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Theorem climrlim2 12268
Description: Produce a real limit from an integer limit, where the real function is only dependent on the integer part of  x. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
climrlim2.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climrlim2.2  |-  ( n  =  ( |_ `  x )  ->  B  =  C )
climrlim2.3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
climrlim2.4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climrlim2.5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  D )
climrlim2.6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
climrlim2.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  <_  x )
Assertion
Ref Expression
climrlim2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D
)
Distinct variable groups:    x, A    x, B    C, n    x, D   
x, n, ph    n, Z, x
Allowed substitution hints:    A( n)    B( n)    C( x)    D( n)    M( x, n)

Proof of Theorem climrlim2
Dummy variables  j 
y  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrlim2.5 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  D )
2 eluzelz 10428 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
3 climrlim2.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
42, 3eleq2s 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ZZ )
54ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  j  e.  ZZ )
6 climrlim2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
76sselda 3291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
87flcld 11134 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( |_ `  x )  e.  ZZ )
98adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  ->  ( |_ `  x )  e.  ZZ )
109ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( |_ `  x )  e.  ZZ )
11 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  j  <_  x )
127adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
1312ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
14 flge 11141 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( j  <_  x  <->  j  <_  ( |_ `  x ) ) )
1513, 5, 14syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( j  <_  x  <->  j  <_  ( |_ `  x ) ) )
1611, 15mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  j  <_  ( |_ `  x ) )
17 eluz2 10426 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  j
)  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( |_
`  x )  e.  ZZ  /\  j  <_ 
( |_ `  x
) ) )
185, 10, 16, 17syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( |_ `  x )  e.  (
ZZ>= `  j ) )
19 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  -  D
) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k )  -  D ) )  < 
y )
2019ralimi 2724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  -  D ) )  <  y )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  -  D ) )  <  y )
21 fveq2 5668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( |_ `  x )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_
`  x ) ) )
2221oveq1d 6035 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( |_ `  x )  ->  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  -  D
)  =  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_ `  x ) )  -  D ) )
2322fveq2d 5672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( |_ `  x )  ->  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  -  D ) )  =  ( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_ `  x ) )  -  D ) ) )
2423breq1d 4163 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( |_ `  x )  ->  (
( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  -  D
) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_ `  x ) )  -  D ) )  <  y ) )
2524rspcv 2991 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k )  -  D ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 ( |_ `  x ) )  -  D ) )  < 
y ) )
2618, 20, 25syl2im 36 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  -  D ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_ `  x ) )  -  D ) )  <  y ) )
27 climrlim2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2827adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  ZZ )
29 climrlim2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  <_  x )
30 flge 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  x  <->  M  <_  ( |_ `  x ) ) )
317, 28, 30syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( M  <_  x  <->  M  <_  ( |_ `  x ) ) )
3229, 31mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  <_  ( |_ `  x
) )
33 eluz2 10426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( |_
`  x )  e.  ZZ  /\  M  <_ 
( |_ `  x
) ) )
3428, 8, 32, 33syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3534, 3syl6eleqr 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( |_ `  x )  e.  Z )
36 climrlim2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
3736ralrimiva 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Z  B  e.  CC )
3837adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. n  e.  Z  B  e.  CC )
39 climrlim2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  ( |_ `  x )  ->  B  =  C )
4039eleq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  ( |_ `  x )  ->  ( B  e.  CC  <->  C  e.  CC ) )
4140rspcv 2991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( |_ `  x )  e.  Z  ->  ( A. n  e.  Z  B  e.  CC  ->  C  e.  CC ) )
4235, 38, 41sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
43 eqid 2387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  Z  |->  B )  =  ( n  e.  Z  |->  B )
4439, 43fvmptg 5743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( |_ `  x
)  e.  Z  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_ `  x ) )  =  C )
4535, 42, 44syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_ `  x ) )  =  C )
4645adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_ `  x ) )  =  C )
4746ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_
`  x ) )  =  C )
4847oveq1d 6035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( (
( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_ `  x ) )  -  D )  =  ( C  -  D
) )
4948fveq2d 5672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 ( |_ `  x ) )  -  D ) )  =  ( abs `  ( C  -  D )
) )
5049breq1d 4163 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_
`  x ) )  -  D ) )  <  y  <->  ( abs `  ( C  -  D
) )  <  y
) )
5126, 50sylibd 206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  -  D ) )  <  y )  ->  ( abs `  ( C  -  D )
)  <  y )
)
5251expr 599 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  x  e.  A
)  ->  ( j  <_  x  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  -  D ) )  <  y )  ->  ( abs `  ( C  -  D )
)  <  y )
) )
5352com23 74 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  x  e.  A
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  -  D ) )  <  y )  ->  ( j  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  D )
)  <  y )
) )
5453ralrimdva 2739 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  -  D
) )  <  y
)  ->  A. x  e.  A  ( j  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  D
) )  <  y
) ) )
55 eluzelre 10429 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  RR )
5655, 3eleq2s 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  RR )
5756adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  RR )
5854, 57jctild 528 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  -  D
) )  <  y
)  ->  ( j  e.  RR  /\  A. x  e.  A  ( j  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  D
) )  <  y
) ) ) )
5958expimpd 587 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( (
j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  -  D ) )  <  y ) )  ->  ( j  e.  RR  /\  A. x  e.  A  ( j  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  D
) )  <  y
) ) ) )
6059reximdv2 2758 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  -  D ) )  <  y )  ->  E. j  e.  RR  A. x  e.  A  ( j  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  D ) )  <  y ) ) )
6160ralimdva 2727 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  -  D
) )  <  y
)  ->  A. y  e.  RR+  E. j  e.  RR  A. x  e.  A  ( j  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  D )
)  <  y )
) )
6261adantld 454 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( D  e.  CC  /\  A. y  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k )  -  D ) )  < 
y ) )  ->  A. y  e.  RR+  E. j  e.  RR  A. x  e.  A  ( j  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  D )
)  <  y )
) )
63 climrel 12213 . . . . . 6  |-  Rel  ~~>
6463brrelexi 4858 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  D  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  e.  _V )
651, 64syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  |->  B )  e.  _V )
66 eqidd 2388 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )
673, 27, 65, 66clim2 12225 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  D  <->  ( D  e.  CC  /\  A. y  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k )  -  D ) )  < 
y ) ) ) )
6842ralrimiva 2732 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  C  e.  CC )
69 climcl 12220 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  D  ->  D  e.  CC )
701, 69syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
7168, 6, 70rlim2 12217 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D  <->  A. y  e.  RR+  E. j  e.  RR  A. x  e.  A  ( j  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  D )
)  <  y )
) )
7262, 67, 713imtr4d 260 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  D  -> 
( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D
) )
731, 72mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   E.wrex 2650   _Vcvv 2899    C_ wss 3263   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   CCcc 8921   RRcr 8922    < clt 9053    <_ cle 9054    - cmin 9223   ZZcz 10214   ZZ>=cuz 10420   RR+crp 10544   |_cfl 11128   abscabs 11966    ~~> cli 12205    ~~> r crli 12206
This theorem is referenced by:  dchrisum0lem2a  21078
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-pm 6957  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fl 11129  df-clim 12209  df-rlim 12210
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