MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climle Unicode version

Theorem climle 12113
Description: Comparison of the limits of two sequences. (Contributed by Paul Chapman, 10-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climadd.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climadd.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climadd.4  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
climle.5  |-  ( ph  ->  G  ~~>  B )
climle.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
climle.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
climle.8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  <_  ( G `  k
) )
Assertion
Ref Expression
climle  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Distinct variable groups:    B, k    k, F    ph, k    A, k   
k, G    k, M    k, Z

Proof of Theorem climle
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climadd.1 . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 climadd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 climle.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  ~~>  B )
4 fvex 5539 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
51, 4eqeltri 2353 . . . . . 6  |-  Z  e. 
_V
65mptex 5746 . . . . 5  |-  ( j  e.  Z  |->  ( ( G `  j )  -  ( F `  j ) ) )  e.  _V
76a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( j  e.  Z  |->  ( ( G `  j )  -  ( F `  j )
) )  e.  _V )
8 climadd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
9 climle.7 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
109recnd 8861 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
11 climle.6 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
1211recnd 8861 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
13 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  ( G `  j )  =  ( G `  k ) )
14 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  ( F `  j )  =  ( F `  k ) )
1513, 14oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
( G `  j
)  -  ( F `
 j ) )  =  ( ( G `
 k )  -  ( F `  k ) ) )
16 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( j  e.  Z  |->  ( ( G `  j )  -  ( F `  j ) ) )  =  ( j  e.  Z  |->  ( ( G `
 j )  -  ( F `  j ) ) )
17 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( ( G `  k )  -  ( F `  k ) )  e. 
_V
1815, 16, 17fvmpt 5602 . . . . 5  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( j  e.  Z  |->  ( ( G `  j )  -  ( F `  j )
) ) `  k
)  =  ( ( G `  k )  -  ( F `  k ) ) )
1918adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( j  e.  Z  |->  ( ( G `  j )  -  ( F `  j )
) ) `  k
)  =  ( ( G `  k )  -  ( F `  k ) ) )
201, 2, 3, 7, 8, 10, 12, 19climsub 12107 . . 3  |-  ( ph  ->  ( j  e.  Z  |->  ( ( G `  j )  -  ( F `  j )
) )  ~~>  ( B  -  A ) )
219, 11resubcld 9211 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( G `  k
)  -  ( F `
 k ) )  e.  RR )
2219, 21eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( j  e.  Z  |->  ( ( G `  j )  -  ( F `  j )
) ) `  k
)  e.  RR )
23 climle.8 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  <_  ( G `  k
) )
249, 11subge0d 9362 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
0  <_  ( ( G `  k )  -  ( F `  k ) )  <->  ( F `  k )  <_  ( G `  k )
) )
2523, 24mpbird 223 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  ( ( G `  k )  -  ( F `  k )
) )
2625, 19breqtrrd 4049 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  ( ( j  e.  Z  |->  ( ( G `
 j )  -  ( F `  j ) ) ) `  k
) )
271, 2, 20, 22, 26climge0 12058 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  ( B  -  A ) )
281, 2, 3, 9climrecl 12057 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
291, 2, 8, 11climrecl 12057 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3028, 29subge0d 9362 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( B  -  A )  <->  A  <_  B ) )
3127, 30mpbid 201 1  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737    <_ cle 8868    - cmin 9037   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230    ~~> cli 11958
This theorem is referenced by:  climlec2  12132  iserle  12133  iseraltlem1  12154  iserabs  12273  cvgcmpub  12275  itg2monolem1  19105  ulmdvlem1  19777  dchrisumlema  20637  dchrisumlem3  20640  stirlinglem10  27832
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963
  Copyright terms: Public domain W3C validator