MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climshft Unicode version

Theorem climshft 12050
Description: A shifted function converges iff the original function converges. (Contributed by NM, 16-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
climshft  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( ( F  shift  M )  ~~>  A  <->  F  ~~>  A ) )

Proof of Theorem climshft
Dummy variables  f 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
f  shift  M )  =  ( F  shift  M ) )
21breq1d 4033 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
( f  shift  M )  ~~>  A  <->  ( F  shift  M )  ~~>  A ) )
3 breq1 4026 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
f  ~~>  A  <->  F  ~~>  A ) )
42, 3bibi12d 312 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( f  shift  M )  ~~>  A  <->  f  ~~>  A )  <-> 
( ( F  shift  M )  ~~>  A  <->  F  ~~>  A ) ) )
54imbi2d 307 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( M  e.  ZZ  ->  ( ( f  shift  M )  ~~>  A  <->  f  ~~>  A ) )  <->  ( M  e.  ZZ  ->  ( ( F  shift  M )  ~~>  A  <->  F  ~~>  A ) ) ) )
6 znegcl 10055 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  -u M  e.  ZZ )
7 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( f 
shift  M )  e.  _V
87climshftlem 12048 . . . . . 6  |-  ( -u M  e.  ZZ  ->  ( ( f  shift  M )  ~~>  A  ->  ( (
f  shift  M )  shift  -u M )  ~~>  A ) )
96, 8syl 15 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( f  shift  M )  ~~>  A  ->  ( (
f  shift  M )  shift  -u M )  ~~>  A ) )
10 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
11 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( ( f  shift  M )  shift 
-u M )  e. 
_V
1211a1i 10 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( f  shift  M ) 
shift  -u M )  e. 
_V )
13 vex 2791 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
1413a1i 10 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  f  e.  _V )
15 id 19 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ZZ )
16 zcn 10029 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
17 eluzelz 10238 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
1817zcnd 10118 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  CC )
1913shftcan1 11578 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( ( f 
shift  M )  shift  -u M
) `  k )  =  ( f `  k ) )
2016, 18, 19syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( ( f 
shift  M )  shift  -u M
) `  k )  =  ( f `  k ) )
2110, 12, 14, 15, 20climeq 12041 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( ( f  shift  M )  shift  -u M )  ~~>  A  <->  f  ~~>  A ) )
229, 21sylibd 205 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( f  shift  M )  ~~>  A  ->  f  ~~>  A ) )
2313climshftlem 12048 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
f  ~~>  A  ->  (
f  shift  M )  ~~>  A ) )
2422, 23impbid 183 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( f  shift  M )  ~~>  A  <->  f  ~~>  A ) )
255, 24vtoclg 2843 . 2  |-  ( F  e.  V  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( ( F  shift  M )  ~~>  A  <->  F  ~~>  A )
) )
2625impcom 419 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( ( F  shift  M )  ~~>  A  <->  F  ~~>  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   -ucneg 9038   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230    shift cshi 11561    ~~> cli 11958
This theorem is referenced by:  climshft2  12056  isershft  12137  cvgrat  12339  eftlub  12389
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-shft 11562  df-clim 11962
  Copyright terms: Public domain W3C validator