MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climlec2 Unicode version

Theorem climlec2 12379
Description: Comparison of a constant to the limit of a sequence. (Contributed by NM, 28-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2ser.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climlec2.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climlec2.3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
climlec2.4  |-  ( ph  ->  F  ~~>  B )
climlec2.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
climlec2.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  <_  ( F `  k
) )
Assertion
Ref Expression
climlec2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, F    k, M    ph, k    k, Z

Proof of Theorem climlec2
StepHypRef Expression
1 clim2ser.1 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 climlec2.2 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 climlec2.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
43recnd 9047 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
5 0z 10225 . . 3  |-  0  e.  ZZ
6 uzssz 10437 . . . 4  |-  ( ZZ>= ` 
0 )  C_  ZZ
7 zex 10223 . . . 4  |-  ZZ  e.  _V
86, 7climconst2 12269 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ZZ  X.  { A } )  ~~>  A )
94, 5, 8sylancl 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( ZZ  X.  { A } )  ~~>  A )
10 climlec2.4 . 2  |-  ( ph  ->  F  ~~>  B )
11 eluzelz 10428 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
1211, 1eleq2s 2479 . . . 4  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
13 fvconst2g 5884 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ  X.  { A } ) `  k )  =  A )
143, 12, 13syl2an 464 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ZZ  X.  { A } ) `  k
)  =  A )
153adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  RR )
1614, 15eqeltrd 2461 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ZZ  X.  { A } ) `  k
)  e.  RR )
17 climlec2.5 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
18 climlec2.6 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  <_  ( F `  k
) )
1914, 18eqbrtrd 4173 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ZZ  X.  { A } ) `  k
)  <_  ( F `  k ) )
201, 2, 9, 10, 16, 17, 19climle 12360 1  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {csn 3757   class class class wbr 4153    X. cxp 4816   ` cfv 5394   CCcc 8921   RRcr 8922   0cc0 8923    <_ cle 9054   ZZcz 10214   ZZ>=cuz 10420    ~~> cli 12205
This theorem is referenced by:  climub  12382  climlec3  24993
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-pm 6957  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-rp 10545  df-fl 11129  df-seq 11251  df-exp 11310  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-clim 12209  df-rlim 12210
  Copyright terms: Public domain W3C validator