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Theorem climrlim2 12331
Description: Produce a real limit from an integer limit, where the real function is only dependent on the integer part of  x. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
climrlim2.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climrlim2.2  |-  ( n  =  ( |_ `  x )  ->  B  =  C )
climrlim2.3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
climrlim2.4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climrlim2.5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  D )
climrlim2.6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
climrlim2.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  <_  x )
Assertion
Ref Expression
climrlim2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D
)
Distinct variable groups:    x, A    x, B    C, n    x, D   
x, n, ph    n, Z, x
Allowed substitution hints:    A( n)    B( n)    C( x)    D( n)    M( x, n)

Proof of Theorem climrlim2
Dummy variables  j 
y  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrlim2.5 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  D )
2 eluzelz 10486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
3 climrlim2.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
42, 3eleq2s 2527 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ZZ )
54ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  j  e.  ZZ )
6 climrlim2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
76sselda 3340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
87flcld 11197 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( |_ `  x )  e.  ZZ )
98adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  ->  ( |_ `  x )  e.  ZZ )
109ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( |_ `  x )  e.  ZZ )
11 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  j  <_  x )
127adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
1312ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
14 flge 11204 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( j  <_  x  <->  j  <_  ( |_ `  x ) ) )
1513, 5, 14syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( j  <_  x  <->  j  <_  ( |_ `  x ) ) )
1611, 15mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  j  <_  ( |_ `  x ) )
17 eluz2 10484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  j
)  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( |_
`  x )  e.  ZZ  /\  j  <_ 
( |_ `  x
) ) )
185, 10, 16, 17syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( |_ `  x )  e.  (
ZZ>= `  j ) )
19 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  -  D
) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k )  -  D ) )  < 
y )
2019ralimi 2773 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  -  D ) )  <  y )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  -  D ) )  <  y )
21 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( |_ `  x )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_
`  x ) ) )
2221oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( |_ `  x )  ->  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  -  D
)  =  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_ `  x ) )  -  D ) )
2322fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( |_ `  x )  ->  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  -  D ) )  =  ( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_ `  x ) )  -  D ) ) )
2423breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( |_ `  x )  ->  (
( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  -  D
) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_ `  x ) )  -  D ) )  <  y ) )
2524rspcv 3040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k )  -  D ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 ( |_ `  x ) )  -  D ) )  < 
y ) )
2618, 20, 25syl2im 36 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  -  D ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_ `  x ) )  -  D ) )  <  y ) )
27 climrlim2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2827adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  ZZ )
29 climrlim2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  <_  x )
30 flge 11204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  x  <->  M  <_  ( |_ `  x ) ) )
317, 28, 30syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( M  <_  x  <->  M  <_  ( |_ `  x ) ) )
3229, 31mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  <_  ( |_ `  x
) )
33 eluz2 10484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( |_
`  x )  e.  ZZ  /\  M  <_ 
( |_ `  x
) ) )
3428, 8, 32, 33syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3534, 3syl6eleqr 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( |_ `  x )  e.  Z )
36 climrlim2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
3736ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Z  B  e.  CC )
3837adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. n  e.  Z  B  e.  CC )
39 climrlim2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  ( |_ `  x )  ->  B  =  C )
4039eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  ( |_ `  x )  ->  ( B  e.  CC  <->  C  e.  CC ) )
4140rspcv 3040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( |_ `  x )  e.  Z  ->  ( A. n  e.  Z  B  e.  CC  ->  C  e.  CC ) )
4235, 38, 41sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
43 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  Z  |->  B )  =  ( n  e.  Z  |->  B )
4439, 43fvmptg 5796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( |_ `  x
)  e.  Z  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_ `  x ) )  =  C )
4535, 42, 44syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_ `  x ) )  =  C )
4645adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_ `  x ) )  =  C )
4746ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_
`  x ) )  =  C )
4847oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( (
( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_ `  x ) )  -  D )  =  ( C  -  D
) )
4948fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 ( |_ `  x ) )  -  D ) )  =  ( abs `  ( C  -  D )
) )
5049breq1d 4214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_
`  x ) )  -  D ) )  <  y  <->  ( abs `  ( C  -  D
) )  <  y
) )
5126, 50sylibd 206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  -  D ) )  <  y )  ->  ( abs `  ( C  -  D )
)  <  y )
)
5251expr 599 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  x  e.  A
)  ->  ( j  <_  x  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  -  D ) )  <  y )  ->  ( abs `  ( C  -  D )
)  <  y )
) )
5352com23 74 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  x  e.  A
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  -  D ) )  <  y )  ->  ( j  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  D )
)  <  y )
) )
5453ralrimdva 2788 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  -  D
) )  <  y
)  ->  A. x  e.  A  ( j  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  D
) )  <  y
) ) )
55 eluzelre 10487 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  RR )
5655, 3eleq2s 2527 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  RR )
5756adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  RR )
5854, 57jctild 528 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  -  D
) )  <  y
)  ->  ( j  e.  RR  /\  A. x  e.  A  ( j  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  D
) )  <  y
) ) ) )
5958expimpd 587 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( (
j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  -  D ) )  <  y ) )  ->  ( j  e.  RR  /\  A. x  e.  A  ( j  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  D
) )  <  y
) ) ) )
6059reximdv2 2807 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  -  D ) )  <  y )  ->  E. j  e.  RR  A. x  e.  A  ( j  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  D ) )  <  y ) ) )
6160ralimdva 2776 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  -  D
) )  <  y
)  ->  A. y  e.  RR+  E. j  e.  RR  A. x  e.  A  ( j  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  D )
)  <  y )
) )
6261adantld 454 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( D  e.  CC  /\  A. y  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k )  -  D ) )  < 
y ) )  ->  A. y  e.  RR+  E. j  e.  RR  A. x  e.  A  ( j  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  D )
)  <  y )
) )
63 climrel 12276 . . . . . 6  |-  Rel  ~~>
6463brrelexi 4910 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  D  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  e.  _V )
651, 64syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  |->  B )  e.  _V )
66 eqidd 2436 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )
673, 27, 65, 66clim2 12288 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  D  <->  ( D  e.  CC  /\  A. y  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k )  -  D ) )  < 
y ) ) ) )
6842ralrimiva 2781 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  C  e.  CC )
69 climcl 12283 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  D  ->  D  e.  CC )
701, 69syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
7168, 6, 70rlim2 12280 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D  <->  A. y  e.  RR+  E. j  e.  RR  A. x  e.  A  ( j  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  D )
)  <  y )
) )
7262, 67, 713imtr4d 260 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  D  -> 
( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D
) )
731, 72mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8978   RRcr 8979    < clt 9110    <_ cle 9111    - cmin 9281   ZZcz 10272   ZZ>=cuz 10478   RR+crp 10602   |_cfl 11191   abscabs 12029    ~~> cli 12268    ~~> r crli 12269
This theorem is referenced by:  dchrisum0lem2a  21201
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-fl 11192  df-clim 12272  df-rlim 12273
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