Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climinff Unicode version

Theorem climinff 27737
Description: A version of climinf 27732 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climinff.1  |-  F/ k
ph
climinff.2  |-  F/_ k F
climinff.3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climinff.4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climinff.5  |-  ( ph  ->  F : Z --> RR )
climinff.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k ) )
climinff.7  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  Z  x  <_  ( F `  k ) )
Assertion
Ref Expression
climinff  |-  ( ph  ->  F  ~~>  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) )
Distinct variable groups:    x, k    x, F    k, Z, x
Allowed substitution hints:    ph( x, k)    F( k)    M( x, k)

Proof of Theorem climinff
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climinff.3 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 climinff.4 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 climinff.5 . 2  |-  ( ph  ->  F : Z --> RR )
4 climinff.1 . . . . 5  |-  F/ k
ph
5 nfv 1605 . . . . 5  |-  F/ k  j  e.  Z
64, 5nfan 1771 . . . 4  |-  F/ k ( ph  /\  j  e.  Z )
7 climinff.2 . . . . . 6  |-  F/_ k F
8 nfcv 2419 . . . . . 6  |-  F/_ k
( j  +  1 )
97, 8nffv 5532 . . . . 5  |-  F/_ k
( F `  (
j  +  1 ) )
10 nfcv 2419 . . . . 5  |-  F/_ k  <_
11 nfcv 2419 . . . . . 6  |-  F/_ k
j
127, 11nffv 5532 . . . . 5  |-  F/_ k
( F `  j
)
139, 10, 12nfbr 4067 . . . 4  |-  F/ k ( F `  (
j  +  1 ) )  <_  ( F `  j )
146, 13nfim 1769 . . 3  |-  F/ k ( ( ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  (
j  +  1 ) )  <_  ( F `  j ) )
15 eleq1 2343 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  (
k  e.  Z  <->  j  e.  Z ) )
1615anbi2d 684 . . . 4  |-  ( k  =  j  ->  (
( ph  /\  k  e.  Z )  <->  ( ph  /\  j  e.  Z ) ) )
17 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( k  =  j  ->  (
k  +  1 )  =  ( j  +  1 ) )
1817fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( F `  ( j  +  1 ) ) )
19 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
2018, 19breq12d 4036 . . . 4  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )  <->  ( F `  ( j  +  1 ) )  <_  ( F `  j )
) )
2116, 20imbi12d 311 . . 3  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( F `  k ) )  <->  ( ( ph  /\  j  e.  Z
)  ->  ( F `  ( j  +  1 ) )  <_  ( F `  j )
) ) )
22 climinff.6 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k ) )
2314, 21, 22chvar 1926 . 2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  ( j  +  1 ) )  <_  ( F `  j ) )
24 nfcv 2419 . . . . 5  |-  F/_ k RR
255nfci 2409 . . . . . 6  |-  F/_ k Z
26 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ k
x
2726, 10, 12nfbr 4067 . . . . . 6  |-  F/ k  x  <_  ( F `  j )
2825, 27nfral 2596 . . . . 5  |-  F/ k A. j  e.  Z  x  <_  ( F `  j )
2924, 28nfrex 2598 . . . 4  |-  F/ k E. x  e.  RR  A. j  e.  Z  x  <_  ( F `  j )
304, 29nfim 1769 . . 3  |-  F/ k ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  Z  x  <_  ( F `  j )
)
31 nfv 1605 . . . . . . 7  |-  F/ j  x  <_  ( F `  k )
3219breq2d 4035 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  (
x  <_  ( F `  k )  <->  x  <_  ( F `  j ) ) )
3331, 27, 32cbvral 2760 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  Z  x  <_  ( F `  k
)  <->  A. j  e.  Z  x  <_  ( F `  j ) )
3433a1i 10 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  ( A. k  e.  Z  x  <_  ( F `  k )  <->  A. j  e.  Z  x  <_  ( F `  j ) ) )
3534rexbidv 2564 . . . 4  |-  ( k  =  j  ->  ( E. x  e.  RR  A. k  e.  Z  x  <_  ( F `  k )  <->  E. x  e.  RR  A. j  e.  Z  x  <_  ( F `  j )
) )
3635imbi2d 307 . . 3  |-  ( k  =  j  ->  (
( ph  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  Z  x  <_  ( F `  k )
)  <->  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  Z  x  <_  ( F `  j
) ) ) )
37 climinff.7 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  Z  x  <_  ( F `  k ) )
3830, 36, 37chvar 1926 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  Z  x  <_  ( F `  j ) )
391, 2, 3, 23, 38climinf 27732 1  |-  ( ph  ->  F  ~~>  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   F/wnf 1531    = wceq 1623    e. wcel 1684   F/_wnfc 2406   A.wral 2543   E.wrex 2544   class class class wbr 4023   `'ccnv 4688   ran crn 4690   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   supcsup 7193   RRcr 8736   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867    <_ cle 8868   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230    ~~> cli 11958
This theorem is referenced by:  stirlinglem13  27835
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962
  Copyright terms: Public domain W3C validator