Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climfsum Structured version   Unicode version

Theorem climfsum 12601
 Description: Limit of a finite sum of converging sequences. Note that is a collection of functions with implicit parameter , each of which converges to as . (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
climfsum.1
climfsum.2
climfsum.3
climfsum.5
climfsum.6
climfsum.7
climfsum.8
Assertion
Ref Expression
climfsum
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   (,)

Proof of Theorem climfsum
StepHypRef Expression
1 climfsum.8 . . . 4
21mpteq2dva 4297 . . 3
3 climfsum.1 . . . . . . . 8
4 uzssz 10507 . . . . . . . 8
53, 4eqsstri 3380 . . . . . . 7
6 zssre 10291 . . . . . . 7
75, 6sstri 3359 . . . . . 6
87a1i 11 . . . . 5
9 climfsum.3 . . . . 5
10 fvex 5744 . . . . . 6
1110a1i 11 . . . . 5
12 climfsum.5 . . . . . . 7
13 climfsum.2 . . . . . . . . 9
1413adantr 453 . . . . . . . 8
15 climrel 12288 . . . . . . . . . 10
1615brrelexi 4920 . . . . . . . . 9
1712, 16syl 16 . . . . . . . 8
18 eqid 2438 . . . . . . . . 9
193, 18climmpt 12367 . . . . . . . 8
2014, 17, 19syl2anc 644 . . . . . . 7
2112, 20mpbid 203 . . . . . 6
22 climfsum.7 . . . . . . . . 9
2322anassrs 631 . . . . . . . 8
2423, 18fmptd 5895 . . . . . . 7
253, 14, 24rlimclim 12342 . . . . . 6
2621, 25mpbird 225 . . . . 5
278, 9, 11, 26fsumrlim 12592 . . . 4
289adantr 453 . . . . . . 7
2922anass1rs 784 . . . . . . 7
3028, 29fsumcl 12529 . . . . . 6
31 eqid 2438 . . . . . 6
3230, 31fmptd 5895 . . . . 5
333, 13, 32rlimclim 12342 . . . 4
3427, 33mpbid 203 . . 3
352, 34eqbrtrd 4234 . 2
36 climfsum.6 . . 3
37 eqid 2438 . . . 4
383, 37climmpt 12367 . . 3
3913, 36, 38syl2anc 644 . 2
4035, 39mpbird 225 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2958   wss 3322   class class class wbr 4214   cmpt 4268  cfv 5456  cfn 7111  cc 8990  cr 8991  cz 10284  cuz 10490   cli 12280   crli 12281  csu 12481 This theorem is referenced by:  itg1climres  19608  plyeq0lem  20131 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482
 Copyright terms: Public domain W3C validator