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Theorem climrlim2 12268
 Description: Produce a real limit from an integer limit, where the real function is only dependent on the integer part of . (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
climrlim2.1
climrlim2.2
climrlim2.3
climrlim2.4
climrlim2.5
climrlim2.6
climrlim2.7
Assertion
Ref Expression
climrlim2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   (,)

Proof of Theorem climrlim2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrlim2.5 . 2
2 eluzelz 10428 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 climrlim2.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16
42, 3eleq2s 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15
54ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14
6 climrlim2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
76sselda 3291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
87flcld 11134 . . . . . . . . . . . . . . . 16
98adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15
109ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . . 14
11 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15
127adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1312ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16
14 flge 11141 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1513, 5, 14syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15
1611, 15mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14
17 eluz2 10426 . . . . . . . . . . . . . 14
185, 10, 16, 17syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . . . 13
19 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14
2019ralimi 2724 . . . . . . . . . . . . 13
21 fveq2 5668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2221oveq1d 6035 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2322fveq2d 5672 . . . . . . . . . . . . . . 15
2423breq1d 4163 . . . . . . . . . . . . . 14
2524rspcv 2991 . . . . . . . . . . . . 13
2618, 20, 25syl2im 36 . . . . . . . . . . . 12
27 climrlim2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2827adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
29 climrlim2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
30 flge 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
317, 28, 30syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3229, 31mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
33 eluz2 10426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3428, 8, 32, 33syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3534, 3syl6eleqr 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
36 climrlim2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3736ralrimiva 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3837adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
39 climrlim2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4039eleq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4140rspcv 2991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4235, 38, 41sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
43 eqid 2387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4439, 43fvmptg 5743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4535, 42, 44syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4645adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4746ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . . . 15
4847oveq1d 6035 . . . . . . . . . . . . . 14
4948fveq2d 5672 . . . . . . . . . . . . 13
5049breq1d 4163 . . . . . . . . . . . 12
5126, 50sylibd 206 . . . . . . . . . . 11
5251expr 599 . . . . . . . . . 10
5352com23 74 . . . . . . . . 9
5453ralrimdva 2739 . . . . . . . 8
55 eluzelre 10429 . . . . . . . . . 10
5655, 3eleq2s 2479 . . . . . . . . 9
5756adantl 453 . . . . . . . 8
5854, 57jctild 528 . . . . . . 7
5958expimpd 587 . . . . . 6
6059reximdv2 2758 . . . . 5
6160ralimdva 2727 . . . 4
63 climrel 12213 . . . . . 6
6463brrelexi 4858 . . . . 5
651, 64syl 16 . . . 4
66 eqidd 2388 . . . 4
673, 27, 65, 66clim2 12225 . . 3
6842ralrimiva 2732 . . . 4
69 climcl 12220 . . . . 5
701, 69syl 16 . . . 4
7168, 6, 70rlim2 12217 . . 3
7262, 67, 713imtr4d 260 . 2
731, 72mpd 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1649   wcel 1717  wral 2649  wrex 2650  cvv 2899   wss 3263   class class class wbr 4153   cmpt 4207  cfv 5394  (class class class)co 6020  cc 8921  cr 8922   clt 9053   cle 9054   cmin 9223  cz 10214  cuz 10420  crp 10544  cfl 11128  cabs 11966   cli 12205   crli 12206 This theorem is referenced by:  dchrisum0lem2a  21078 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-pm 6957  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fl 11129  df-clim 12209  df-rlim 12210
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