MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climge0 Structured version   Unicode version

Theorem climge0 12383
Description: A nonnegative sequence converges to a nonnegative number. (Contributed by NM, 11-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
climshft2.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climshft2.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climrecl.3  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
climrecl.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
climge0.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  ( F `  k
) )
Assertion
Ref Expression
climge0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Distinct variable groups:    k, F    k, M    ph, k    k, Z    A, k

Proof of Theorem climge0
StepHypRef Expression
1 climshft2.2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2 climshft2.1 . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
32uzsup 11249 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
41, 3syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  = 
+oo )
5 climrecl.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
6 climrel 12291 . . . . . . 7  |-  Rel  ~~>
76brrelexi 4921 . . . . . 6  |-  ( F  ~~>  A  ->  F  e.  _V )
85, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
9 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( k  e.  Z  |->  ( F `
 k ) )  =  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k ) )
102, 9climmpt 12370 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  _V )  ->  ( F  ~~>  A  <->  ( k  e.  Z  |->  ( F `
 k ) )  ~~>  A ) )
111, 8, 10syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  A  <->  ( k  e.  Z  |->  ( F `
 k ) )  ~~>  A ) )
125, 11mpbid 203 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k
) )  ~~>  A )
13 climrecl.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
1413recnd 9119 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
1514, 9fmptd 5896 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k
) ) : Z --> CC )
162, 1, 15rlimclim 12345 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  Z  |->  ( F `  k ) )  ~~> r  A  <->  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k ) )  ~~>  A ) )
1712, 16mpbird 225 . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k
) )  ~~> r  A
)
18 climge0.5 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  ( F `  k
) )
194, 17, 13, 18rlimge0 12380 1  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   ` cfv 5457   supcsup 7448   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995    +oocpnf 9122   RR*cxr 9124    < clt 9125    <_ cle 9126   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493    ~~> cli 12283    ~~> r crli 12284
This theorem is referenced by:  climle  12438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fl 11207  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-rlim 12288
  Copyright terms: Public domain W3C validator