MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climmpt2 Unicode version

Theorem climmpt2 12047
Description: Relate an integer limit on a not-quite-function to a real limit. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climmpt2.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climmpt2.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climmpt2.3  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
climmpt2.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
climmpt2  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  A  <->  ( n  e.  Z  |->  ( F `
 n ) )  ~~> r  A ) )
Distinct variable groups:    k, F    k, Z    ph, k    n, F    A, n    n, Z    ph, n
Allowed substitution hints:    A( k)    M( k, n)    V( k, n)

Proof of Theorem climmpt2
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climmpt2.2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2 climmpt2.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
3 climmpt2.1 . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
4 eqid 2283 . . . 4  |-  ( n  e.  Z  |->  ( F `
 n ) )  =  ( n  e.  Z  |->  ( F `  n ) )
53, 4climmpt 12045 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( F  ~~>  A  <->  ( n  e.  Z  |->  ( F `
 n ) )  ~~>  A ) )
61, 2, 5syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  A  <->  ( n  e.  Z  |->  ( F `
 n ) )  ~~>  A ) )
7 climmpt2.5 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
87ralrimiva 2626 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC )
9 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  k )  =  ( F `  m ) )
109eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  m )  e.  CC ) )
1110cbvralv 2764 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC  <->  A. m  e.  Z  ( F `  m )  e.  CC )
12 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  ( F `  m )  =  ( F `  n ) )
1312eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (
( F `  m
)  e.  CC  <->  ( F `  n )  e.  CC ) )
1413cbvralv 2764 . . . . . . 7  |-  ( A. m  e.  Z  ( F `  m )  e.  CC  <->  A. n  e.  Z  ( F `  n )  e.  CC )
1511, 14bitri 240 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC  <->  A. n  e.  Z  ( F `  n )  e.  CC )
168, 15sylib 188 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Z  ( F `  n )  e.  CC )
1716r19.21bi 2641 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n )  e.  CC )
1817, 4fmptd 5684 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  |->  ( F `  n
) ) : Z --> CC )
193, 1, 18rlimclim 12020 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  Z  |->  ( F `  n ) )  ~~> r  A  <->  ( n  e.  Z  |->  ( F `  n ) )  ~~>  A ) )
206, 19bitr4d 247 1  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  A  <->  ( n  e.  Z  |->  ( F `
 n ) )  ~~> r  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255   CCcc 8735   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230    ~~> cli 11958    ~~> r crli 11959
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fl 10925  df-clim 11962  df-rlim 11963
  Copyright terms: Public domain W3C validator