MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climlec2 Structured version   Unicode version

Theorem climlec2 12444
Description: Comparison of a constant to the limit of a sequence. (Contributed by NM, 28-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2ser.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climlec2.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climlec2.3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
climlec2.4  |-  ( ph  ->  F  ~~>  B )
climlec2.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
climlec2.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  <_  ( F `  k
) )
Assertion
Ref Expression
climlec2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, F    k, M    ph, k    k, Z

Proof of Theorem climlec2
StepHypRef Expression
1 clim2ser.1 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 climlec2.2 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 climlec2.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
43recnd 9106 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
5 0z 10285 . . 3  |-  0  e.  ZZ
6 uzssz 10497 . . . 4  |-  ( ZZ>= ` 
0 )  C_  ZZ
7 zex 10283 . . . 4  |-  ZZ  e.  _V
86, 7climconst2 12334 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ZZ  X.  { A } )  ~~>  A )
94, 5, 8sylancl 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( ZZ  X.  { A } )  ~~>  A )
10 climlec2.4 . 2  |-  ( ph  ->  F  ~~>  B )
11 eluzelz 10488 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
1211, 1eleq2s 2527 . . . 4  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
13 fvconst2g 5937 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ  X.  { A } ) `  k )  =  A )
143, 12, 13syl2an 464 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ZZ  X.  { A } ) `  k
)  =  A )
153adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  RR )
1614, 15eqeltrd 2509 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ZZ  X.  { A } ) `  k
)  e.  RR )
17 climlec2.5 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
18 climlec2.6 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  <_  ( F `  k
) )
1914, 18eqbrtrd 4224 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ZZ  X.  { A } ) `  k
)  <_  ( F `  k ) )
201, 2, 9, 10, 16, 17, 19climle 12425 1  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {csn 3806   class class class wbr 4204    X. cxp 4868   ` cfv 5446   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982    <_ cle 9113   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480    ~~> cli 12270
This theorem is referenced by:  climub  12447  climlec3  25206
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275
  Copyright terms: Public domain W3C validator