161, 166, 37syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
168 elfzuz3 10795 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  ->  (
2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  n
) )
169168adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  (
2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  n
) )
170 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ( n ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ph )
171 elfzuz 10794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( (
2 ^ j )  +  1 ) ) )
17269uztrn2 10245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( 2 ^ j )  +  1 )  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN )
173163, 171, 172syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
174 elfzuz 10794 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( n ... ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)
17569uztrn2 10245 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
k  e.  NN )
176173, 174, 175syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ( n ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  k  e.  NN )
177170, 176, 37syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ( n ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
178 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ( n ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ph )
179 elfzuz 10794 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( n ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)
180173, 179, 175syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ( n ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
181 climcnds.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( F `  k
) )
182178, 180, 181syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ( n ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k ) )
183169, 177, 182monoord2 11077 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  <_  ( F `  n ) )
184183ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  A. n  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  <_  ( F `  n )
)
185 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
186185breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
( F `  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) )  <_  ( F `  n )  <->  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  <_  ( F `  k )
) )
187186rspccva 2883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. n  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) )  <_  ( F `  n )  /\  k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  <_  ( F `  k ) )
188184, 187sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  <_  ( F `  k ) )
189141, 159, 167, 188fsumle 12257 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k ) )
190158, 189eqbrtrd 4043 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ j )  x.  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j
)  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k ) )
191142, 107remulcld 8863 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ j )  x.  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
192141, 167fsumrecl 12207 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k )  e.  RR )
19351a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
194 lemul2 9609 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( 2 ^ j )  x.  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  e.  RR  /\  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j
)  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k )  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( ( 2 ^ j )  x.  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j
)  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k )  <-> 
( 2  x.  (
( 2 ^ j
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( 2  x.  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k
) ) ) )
195191, 192, 193, 194syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( ( 2 ^ j
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k
)  <->  ( 2  x.  ( ( 2 ^ j )  x.  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )  <_  (
2  x.  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k ) ) ) )
196190, 195mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( ( 2 ^ j )  x.  ( F `  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )  <_ 
( 2  x.  sum_ k  e.  ( (
( 2 ^ j
)  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k ) ) )
197110, 196eqbrtrd 4043 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `
 ( j  +  1 ) )  <_ 
( 2  x.  sum_ k  e.  ( (
( 2 ^ j
)  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k ) ) )
19856a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
199 nnnn0 9972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
200 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  NN0 )
201 nnexpcl 11116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ n
)  e.  NN )
20236, 200, 201sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ n )  e.  NN )
203202nnred 9761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ n )  e.  RR )
20438adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR )
205 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( 2 ^ n )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( 2 ^ n
) ) )
206205eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( 2 ^ n )  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  ( 2 ^ n
) )  e.  RR ) )
207206rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2 ^ n )  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  ( 2 ^ n ) )  e.  RR ) )
208202, 204, 207sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( 2 ^ n
) )  e.  RR )
209203, 208remulcld 8863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ n )  x.  ( F `  ( 2 ^ n
) ) )  e.  RR )
21058, 209eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  e.  RR )
211199, 210sylan2 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( G `
 n )  e.  RR )
21269, 198, 211serfre 11075 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  G ) : NN --> RR )
213 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  G ) : NN --> RR  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j
)  e.  RR )
214212, 213sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j
)  e.  RR )
215211ralrimiva 2626 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( G `  n )  e.  RR )
216215adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  A. n  e.  NN  ( G `  n )  e.  RR )
21781eleq1d 2349 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
( G `  n
)  e.  RR  <->  ( G `  ( j  +  1 ) )  e.  RR ) )
218217rspcv 2880 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  ( G `  n )  e.  RR  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  e.  RR ) )
21978, 216, 218sylc 56 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `
 ( j  +  1 ) )  e.  RR )
22069, 198, 37serfre 11075 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> RR )
221 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> RR  /\  (
2 ^ j )  e.  NN )  -> 
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( 2 ^ j ) )  e.  RR )
222220, 93, 221syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) )  e.  RR )
223 remulcl 8822 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( 2 ^ j
) )  e.  RR )  ->  ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( 2 ^ j ) ) )  e.  RR )
22449, 222, 223sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ j ) ) )  e.  RR )
225 remulcl 8822 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j
)  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  sum_ k  e.  ( (
( 2 ^ j
)  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k ) )  e.  RR )
22649, 192, 225sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k
) )  e.  RR )
227 le2add 9256 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (  seq  1
(  +  ,  G
) `  j )  e.  RR  /\  ( G `
 ( j  +  1 ) )  e.  RR )  /\  (
( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  sum_ k  e.  ( (
( 2 ^ j
)  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k ) )  e.  RR ) )  ->  ( (
(  seq  1 (  +  ,  G ) `
 j )  <_ 
( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) ) )  /\  ( G `  ( j  +  1 ) )  <_  ( 2  x. 
sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k
) ) )  -> 
( (  seq  1
(  +  ,  G
) `  j )  +  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  <_ 
( ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( 2 ^ j ) ) )  +  ( 2  x. 
sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k
) ) ) ) )
228214, 219, 224, 226, 227syl22anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( (  seq  1 (  +  ,  G ) `
 j )  <_ 
( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) ) )  /\  ( G `  ( j  +  1 ) )  <_  ( 2  x. 
sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k
) ) )  -> 
( (  seq  1
(  +  ,  G
) `  j )  +  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  <_ 
( ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( 2 ^ j ) ) )  +  ( 2  x. 
sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k
) ) ) ) )
229197, 228mpan2d 655 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j )  <_  (
2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) ) )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  G ) `
 j )  +  ( G `  (
j  +  1 ) ) )  <_  (
( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) ) )  +  ( 2  x.  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k ) ) ) ) )
230111, 69syl6eleq 2373 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
231 seqp1 11061 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j )  +  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) )
232230, 231syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j )  +  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) )
233 fzfid 11035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1 ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  e. 
Fin )
234 elfznn 10819 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
23537recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  CC )
236160, 234, 235syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
237145, 128, 233, 236fsumsplit 12212 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2 ^ j ) ) ( F `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k ) ) )
238 eqidd 2284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
239102, 69syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
240238, 239, 236fsumser 12203 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k )  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )
241 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... (
2 ^ j ) ) )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
242 elfznn 10819 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( 2 ^ j
) )  ->  k  e.  NN )
243160, 242, 235syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... (
2 ^ j ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
244241, 122, 243fsumser 12203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... (
2 ^ j ) ) ( F `  k )  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( 2 ^ j
) ) )
245244oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2 ^ j ) ) ( F `  k )  +  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k
) )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( 2 ^ j ) )  + 
sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k
) ) )
246237, 240, 2453eqtr3d 2323 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( 2 ^ j
) )  +  sum_ k  e.  ( (
( 2 ^ j
)  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k ) ) )
247246oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) )  +  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k ) ) ) )
248222recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) )  e.  CC )
249192recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k )  e.  CC )
250100, 248, 249adddid 8859 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) )  +  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k ) ) )  =  ( ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ j ) ) )  +  ( 2  x.  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k
) ) ) )
251247, 250eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) ) )  +  ( 2  x.  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k ) ) ) )
252232, 251breq12d 4036 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  G ) `  ( j  +  1 ) )  <_  (
2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  <->  ( (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j
)  +  ( G `
 ( j  +  1 ) ) )  <_  ( ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ j ) ) )  +  ( 2  x.  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k
) ) ) ) )
253229, 252sylibrd 225 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j )  <_  (
2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) ) )  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) )  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
254253expcom 424 . . . 4  |-  ( j  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j
)  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ j ) ) )  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) )  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) ) )
255254a2d 23 . . 3  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j
)  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ j ) ) ) )  ->  ( ph  ->  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  ( j  +  1 ) )  <_  ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) ) )
25610, 16, 22, 28, 76, 255nnind 9764 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ph  ->  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  N )  <_  ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ N ) ) ) ) )
257256impcom 419 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  N
)  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ N ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    u. cun 3150    i^i cin 3151   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782    seq cseq 11046   ^cexp 11104   #chash 11337   sum_csu 12158
This theorem is referenced by:  climcnds  12310
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-ico 10662  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159
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