Theorem climfnrcli 8767

Description: The limit of a convergent real sequence on natural numbers is real. Corollary 12-2.5 of [Gleason] p. 172.

Hypotheses

Ref	Expression
climfnrcl.1	|- A e. _V
climfnrcl.2	|- F:NN-->RR
climfnrcl.3	|- F ~~> A

Assertion

Ref	Expression
climfnrcli	|- A e. RR

Proof of Theorem climfnrcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 7709	. 2 |- 1 e. ZZ
2		climfnrcl.3	. 2 |- F ~~> A
3		elnnuz 7956	. . . 4 |- (k e. NN <-> k e. (ZZ>=` 1))
4		climfnrcl.2	. . . . 5 |- F:NN-->RR
5	4	ffvelrni 4878	. . . 4 |- (k e. NN -> (F` k) e. RR)
6	3, 5	sylbir 244	. . 3 |- (k e. (ZZ>=` 1) -> (F` k) e. RR)
7	6	rgen 2410	. 2 |- A.k e. (ZZ>=` 1)(F` k) e. RR
8		climfnrcl.1	. . 3 |- A e. _V
9	8	climrecl 8766	. 2 |- ((1 e. ZZ /\ F ~~> A /\ A.k e. (ZZ>=` 1)(F` k) e. RR) -> A e. RR)
10	1, 2, 7, 9	mp3an 1466	1 |- A e. RR

Syntax hints:   e. wcel 1588  A.wral 2355  _Vcvv 2538   class class class wbr 3507  -->wf 4127  ` cfv 4131  RRcr 6751  1c1 6753  NNcn 6992  ZZcz 6994  ZZ>=cuz 7933   ~~> cli 8630

This theorem is referenced by:  climubii 8809  cvgcmp2lem 8836  cvgcmpubi 8842  erelem5 8983

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1592  ax-gen 1593  ax-8 1594  ax-9 1595  ax-10 1596  ax-11 1597  ax-12 1598  ax-13 1599  ax-14 1600  ax-17 1605  ax-4 1608  ax-5o 1610  ax-6o 1613  ax-9o 1763  ax-10o 1781  ax-16 1854  ax-11o 1864  ax-ext 2123  ax-rep 3596  ax-sep 3606  ax-nul 3613  ax-pow 3649  ax-pr 3687  ax-un 3929  ax-inf2 5964

This theorem depends on definitions:  df-bi 220  df-or 338  df-an 339  df-3or 1103  df-3an 1104  df-ex 1616  df-sb 1816  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2129  df-cleq 2134  df-clel 2137  df-ne 2268  df-nel 2269  df-ral 2359  df-rex 2360  df-reu 2361  df-rab 2362  df-v 2540  df-sbc 2700  df-csb 2774  df-dif 2830  df-un 2832  df-in 2834  df-ss 2836  df-pss 2838  df-nul 3083  df-if 3181  df-pw 3229  df-sn 3242  df-pr 3243  df-tp 3245  df-op 3246  df-uni 3367  df-int 3401  df-iun 3438  df-br 3508  df-opab 3566  df-tr 3580  df-eprel 3744  df-id 3747  df-po 3752  df-so 3764  df-fr 3782  df-we 3798  df-ord 3814  df-on 3815  df-lim 3816  df-suc 3817  df-om 4086  df-xp 4133  df-rel 4134  df-cnv 4135  df-co 4136  df-dm 4137  df-rn 4138  df-res 4139  df-ima 4140  df-fun 4141  df-fn 4142  df-f 4143  df-f1 4144  df-fo 4145  df-f1o 4146  df-fv 4147  df-opr 4983  df-oprab 4984  df-mpt 5099  df-1st 5126  df-2nd 5127  df-iota 5219  df-rdg 5304  df-1o 5344  df-oadd 5346  df-omul 5347  df-er 5479  df-ec 5481  df-qs 5484  df-en 5588  df-dom 5589  df-sdom 5590  df-undef 5725  df-riota 5729  df-sup 5888  df-ni 6518  df-pli 6519  df-mi 6520  df-lti 6521  df-plpq 6553  df-mpq 6554  df-enq 6555  df-nq 6556  df-plq 6557  df-mq 6558  df-rq 6559  df-ltq 6560  df-1q 6561  df-np 6604  df-1p 6605  df-plp 6606  df-mp 6607  df-ltp 6608  df-plpr 6682  df-mpr 6683  df-enr 6684  df-nr 6685  df-plr 6686  df-mr 6687  df-ltr 6688  df-0r 6689  df-1r 6690  df-m1r 6691  df-c 6758  df-0 6759  df-1 6760  df-i 6761  df-r 6762  df-plus 6763  df-mul 6764  df-lt 6765  df-pnf 6846  df-mnf 6847  df-xr 6848  df-ltxr 6849  df-le 6850  df-sub 7009  df-neg 7011  df-div 7223  df-n 7441  df-2 7487  df-n0 7649  df-z 7686  df-uz 7934  df-seq1 8094  df-exp 8196  df-sqr 8304  df-re 8385  df-im 8386  df-cj 8387  df-abs 8388  df-clim 8631

Copyright terms: Public domain