MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climmpt2 Unicode version

Theorem climmpt2 12295
Description: Relate an integer limit on a not-quite-function to a real limit. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climmpt2.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climmpt2.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climmpt2.3  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
climmpt2.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
climmpt2  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  A  <->  ( n  e.  Z  |->  ( F `
 n ) )  ~~> r  A ) )
Distinct variable groups:    k, F    k, Z    ph, k    n, F    A, n    n, Z    ph, n
Allowed substitution hints:    A( k)    M( k, n)    V( k, n)

Proof of Theorem climmpt2
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climmpt2.2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2 climmpt2.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
3 climmpt2.1 . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
4 eqid 2388 . . . 4  |-  ( n  e.  Z  |->  ( F `
 n ) )  =  ( n  e.  Z  |->  ( F `  n ) )
53, 4climmpt 12293 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( F  ~~>  A  <->  ( n  e.  Z  |->  ( F `
 n ) )  ~~>  A ) )
61, 2, 5syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  A  <->  ( n  e.  Z  |->  ( F `
 n ) )  ~~>  A ) )
7 climmpt2.5 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
87ralrimiva 2733 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC )
9 fveq2 5669 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  k )  =  ( F `  m ) )
109eleq1d 2454 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  m )  e.  CC ) )
1110cbvralv 2876 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC  <->  A. m  e.  Z  ( F `  m )  e.  CC )
12 fveq2 5669 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  ( F `  m )  =  ( F `  n ) )
1312eleq1d 2454 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (
( F `  m
)  e.  CC  <->  ( F `  n )  e.  CC ) )
1413cbvralv 2876 . . . . . . 7  |-  ( A. m  e.  Z  ( F `  m )  e.  CC  <->  A. n  e.  Z  ( F `  n )  e.  CC )
1511, 14bitri 241 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC  <->  A. n  e.  Z  ( F `  n )  e.  CC )
168, 15sylib 189 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Z  ( F `  n )  e.  CC )
1716r19.21bi 2748 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n )  e.  CC )
1817, 4fmptd 5833 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  |->  ( F `  n
) ) : Z --> CC )
193, 1, 18rlimclim 12268 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  Z  |->  ( F `  n ) )  ~~> r  A  <->  ( n  e.  Z  |->  ( F `  n ) )  ~~>  A ) )
206, 19bitr4d 248 1  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  A  <->  ( n  e.  Z  |->  ( F `
 n ) )  ~~> r  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208   ` cfv 5395   CCcc 8922   ZZcz 10215   ZZ>=cuz 10421    ~~> cli 12206    ~~> r crli 12207
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-pm 6958  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-sup 7382  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-fl 11130  df-clim 12210  df-rlim 12211
  Copyright terms: Public domain W3C validator