Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climserle Unicode version

Theorem climserle 12152
 Description: The partial sums of a converging infinite series with nonnegative terms are bounded by its limit. (Contributed by NM, 27-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2ser.1
climserle.2
climserle.3
climserle.4
climserle.5
Assertion
Ref Expression
climserle
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem climserle
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clim2ser.1 . 2
2 climserle.2 . 2
3 climserle.3 . 2
42, 1syl6eleq 2386 . . . . 5
5 eluzel2 10251 . . . . 5
64, 5syl 15 . . . 4
7 climserle.4 . . . 4
81, 6, 7serfre 11091 . . 3
9 ffvelrn 5679 . . 3
108, 9sylan 457 . 2
111peano2uzs 10289 . . . . 5
12 fveq2 5541 . . . . . . . . 9
1312breq2d 4051 . . . . . . . 8
1413imbi2d 307 . . . . . . 7
15 climserle.5 . . . . . . . 8
1615expcom 424 . . . . . . 7
1714, 16vtoclga 2862 . . . . . 6
1817impcom 419 . . . . 5
1911, 18sylan2 460 . . . 4
2012eleq1d 2362 . . . . . . . . 9
2120imbi2d 307 . . . . . . . 8
227expcom 424 . . . . . . . 8
2321, 22vtoclga 2862 . . . . . . 7
2423impcom 419 . . . . . 6
2511, 24sylan2 460 . . . . 5
2610, 25addge01d 9376 . . . 4
2719, 26mpbid 201 . . 3
28 simpr 447 . . . . 5
2928, 1syl6eleq 2386 . . . 4
30 seqp1 11077 . . . 4
3129, 30syl 15 . . 3
3227, 31breqtrrd 4065 . 2
331, 2, 3, 10, 32climub 12151 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   class class class wbr 4039  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756   cle 8884  cz 10040  cuz 10246   cseq 11062   cli 11974 This theorem is referenced by:  isumrpcl  12318  ege2le3  12387  prmreclem6  12984  ioombl1lem4  18934  rge0scvg  23388 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979
 Copyright terms: Public domain W3C validator