Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climexp Structured version   Unicode version

Theorem climexp 27721
 Description: The limit of natural powers, is the natural power of the limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climexp.1
climexp.2
climexp.3
climexp.4
climexp.5
climexp.6
climexp.7
climexp.8
climexp.9
climexp.10
Assertion
Ref Expression
climexp
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem climexp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climexp.4 . . . 4
2 climexp.5 . . . 4
3 climexp.8 . . . . . 6
4 eqid 2438 . . . . . . 7 fld fld
54expcn 18907 . . . . . 6 fld fld
63, 5syl 16 . . . . 5 fld fld
74cncfcn1 18945 . . . . 5 fld fld
86, 7syl6eleqr 2529 . . . 4
9 climexp.6 . . . 4
10 climexp.7 . . . 4
11 climcl 12298 . . . . 5
1210, 11syl 16 . . . 4
131, 2, 8, 9, 10, 12climcncf 18935 . . 3
14 eqidd 2439 . . . 4
15 simpr 449 . . . . 5
1615oveq1d 6099 . . . 4
1712, 3expcld 11528 . . . 4
1814, 16, 12, 17fvmptd 5813 . . 3
1913, 18breqtrd 4239 . 2
20 climexp.9 . . 3
21 cnex 9076 . . . . 5
2221mptex 5969 . . . 4
23 fvex 5745 . . . . . 6
241, 23eqeltri 2508 . . . . 5
25 fex 5972 . . . . 5
269, 24, 25sylancl 645 . . . 4
27 coexg 5415 . . . 4
2822, 26, 27sylancr 646 . . 3
29 eqidd 2439 . . . . 5
30 simpr 449 . . . . . 6
3130oveq1d 6099 . . . . 5
329ffvelrnda 5873 . . . . 5
333adantr 453 . . . . . 6
3432, 33expcld 11528 . . . . 5
3529, 31, 32, 34fvmptd 5813 . . . 4
36 fvco3 5803 . . . . 5
379, 36sylan 459 . . . 4
38 climexp.1 . . . . . . 7
39 nfv 1630 . . . . . . 7
4038, 39nfan 1847 . . . . . 6
41 climexp.3 . . . . . . . 8
42 nfcv 2574 . . . . . . . 8
4341, 42nffv 5738 . . . . . . 7
44 climexp.2 . . . . . . . . 9
4544, 42nffv 5738 . . . . . . . 8
46 nfcv 2574 . . . . . . . 8
47 nfcv 2574 . . . . . . . 8
4845, 46, 47nfov 6107 . . . . . . 7
4943, 48nfeq 2581 . . . . . 6
5040, 49nfim 1833 . . . . 5
51 eleq1 2498 . . . . . . 7
5251anbi2d 686 . . . . . 6
53 fveq2 5731 . . . . . . 7
54 fveq2 5731 . . . . . . . 8
5554oveq1d 6099 . . . . . . 7
5653, 55eqeq12d 2452 . . . . . 6
5752, 56imbi12d 313 . . . . 5
58 climexp.10 . . . . 5
5950, 57, 58chvar 1969 . . . 4
6035, 37, 593eqtr4rd 2481 . . 3
611, 20, 28, 2, 60climeq 12366 . 2
6219, 61mpbird 225 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360  wnf 1554   wceq 1653   wcel 1726  wnfc 2561  cvv 2958   class class class wbr 4215   cmpt 4269   ccom 4885  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084  cc 8993  cn0 10226  cz 10287  cuz 10493  cexp 11387   cli 12283  ctopn 13654  ℂfldccnfld 16708   ccn 17293  ccncf 18911 This theorem is referenced by:  stirlinglem8  27820 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-mulf 9075 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-prds 13676  df-xrs 13731  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-qtop 13738  df-imas 13739  df-xps 13741  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-mulg 14820  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-cnfld 16709  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-tx 17599  df-hmeo 17792  df-xms 18355  df-ms 18356  df-tms 18357  df-cncf 18913
 Copyright terms: Public domain W3C validator