Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climexp Unicode version

Theorem climexp 27731
Description: The limit of natural powers, is the natural power of the limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climexp.1  |-  F/ k
ph
climexp.2  |-  F/_ k F
climexp.3  |-  F/_ k H
climexp.4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climexp.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climexp.6  |-  ( ph  ->  F : Z --> CC )
climexp.7  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
climexp.8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
climexp.9  |-  ( ph  ->  H  e.  V )
climexp.10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `
 k ) ^ N ) )
Assertion
Ref Expression
climexp  |-  ( ph  ->  H  ~~>  ( A ^ N ) )
Distinct variable groups:    k, N    k, Z
Allowed substitution hints:    ph( k)    A( k)    F( k)    H( k)    M( k)    V( k)

Proof of Theorem climexp
Dummy variables  j  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climexp.4 . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 climexp.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 climexp.8 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
4 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
54expcn 18376 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
63, 5syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
74cncfcn1 18414 . . . . 5  |-  ( CC
-cn-> CC )  =  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
86, 7syl6eleqr 2374 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
9 climexp.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : Z --> CC )
10 climexp.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
11 climcl 11973 . . . . 5  |-  ( F  ~~>  A  ->  A  e.  CC )
1210, 11syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
131, 2, 8, 9, 10, 12climcncf 18404 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F )  ~~>  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) `  A ) )
14 eqidd 2284 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )
15 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  x  =  A )
1615oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  (
x ^ N )  =  ( A ^ N ) )
1712, 3expcld 11245 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  CC )
1814, 16, 12, 17fvmptd 5606 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) `  A )  =  ( A ^ N ) )
1913, 18breqtrd 4047 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F )  ~~>  ( A ^ N ) )
20 climexp.9 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  V )
21 cnex 8818 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
2221mptex 5746 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  e.  _V
2322a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) )  e.  _V )
24 fvex 5539 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
251, 24eqeltri 2353 . . . . . . . 8  |-  Z  e. 
_V
2625a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  _V )
279, 26jca 518 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F : Z --> CC  /\  Z  e.  _V ) )
28 fex 5749 . . . . . 6  |-  ( ( F : Z --> CC  /\  Z  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
2927, 28syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
3023, 29jca 518 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  e. 
_V  /\  F  e.  _V ) )
31 coexg 5215 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) )  e.  _V  /\  F  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F )  e.  _V )
3230, 31syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F )  e.  _V )
33 climexp.1 . . . . . . 7  |-  F/ k
ph
34 nfv 1605 . . . . . . 7  |-  F/ k  j  e.  Z
3533, 34nfan 1771 . . . . . 6  |-  F/ k ( ph  /\  j  e.  Z )
36 climexp.3 . . . . . . . 8  |-  F/_ k H
37 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
j
3836, 37nffv 5532 . . . . . . 7  |-  F/_ k
( H `  j
)
39 climexp.2 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k F
4039, 37nffv 5532 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
( F `  j
)
41 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ k ^
42 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ k N
4340, 41, 42nfov 5881 . . . . . . 7  |-  F/_ k
( ( F `  j ) ^ N
)
4438, 43nfeq 2426 . . . . . 6  |-  F/ k ( H `  j
)  =  ( ( F `  j ) ^ N )
4535, 44nfim 1769 . . . . 5  |-  F/ k ( ( ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( H `  j
)  =  ( ( F `  j ) ^ N ) )
46 eleq1 2343 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  (
k  e.  Z  <->  j  e.  Z ) )
4746anbi2d 684 . . . . . 6  |-  ( k  =  j  ->  (
( ph  /\  k  e.  Z )  <->  ( ph  /\  j  e.  Z ) ) )
48 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  ( H `  k )  =  ( H `  j ) )
49 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
5049oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
) ^ N )  =  ( ( F `
 j ) ^ N ) )
5148, 50eqeq12d 2297 . . . . . 6  |-  ( k  =  j  ->  (
( H `  k
)  =  ( ( F `  k ) ^ N )  <->  ( H `  j )  =  ( ( F `  j
) ^ N ) ) )
5247, 51imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k
)  =  ( ( F `  k ) ^ N ) )  <-> 
( ( ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( H `  j
)  =  ( ( F `  j ) ^ N ) ) ) )
53 climexp.10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `
 k ) ^ N ) )
5445, 52, 53chvar 1926 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( H `  j )  =  ( ( F `
 j ) ^ N ) )
55 eqidd 2284 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )
56 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  x  =  ( F `  j ) )  ->  x  =  ( F `  j ) )
5756oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  x  =  ( F `  j ) )  -> 
( x ^ N
)  =  ( ( F `  j ) ^ N ) )
589ffvelrnda 5665 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j )  e.  CC )
593adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  N  e.  NN0 )
6058, 59expcld 11245 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( F `  j
) ^ N )  e.  CC )
6155, 57, 58, 60fvmptd 5606 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) ) `  ( F `  j )
)  =  ( ( F `  j ) ^ N ) )
6261eqcomd 2288 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( F `  j
) ^ N )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) `
 ( F `  j ) ) )
639anim1i 551 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( F : Z --> CC  /\  j  e.  Z )
)
64 fvco3 5596 . . . . . 6  |-  ( ( F : Z --> CC  /\  j  e.  Z )  ->  ( ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F ) `  j )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) ) `  ( F `  j )
) )
6563, 64syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F ) `  j
)  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) `  ( F `
 j ) ) )
6665eqcomd 2288 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) ) `  ( F `  j )
)  =  ( ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) )  o.  F
) `  j )
)
6754, 62, 663eqtrd 2319 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( H `  j )  =  ( ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F ) `
 j ) )
681, 20, 32, 2, 67climeq 12041 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  ~~>  ( A ^ N )  <->  ( (
x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F )  ~~>  ( A ^ N
) ) )
6919, 68mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  H  ~~>  ( A ^ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   F/wnf 1531    = wceq 1623    e. wcel 1684   F/_wnfc 2406   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ^cexp 11104    ~~> cli 11958   TopOpenctopn 13326  ℂfldccnfld 16377    Cn ccn 16954   -cn->ccncf 18380
This theorem is referenced by:  stirlinglem8  27830
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382
  Copyright terms: Public domain W3C validator