Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climexp Structured version   Unicode version

Theorem climexp 27721
Description: The limit of natural powers, is the natural power of the limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climexp.1  |-  F/ k
ph
climexp.2  |-  F/_ k F
climexp.3  |-  F/_ k H
climexp.4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climexp.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climexp.6  |-  ( ph  ->  F : Z --> CC )
climexp.7  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
climexp.8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
climexp.9  |-  ( ph  ->  H  e.  V )
climexp.10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `
 k ) ^ N ) )
Assertion
Ref Expression
climexp  |-  ( ph  ->  H  ~~>  ( A ^ N ) )
Distinct variable groups:    k, N    k, Z
Allowed substitution hints:    ph( k)    A( k)    F( k)    H( k)    M( k)    V( k)

Proof of Theorem climexp
Dummy variables  j  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climexp.4 . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 climexp.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 climexp.8 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
4 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
54expcn 18907 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
63, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
74cncfcn1 18945 . . . . 5  |-  ( CC
-cn-> CC )  =  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
86, 7syl6eleqr 2529 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
9 climexp.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : Z --> CC )
10 climexp.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
11 climcl 12298 . . . . 5  |-  ( F  ~~>  A  ->  A  e.  CC )
1210, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
131, 2, 8, 9, 10, 12climcncf 18935 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F )  ~~>  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) `  A ) )
14 eqidd 2439 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )
15 simpr 449 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  x  =  A )
1615oveq1d 6099 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  (
x ^ N )  =  ( A ^ N ) )
1712, 3expcld 11528 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  CC )
1814, 16, 12, 17fvmptd 5813 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) `  A )  =  ( A ^ N ) )
1913, 18breqtrd 4239 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F )  ~~>  ( A ^ N ) )
20 climexp.9 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  V )
21 cnex 9076 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
2221mptex 5969 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  e.  _V
23 fvex 5745 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
241, 23eqeltri 2508 . . . . 5  |-  Z  e. 
_V
25 fex 5972 . . . . 5  |-  ( ( F : Z --> CC  /\  Z  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
269, 24, 25sylancl 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
27 coexg 5415 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) )  e.  _V  /\  F  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F )  e.  _V )
2822, 26, 27sylancr 646 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F )  e.  _V )
29 eqidd 2439 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )
30 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  x  =  ( F `  j ) )  ->  x  =  ( F `  j ) )
3130oveq1d 6099 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  x  =  ( F `  j ) )  -> 
( x ^ N
)  =  ( ( F `  j ) ^ N ) )
329ffvelrnda 5873 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j )  e.  CC )
333adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  N  e.  NN0 )
3432, 33expcld 11528 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( F `  j
) ^ N )  e.  CC )
3529, 31, 32, 34fvmptd 5813 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) ) `  ( F `  j )
)  =  ( ( F `  j ) ^ N ) )
36 fvco3 5803 . . . . 5  |-  ( ( F : Z --> CC  /\  j  e.  Z )  ->  ( ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F ) `  j )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) ) `  ( F `  j )
) )
379, 36sylan 459 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F ) `  j
)  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) `  ( F `
 j ) ) )
38 climexp.1 . . . . . . 7  |-  F/ k
ph
39 nfv 1630 . . . . . . 7  |-  F/ k  j  e.  Z
4038, 39nfan 1847 . . . . . 6  |-  F/ k ( ph  /\  j  e.  Z )
41 climexp.3 . . . . . . . 8  |-  F/_ k H
42 nfcv 2574 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
j
4341, 42nffv 5738 . . . . . . 7  |-  F/_ k
( H `  j
)
44 climexp.2 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k F
4544, 42nffv 5738 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
( F `  j
)
46 nfcv 2574 . . . . . . . 8  |-  F/_ k ^
47 nfcv 2574 . . . . . . . 8  |-  F/_ k N
4845, 46, 47nfov 6107 . . . . . . 7  |-  F/_ k
( ( F `  j ) ^ N
)
4943, 48nfeq 2581 . . . . . 6  |-  F/ k ( H `  j
)  =  ( ( F `  j ) ^ N )
5040, 49nfim 1833 . . . . 5  |-  F/ k ( ( ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( H `  j
)  =  ( ( F `  j ) ^ N ) )
51 eleq1 2498 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  (
k  e.  Z  <->  j  e.  Z ) )
5251anbi2d 686 . . . . . 6  |-  ( k  =  j  ->  (
( ph  /\  k  e.  Z )  <->  ( ph  /\  j  e.  Z ) ) )
53 fveq2 5731 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  ( H `  k )  =  ( H `  j ) )
54 fveq2 5731 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
5554oveq1d 6099 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
) ^ N )  =  ( ( F `
 j ) ^ N ) )
5653, 55eqeq12d 2452 . . . . . 6  |-  ( k  =  j  ->  (
( H `  k
)  =  ( ( F `  k ) ^ N )  <->  ( H `  j )  =  ( ( F `  j
) ^ N ) ) )
5752, 56imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k
)  =  ( ( F `  k ) ^ N ) )  <-> 
( ( ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( H `  j
)  =  ( ( F `  j ) ^ N ) ) ) )
58 climexp.10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `
 k ) ^ N ) )
5950, 57, 58chvar 1969 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( H `  j )  =  ( ( F `
 j ) ^ N ) )
6035, 37, 593eqtr4rd 2481 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( H `  j )  =  ( ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F ) `
 j ) )
611, 20, 28, 2, 60climeq 12366 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  ~~>  ( A ^ N )  <->  ( (
x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F )  ~~>  ( A ^ N
) ) )
6219, 61mpbird 225 1  |-  ( ph  ->  H  ~~>  ( A ^ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360   F/wnf 1554    = wceq 1653    e. wcel 1726   F/_wnfc 2561   _Vcvv 2958   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269    o. ccom 4885   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   NN0cn0 10226   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493   ^cexp 11387    ~~> cli 12283   TopOpenctopn 13654  ℂfldccnfld 16708    Cn ccn 17293   -cn->ccncf 18911
This theorem is referenced by:  stirlinglem8  27820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-prds 13676  df-xrs 13731  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-qtop 13738  df-imas 13739  df-xps 13741  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-mulg 14820  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-cnfld 16709  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-tx 17599  df-hmeo 17792  df-xms 18355  df-ms 18356  df-tms 18357  df-cncf 18913
  Copyright terms: Public domain W3C validator