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Theorem climshftlem 12048
Description: A shifted function converges if the original function converges. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
climshft.1  |-  F  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
climshftlem  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( F 
~~>  A  ->  ( F  shift  M )  ~~>  A ) )

Proof of Theorem climshftlem
Dummy variables  k  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zaddcl 10059 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( k  +  M
)  e.  ZZ )
21ancoms 439 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  +  M
)  e.  ZZ )
3 eluzsub 10257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  ( n  -  M )  e.  (
ZZ>= `  k ) )
433com12 1155 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  ( n  -  M )  e.  (
ZZ>= `  k ) )
543expa 1151 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  ( n  -  M )  e.  (
ZZ>= `  k ) )
6 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  -  M )  ->  ( F `  m )  =  ( F `  ( n  -  M
) ) )
76eleq1d 2349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n  -  M )  ->  (
( F `  m
)  e.  CC  <->  ( F `  ( n  -  M
) )  e.  CC ) )
86oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( n  -  M )  ->  (
( F `  m
)  -  A )  =  ( ( F `
 ( n  -  M ) )  -  A ) )
98fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  -  M )  ->  ( abs `  ( ( F `
 m )  -  A ) )  =  ( abs `  (
( F `  (
n  -  M ) )  -  A ) ) )
109breq1d 4033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n  -  M )  ->  (
( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  ( n  -  M
) )  -  A
) )  <  x
) )
117, 10anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( n  -  M )  ->  (
( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x )  <-> 
( ( F `  ( n  -  M
) )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  (
n  -  M ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
1211rspcv 2880 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  -  M )  e.  ( ZZ>= `  k
)  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 m )  -  A ) )  < 
x )  ->  (
( F `  (
n  -  M ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  ( n  -  M ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
135, 12syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x )  ->  ( ( F `
 ( n  -  M ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  ( n  -  M
) )  -  A
) )  <  x
) ) )
14 zcn 10029 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
15 eluzelz 10238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  (
k  +  M ) )  ->  n  e.  ZZ )
1615zcnd 10118 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  (
k  +  M ) )  ->  n  e.  CC )
17 climshft.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  e. 
_V
1817shftval 11569 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  M ) `  n )  =  ( F `  ( n  -  M
) ) )
1918eleq1d 2349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  e.  CC  <->  ( F `  ( n  -  M
) )  e.  CC ) )
2018oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  -  A )  =  ( ( F `
 ( n  -  M ) )  -  A ) )
2120fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( abs `  (
( ( F  shift  M ) `  n )  -  A ) )  =  ( abs `  (
( F `  (
n  -  M ) )  -  A ) ) )
2221breq1d 4033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( ( abs `  (
( ( F  shift  M ) `  n )  -  A ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  ( n  -  M
) )  -  A
) )  <  x
) )
2319, 22anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( ( ( ( F  shift  M ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( ( F  shift  M ) `  n )  -  A ) )  <  x )  <->  ( ( F `  ( n  -  M ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  ( n  -  M
) )  -  A
) )  <  x
) ) )
2414, 16, 23syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  M
) ) )  -> 
( ( ( ( F  shift  M ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( ( F  shift  M ) `  n )  -  A ) )  <  x )  <->  ( ( F `  ( n  -  M ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  ( n  -  M
) )  -  A
) )  <  x
) ) )
2524adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  ( ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  -  A ) )  <  x )  <-> 
( ( F `  ( n  -  M
) )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  (
n  -  M ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
2613, 25sylibrd 225 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x )  ->  ( ( ( F  shift  M ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( ( F  shift  M ) `  n )  -  A ) )  <  x ) ) )
2726ralrimdva 2633 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x )  ->  A. n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  M ) ) ( ( ( F  shift  M ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F  shift  M ) `  n )  -  A
) )  <  x
) ) )
28 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( k  +  M )  ->  ( ZZ>=
`  m )  =  ( ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )
2928raleqdv 2742 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( k  +  M )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( ( ( F  shift  M ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F  shift  M ) `  n )  -  A
) )  <  x
)  <->  A. n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  M ) ) ( ( ( F  shift  M ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F  shift  M ) `  n )  -  A
) )  <  x
) ) )
3029rspcev 2884 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  +  M
)  e.  ZZ  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  M
) ) ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  -  A ) )  <  x ) )  ->  E. m  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  -  A ) )  < 
x ) )
312, 27, 30ee12an 1353 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x )  ->  E. m  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  -  A ) )  <  x ) ) )
3231rexlimdva 2667 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. k  e.  ZZ  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 m )  -  A ) )  < 
x )  ->  E. m  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  -  A ) )  < 
x ) ) )
3332ralimdv 2622 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( A. x  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  -  A ) )  <  x ) ) )
3433anim2d 548 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( A  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 m )  -  A ) )  < 
x ) )  -> 
( A  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. m  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  -  A ) )  <  x ) ) ) )
3517a1i 10 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  F  e.  _V )
36 eqidd 2284 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( F `  m
)  =  ( F `
 m ) )
3735, 36clim 11968 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( F 
~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x ) ) ) )
38 ovex 5883 . . . 4  |-  ( F 
shift  M )  e.  _V
3938a1i 10 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( F  shift  M )  e. 
_V )
40 eqidd 2284 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( F  shift  M ) `  n )  =  ( ( F 
shift  M ) `  n
) )
4139, 40clim 11968 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( F  shift  M )  ~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  -  A ) )  < 
x ) ) ) )
4234, 37, 413imtr4d 259 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( F 
~~>  A  ->  ( F  shift  M )  ~~>  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735    + caddc 8740    < clt 8867    - cmin 9037   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354    shift cshi 11561   abscabs 11719    ~~> cli 11958
This theorem is referenced by:  climshft  12050
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-shft 11562  df-clim 11962
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