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Theorem climrlim2 12037
Description: Produce a real limit from an integer limit, where the real function is only dependent on the integer part of  x. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
climrlim2.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climrlim2.2  |-  ( n  =  ( |_ `  x )  ->  B  =  C )
climrlim2.3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
climrlim2.4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climrlim2.5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  D )
climrlim2.6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
climrlim2.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  <_  x )
Assertion
Ref Expression
climrlim2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D
)
Distinct variable groups:    x, A    x, B    C, n    x, D   
x, n, ph    n, Z, x
Allowed substitution hints:    A( n)    B( n)    C( x)    D( n)    M( x, n)

Proof of Theorem climrlim2
Dummy variables  j 
y  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrlim2.5 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  D )
2 eluzelz 10254 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
3 climrlim2.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
42, 3eleq2s 2388 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ZZ )
54ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  j  e.  ZZ )
6 climrlim2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
76sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
87flcld 10946 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( |_ `  x )  e.  ZZ )
98adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  ->  ( |_ `  x )  e.  ZZ )
109ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( |_ `  x )  e.  ZZ )
11 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  j  <_  x )
127adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
1312ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
14 flge 10953 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( j  <_  x  <->  j  <_  ( |_ `  x ) ) )
1513, 5, 14syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( j  <_  x  <->  j  <_  ( |_ `  x ) ) )
1611, 15mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  j  <_  ( |_ `  x ) )
17 eluz2 10252 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  j
)  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( |_
`  x )  e.  ZZ  /\  j  <_ 
( |_ `  x
) ) )
185, 10, 16, 17syl3anbrc 1136 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( |_ `  x )  e.  (
ZZ>= `  j ) )
19 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  -  D
) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k )  -  D ) )  < 
y )
2019ralimi 2631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  -  D ) )  <  y )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  -  D ) )  <  y )
21 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( |_ `  x )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_
`  x ) ) )
2221oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( |_ `  x )  ->  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  -  D
)  =  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_ `  x ) )  -  D ) )
2322fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( |_ `  x )  ->  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  -  D ) )  =  ( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_ `  x ) )  -  D ) ) )
2423breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( |_ `  x )  ->  (
( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  -  D
) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_ `  x ) )  -  D ) )  <  y ) )
2524rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k )  -  D ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 ( |_ `  x ) )  -  D ) )  < 
y ) )
2618, 20, 25syl2im 34 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  -  D ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_ `  x ) )  -  D ) )  <  y ) )
27 climrlim2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2827adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  ZZ )
29 climrlim2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  <_  x )
30 flge 10953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  x  <->  M  <_  ( |_ `  x ) ) )
317, 28, 30syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( M  <_  x  <->  M  <_  ( |_ `  x ) ) )
3229, 31mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  <_  ( |_ `  x
) )
33 eluz2 10252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( |_
`  x )  e.  ZZ  /\  M  <_ 
( |_ `  x
) ) )
3428, 8, 32, 33syl3anbrc 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3534, 3syl6eleqr 2387 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( |_ `  x )  e.  Z )
36 climrlim2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
3736ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Z  B  e.  CC )
3837adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. n  e.  Z  B  e.  CC )
39 climrlim2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  ( |_ `  x )  ->  B  =  C )
4039eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  ( |_ `  x )  ->  ( B  e.  CC  <->  C  e.  CC ) )
4140rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( |_ `  x )  e.  Z  ->  ( A. n  e.  Z  B  e.  CC  ->  C  e.  CC ) )
4235, 38, 41sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
43 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  Z  |->  B )  =  ( n  e.  Z  |->  B )
4439, 43fvmptg 5616 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( |_ `  x
)  e.  Z  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_ `  x ) )  =  C )
4535, 42, 44syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_ `  x ) )  =  C )
4645adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_ `  x ) )  =  C )
4746ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_
`  x ) )  =  C )
4847oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( (
( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_ `  x ) )  -  D )  =  ( C  -  D
) )
4948fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 ( |_ `  x ) )  -  D ) )  =  ( abs `  ( C  -  D )
) )
5049breq1d 4049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_
`  x ) )  -  D ) )  <  y  <->  ( abs `  ( C  -  D
) )  <  y
) )
5126, 50sylibd 205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  -  D ) )  <  y )  ->  ( abs `  ( C  -  D )
)  <  y )
)
5251expr 598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  x  e.  A
)  ->  ( j  <_  x  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  -  D ) )  <  y )  ->  ( abs `  ( C  -  D )
)  <  y )
) )
5352com23 72 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  x  e.  A
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  -  D ) )  <  y )  ->  ( j  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  D )
)  <  y )
) )
5453ralrimdva 2646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  -  D
) )  <  y
)  ->  A. x  e.  A  ( j  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  D
) )  <  y
) ) )
55 eluzelre 10255 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  RR )
5655, 3eleq2s 2388 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  RR )
5756adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  RR )
5854, 57jctild 527 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  -  D
) )  <  y
)  ->  ( j  e.  RR  /\  A. x  e.  A  ( j  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  D
) )  <  y
) ) ) )
5958expimpd 586 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( (
j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  -  D ) )  <  y ) )  ->  ( j  e.  RR  /\  A. x  e.  A  ( j  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  D
) )  <  y
) ) ) )
6059reximdv2 2665 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  -  D ) )  <  y )  ->  E. j  e.  RR  A. x  e.  A  ( j  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  D ) )  <  y ) ) )
6160ralimdva 2634 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  -  D
) )  <  y
)  ->  A. y  e.  RR+  E. j  e.  RR  A. x  e.  A  ( j  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  D )
)  <  y )
) )
6261adantld 453 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( D  e.  CC  /\  A. y  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k )  -  D ) )  < 
y ) )  ->  A. y  e.  RR+  E. j  e.  RR  A. x  e.  A  ( j  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  D )
)  <  y )
) )
63 climrel 11982 . . . . . 6  |-  Rel  ~~>
6463brrelexi 4745 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  D  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  e.  _V )
651, 64syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  |->  B )  e.  _V )
66 eqidd 2297 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )
673, 27, 65, 66clim2 11994 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  D  <->  ( D  e.  CC  /\  A. y  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k )  -  D ) )  < 
y ) ) ) )
6842ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  C  e.  CC )
69 climcl 11989 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  D  ->  D  e.  CC )
701, 69syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
7168, 6, 70rlim2 11986 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D  <->  A. y  e.  RR+  E. j  e.  RR  A. x  e.  A  ( j  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  D )
)  <  y )
) )
7262, 67, 713imtr4d 259 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  D  -> 
( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D
) )
731, 72mpd 14 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   |_cfl 10940   abscabs 11735    ~~> cli 11974    ~~> r crli 11975
This theorem is referenced by:  dchrisum0lem2a  20682
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fl 10941  df-clim 11978  df-rlim 11979
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