Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climexp Unicode version

Theorem climexp 27322
 Description: The limit of natural powers, is the natural power of the limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climexp.1
climexp.2
climexp.3
climexp.4
climexp.5
climexp.6
climexp.7
climexp.8
climexp.9
climexp.10
Assertion
Ref Expression
climexp
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem climexp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climexp.4 . . . 4
2 climexp.5 . . . 4
3 climexp.8 . . . . . 6
4 eqid 2366 . . . . . . 7 fld fld
54expcn 18590 . . . . . 6 fld fld
63, 5syl 15 . . . . 5 fld fld
74cncfcn1 18628 . . . . 5 fld fld
86, 7syl6eleqr 2457 . . . 4
9 climexp.6 . . . 4
10 climexp.7 . . . 4
11 climcl 12180 . . . . 5
1210, 11syl 15 . . . 4
131, 2, 8, 9, 10, 12climcncf 18618 . . 3
14 eqidd 2367 . . . 4
15 simpr 447 . . . . 5
1615oveq1d 5996 . . . 4
1712, 3expcld 11410 . . . 4
1814, 16, 12, 17fvmptd 5713 . . 3
1913, 18breqtrd 4149 . 2
20 climexp.9 . . 3
21 cnex 8965 . . . . . . 7
2221mptex 5866 . . . . . 6
2322a1i 10 . . . . 5
24 fvex 5646 . . . . . . . . 9
251, 24eqeltri 2436 . . . . . . . 8
2625a1i 10 . . . . . . 7
279, 26jca 518 . . . . . 6
28 fex 5869 . . . . . 6
2927, 28syl 15 . . . . 5
3023, 29jca 518 . . . 4
31 coexg 5318 . . . 4
3230, 31syl 15 . . 3
33 climexp.1 . . . . . . 7
34 nfv 1624 . . . . . . 7
3533, 34nfan 1834 . . . . . 6
36 climexp.3 . . . . . . . 8
37 nfcv 2502 . . . . . . . 8
3836, 37nffv 5639 . . . . . . 7
39 climexp.2 . . . . . . . . 9
4039, 37nffv 5639 . . . . . . . 8
41 nfcv 2502 . . . . . . . 8
42 nfcv 2502 . . . . . . . 8
4340, 41, 42nfov 6004 . . . . . . 7
4438, 43nfeq 2509 . . . . . 6
4535, 44nfim 1820 . . . . 5
46 eleq1 2426 . . . . . . 7
4746anbi2d 684 . . . . . 6
48 fveq2 5632 . . . . . . 7
49 fveq2 5632 . . . . . . . 8
5049oveq1d 5996 . . . . . . 7
5148, 50eqeq12d 2380 . . . . . 6
5247, 51imbi12d 311 . . . . 5
53 climexp.10 . . . . 5
5445, 52, 53chvar 1999 . . . 4
55 eqidd 2367 . . . . . 6
56 simpr 447 . . . . . . 7
5756oveq1d 5996 . . . . . 6
589ffvelrnda 5772 . . . . . 6
593adantr 451 . . . . . . 7
6058, 59expcld 11410 . . . . . 6
6155, 57, 58, 60fvmptd 5713 . . . . 5
6261eqcomd 2371 . . . 4
639anim1i 551 . . . . . 6
64 fvco3 5703 . . . . . 6
6563, 64syl 15 . . . . 5
6665eqcomd 2371 . . . 4
6754, 62, 663eqtrd 2402 . . 3
681, 20, 32, 2, 67climeq 12248 . 2
6919, 68mpbird 223 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358  wnf 1549   wceq 1647   wcel 1715  wnfc 2489  cvv 2873   class class class wbr 4125   cmpt 4179   ccom 4796  wf 5354  cfv 5358  (class class class)co 5981  cc 8882  cn0 10114  cz 10175  cuz 10381  cexp 11269   cli 12165  ctopn 13536  ℂfldccnfld 16593   ccn 17171  ccncf 18594 This theorem is referenced by:  stirlinglem8  27421 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962  ax-mulf 8964 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-2o 6622  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-ixp 6961  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-fi 7312  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-cda 7941  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-dec 10276  df-uz 10382  df-q 10468  df-rp 10506  df-xneg 10603  df-xadd 10604  df-xmul 10605  df-icc 10816  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-seq 11211  df-exp 11270  df-hash 11506  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-clim 12169  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-starv 13431  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-tset 13435  df-ple 13436  df-ds 13438  df-unif 13439  df-hom 13440  df-cco 13441  df-rest 13537  df-topn 13538  df-topgen 13554  df-pt 13555  df-prds 13558  df-xrs 13613  df-0g 13614  df-gsum 13615  df-qtop 13620  df-imas 13621  df-xps 13623  df-mre 13698  df-mrc 13699  df-acs 13701  df-mnd 14577  df-submnd 14626  df-mulg 14702  df-cntz 15003  df-cmn 15301  df-xmet 16586  df-met 16587  df-bl 16588  df-mopn 16589  df-cnfld 16594  df-top 16853  df-bases 16855  df-topon 16856  df-topsp 16857  df-cn 17174  df-cnp 17175  df-tx 17474  df-hmeo 17663  df-xms 18098  df-ms 18099  df-tms 18100  df-cncf 18596
 Copyright terms: Public domain W3C validator