Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climreeq Structured version   Unicode version

Theorem climreeq 27706
 Description: If is a real function, then converges to with respect to the standard topology on the reals if and only if it converges to with respect to the standard topology on complex numbers. In the theorem, is defined to be convergence w.r.t. the standard topology on the reals and then represents the statement " converges to , with respect to the standard topology on the reals". Notice that there is no need for the hypothesis that is a real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climreeq.1
climreeq.2
climreeq.3
climreeq.4
Assertion
Ref Expression
climreeq

Proof of Theorem climreeq
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climreeq.3 . . . 4
2 climreeq.4 . . . . 5
3 ax-resscn 9039 . . . . . 6
43a1i 11 . . . . 5
5 fss 5591 . . . . 5
62, 4, 5syl2anc 643 . . . 4
7 eqid 2435 . . . . 5 fld fld
8 climreeq.2 . . . . 5
97, 8lmclimf 19248 . . . 4 fld
101, 6, 9syl2anc 643 . . 3 fld
117tgioo2 18826 . . . . . 6 fldt
12 reex 9073 . . . . . . 7
1312a1i 11 . . . . . 6
147cnfldtop 18810 . . . . . . 7 fld
1514a1i 11 . . . . . 6 fld
16 simpr 448 . . . . . 6
171adantr 452 . . . . . 6
182adantr 452 . . . . . 6
1911, 8, 13, 15, 16, 17, 18lmss 17354 . . . . 5 fld
2019pm5.32da 623 . . . 4 fld
21 simpr 448 . . . . 5 fld fld
221adantr 452 . . . . . . . 8 fld
2310biimpa 471 . . . . . . . 8 fld
242ffvelrnda 5862 . . . . . . . . 9
2524adantlr 696 . . . . . . . 8 fld
268, 22, 23, 25climrecl 12369 . . . . . . 7 fld
2726ex 424 . . . . . 6 fld
2827ancrd 538 . . . . 5 fld fld
2921, 28impbid2 196 . . . 4 fld fld
30 simpr 448 . . . . 5
31 retopon 18789 . . . . . . . . 9 TopOn
3231a1i 11 . . . . . . . 8 TopOn
33 simpr 448 . . . . . . . 8
34 lmcl 17353 . . . . . . . 8 TopOn
3532, 33, 34syl2anc 643 . . . . . . 7
3635ex 424 . . . . . 6
3736ancrd 538 . . . . 5
3830, 37impbid2 196 . . . 4
3920, 29, 383bitr3d 275 . . 3 fld
4010, 39bitr3d 247 . 2
41 climreeq.1 . . 3
4241breqi 4210 . 2
4340, 42syl6rbbr 256 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2948   wss 3312   class class class wbr 4204   crn 4871  wf 5442  cfv 5446  cc 8980  cr 8981  cz 10274  cuz 10480  cioo 10908   cli 12270  ctopn 13641  ctg 13657  ℂfldccnfld 16695  ctop 16950  TopOnctopon 16951  clm 17282 This theorem is referenced by:  stirlingr  27806 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-fz 11036  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-lm 17285  df-xms 18342  df-ms 18343
 Copyright terms: Public domain W3C validator