Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climsqz2 Structured version   Unicode version

Theorem climsqz2 12437
 Description: Convergence of a sequence sandwiched between another converging sequence and its limit. (Contributed by NM, 14-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climsqz.5
climsqz.6
climsqz.7
climsqz2.8
climsqz2.9
Assertion
Ref Expression
climsqz2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem climsqz2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climadd.1 . . . . 5
2 climadd.2 . . . . . 6
32adantr 453 . . . . 5
4 simpr 449 . . . . 5
5 eqidd 2439 . . . . 5
6 climadd.4 . . . . . 6
76adantr 453 . . . . 5
81, 3, 4, 5, 7climi2 12307 . . . 4
91uztrn2 10505 . . . . . . . 8
10 climsqz.7 . . . . . . . . . . . 12
11 climsqz.6 . . . . . . . . . . . 12
121, 2, 6, 11climrecl 12379 . . . . . . . . . . . . 13
1312adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
14 climsqz2.8 . . . . . . . . . . . 12
1510, 11, 13, 14lesub1dd 9644 . . . . . . . . . . 11
16 climsqz2.9 . . . . . . . . . . . 12
1713, 10, 16abssubge0d 12236 . . . . . . . . . . 11
1813, 10, 11, 16, 14letrd 9229 . . . . . . . . . . . 12
1913, 11, 18abssubge0d 12236 . . . . . . . . . . 11
2015, 17, 193brtr4d 4244 . . . . . . . . . 10
2120adantlr 697 . . . . . . . . 9
2210adantlr 697 . . . . . . . . . . . . 13
2312ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13
2422, 23resubcld 9467 . . . . . . . . . . . 12
2524recnd 9116 . . . . . . . . . . 11
2625abscld 12240 . . . . . . . . . 10
2711adantlr 697 . . . . . . . . . . . . 13
2827, 23resubcld 9467 . . . . . . . . . . . 12
2928recnd 9116 . . . . . . . . . . 11
3029abscld 12240 . . . . . . . . . 10
31 rpre 10620 . . . . . . . . . . 11
3231ad2antlr 709 . . . . . . . . . 10
33 lelttr 9167 . . . . . . . . . 10
3426, 30, 32, 33syl3anc 1185 . . . . . . . . 9
3521, 34mpand 658 . . . . . . . 8
369, 35sylan2 462 . . . . . . 7
3736anassrs 631 . . . . . 6
3837ralimdva 2786 . . . . 5
3938reximdva 2820 . . . 4
408, 39mpd 15 . . 3
4140ralrimiva 2791 . 2
42 climsqz.5 . . 3
43 eqidd 2439 . . 3
4412recnd 9116 . . 3
4510recnd 9116 . . 3
461, 2, 42, 43, 44, 45clim2c 12301 . 2
4741, 46mpbird 225 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  wrex 2708   class class class wbr 4214  cfv 5456  (class class class)co 6083  cr 8991   clt 9122   cle 9123   cmin 9293  cz 10284  cuz 10490  crp 10614  cabs 12041   cli 12280 This theorem is referenced by:  expcnv  12645  explecnv  12646  plyeq0lem  20131  leibpi  20784  emcllem4  20839  basellem6  20870  basellem9  20873  lgamcvg2  24841  wallispilem5  27796  stirlinglem1  27801 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-rlim 12285
 Copyright terms: Public domain W3C validator