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Theorem climsuse 27837
Description: A subsequence  G of a converging sequence  F, converges to the same limit.  I is the strictly increasing and it is used to index the subsequence (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climsuse.1  |-  F/ k
ph
climsuse.3  |-  F/_ k F
climsuse.2  |-  F/_ k G
climsuse.4  |-  F/_ k
I
climsuse.5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climsuse.6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climsuse.7  |-  ( ph  ->  F  e.  X )
climsuse.8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
climsuse.9  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
climsuse.10  |-  ( ph  ->  ( I `  M
)  e.  Z )
climsuse.11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
I `  ( k  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  (
( I `  k
)  +  1 ) ) )
climsuse.12  |-  ( ph  ->  G  e.  Y )
climsuse.13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  ( F `  ( I `  k
) ) )
Assertion
Ref Expression
climsuse  |-  ( ph  ->  G  ~~>  A )
Distinct variable group:    k, Z
Allowed substitution hints:    ph( k)    A( k)    F( k)    G( k)    I( k)    M( k)    X( k)    Y( k)

Proof of Theorem climsuse
Dummy variables  h  i  j  x  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climsuse.9 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
2 climcl 11989 . . . 4  |-  ( F  ~~>  A  ->  A  e.  CC )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
4 nfv 1609 . . . 4  |-  F/ x ph
5 climsuse.7 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  X )
6 eqidd 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( F `
 i )  =  ( F `  i
) )
75, 6clim 11984 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) ) ) )
81, 7mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 i )  -  A ) )  < 
x ) ) )
98simprd 449 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 i )  -  A ) )  < 
x ) )
109r19.21bi 2654 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )
11 nfv 1609 . . . . . . 7  |-  F/ j ( ph  /\  x  e.  RR+ )
12 nfv 1609 . . . . . . 7  |-  F/ j E. l  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  l ) ( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( G `
 i )  -  A ) )  < 
x )
13 simpllr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  M  <_ 
j )  ->  j  e.  ZZ )
14 climsuse.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
1514ad4antr 712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  -.  M  <_  j )  ->  M  e.  ZZ )
1613, 15ifclda 3605 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  A ) )  <  x ) )  ->  if ( M  <_  j ,  j ,  M )  e.  ZZ )
17 nfv 1609 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )
18 nfra1 2606 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i A. i  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  A ) )  <  x )
1917, 18nfan 1783 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )
20 simp-4l 742 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ph )
21 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  j  e.  ZZ )
2220, 21jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( ph  /\  j  e.  ZZ ) )
23 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )
2422, 23jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( ( ph  /\  j  e.  ZZ )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) ) )
25 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ )  /\  M  <_  j )  ->  M  <_  j )
2614anim1i 551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )
2726adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ )  /\  M  <_  j )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )
28 eluz 10257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( j  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  j ) )
2927, 28syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ )  /\  M  <_  j )  ->  (
j  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  M  <_  j ) )
3025, 29mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ )  /\  M  <_  j )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
31 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ )  /\  -.  M  <_  j )  ->  ph )
32 uzid 10258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3331, 14, 323syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ )  /\  -.  M  <_  j )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
3430, 33ifclda 3605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ )  ->  if ( M  <_  j , 
j ,  M )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
35 uzss 10264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( if ( M  <_  j ,  j ,  M
)  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  ( ZZ>=
`  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) 
C_  ( ZZ>= `  M
) )
3634, 35syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M
) )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
37 climsuse.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
3836, 37syl6sseqr 3238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M
) )  C_  Z
)
3938sseld 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) )  ->  i  e.  Z ) )
4039imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  i  e.  Z )
4124, 40syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  i  e.  Z )
4220, 41jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( ph  /\  i  e.  Z ) )
43 climsuse.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ k
ph
44 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ k  i  e.  Z
4543, 44nfan 1783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k ( ph  /\  i  e.  Z )
46 climsuse.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ k G
47 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ k
i
4846, 47nffv 5548 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k
( G `  i
)
49 climsuse.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ k F
50 climsuse.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ k
I
5150, 47nffv 5548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ k
( I `  i
)
5249, 51nffv 5548 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k
( F `  (
I `  i )
)
5348, 52nfeq 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k ( G `  i
)  =  ( F `
 ( I `  i ) )
5445, 53nfim 1781 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ k ( ( ph  /\  i  e.  Z )  ->  ( G `  i
)  =  ( F `
 ( I `  i ) ) )
55 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  i  ->  (
k  e.  Z  <->  i  e.  Z ) )
5655anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  i  ->  (
( ph  /\  k  e.  Z )  <->  ( ph  /\  i  e.  Z ) ) )
57 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  i  ->  ( G `  k )  =  ( G `  i ) )
58 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  i  ->  (
I `  k )  =  ( I `  i ) )
5958fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  i  ->  ( F `  ( I `  k ) )  =  ( F `  (
I `  i )
) )
6057, 59eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  i  ->  (
( G `  k
)  =  ( F `
 ( I `  k ) )  <->  ( G `  i )  =  ( F `  ( I `
 i ) ) ) )
6156, 60imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  i  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k
)  =  ( F `
 ( I `  k ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  i  e.  Z )  ->  ( G `  i
)  =  ( F `
 ( I `  i ) ) ) ) )
62 climsuse.13 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  ( F `  ( I `  k
) ) )
6354, 61, 62chvar 1939 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  ( G `  i )  =  ( F `  ( I `  i
) ) )
6414zred 10133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
6564adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  M  e.  RR )
6637eleq2i 2360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  e.  Z  <->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6766biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  e.  Z  ->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
68 eluzelre 10255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  i  e.  RR )
6967, 68syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  e.  Z  ->  i  e.  RR )
7069adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  RR )
7167adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
72 uzss 10264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  i )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
7371, 72syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  ( ZZ>=
`  i )  C_  ( ZZ>= `  M )
)
74 climsuse.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( I `  M
)  e.  Z )
75 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  F/_ k
( i  +  1 )
7650, 75nffv 5548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  F/_ k
( I `  (
i  +  1 ) )
77 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  F/_ k ZZ>=
78 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  F/_ k  +
79 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  F/_ k
1
8051, 78, 79nfov 5897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  F/_ k
( ( I `  i )  +  1 )
8177, 80nffv 5548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  F/_ k
( ZZ>= `  ( (
I `  i )  +  1 ) )
8276, 81nfel 2440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/ k ( I `  (
i  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( I `  i )  +  1 ) )
8345, 82nfim 1781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ k ( ( ph  /\  i  e.  Z )  ->  ( I `  (
i  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( I `  i )  +  1 ) ) )
84 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( k  =  i  ->  (
k  +  1 )  =  ( i  +  1 ) )
8584fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  =  i  ->  (
I `  ( k  +  1 ) )  =  ( I `  ( i  +  1 ) ) )
8658oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( k  =  i  ->  (
( I `  k
)  +  1 )  =  ( ( I `
 i )  +  1 ) )
8786fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  =  i  ->  ( ZZ>=
`  ( ( I `
 k )  +  1 ) )  =  ( ZZ>= `  ( (
I `  i )  +  1 ) ) )
8885, 87eleq12d 2364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  i  ->  (
( I `  (
k  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( I `  k )  +  1 ) )  <->  ( I `  ( i  +  1 ) )  e.  (
ZZ>= `  ( ( I `
 i )  +  1 ) ) ) )
8956, 88imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  i  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( I `  (
k  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( I `  k )  +  1 ) ) )  <->  ( ( ph  /\  i  e.  Z
)  ->  ( I `  ( i  +  1 ) )  e.  (
ZZ>= `  ( ( I `
 i )  +  1 ) ) ) ) )
90 climsuse.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
I `  ( k  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  (
( I `  k
)  +  1 ) ) )
9183, 89, 90chvar 1939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  (
I `  ( i  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  (
( I `  i
)  +  1 ) ) )
9237, 14, 74, 91climsuselem1 27836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  (
I `  i )  e.  ( ZZ>= `  i )
)
9373, 92sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  (
I `  i )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
94 eluzelre 10255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( I `  i )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( I `  i )  e.  RR )
9593, 94syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  (
I `  i )  e.  RR )
96 eluzle 10256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  i )
9771, 96syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  M  <_  i )
98 eluzle 10256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( I `  i )  e.  ( ZZ>= `  i
)  ->  i  <_  ( I `  i ) )
9992, 98syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  i  <_  ( I `  i
) )
10065, 70, 95, 97, 99letrd 8989 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  M  <_  ( I `  i
) )
10114adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  M  e.  ZZ )
102 eluzelz 10254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( I `  i )  e.  ( ZZ>= `  i
)  ->  ( I `  i )  e.  ZZ )
10392, 102syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  (
I `  i )  e.  ZZ )
104101, 103jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  (
I `  i )  e.  ZZ ) )
105 eluz 10257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( I `  i
)  e.  ZZ )  ->  ( ( I `
 i )  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  M  <_  ( I `  i ) ) )
106104, 105syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  (
( I `  i
)  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  M  <_  ( I `  i ) ) )
107100, 106mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  (
I `  i )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
10837a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  Z  =  ( ZZ>= `  M
) )
109107, 108eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  (
I `  i )  e.  Z )
110109ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( i  e.  Z  ->  ( I `  i
)  e.  Z ) )
111110imdistani 671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  ( ph  /\  ( I `  i )  e.  Z
) )
11244nfci 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ k Z
11351, 112nfel 2440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ k ( I `  i
)  e.  Z
11443, 113nfan 1783 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ k ( ph  /\  (
I `  i )  e.  Z )
11552nfel1 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ k ( F `  (
I `  i )
)  e.  CC
116114, 115nfim 1781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k ( ( ph  /\  ( I `  i
)  e.  Z )  ->  ( F `  ( I `  i
) )  e.  CC )
117 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  ( I `  i )  ->  (
k  e.  Z  <->  ( I `  i )  e.  Z
) )
118117anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( I `  i )  ->  (
( ph  /\  k  e.  Z )  <->  ( ph  /\  ( I `  i
)  e.  Z ) ) )
119 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  ( I `  i )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( I `  i
) ) )
120119eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( I `  i )  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  ( I `  i
) )  e.  CC ) )
121118, 120imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( I `  i )  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k
)  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  ( I `  i
)  e.  Z )  ->  ( F `  ( I `  i
) )  e.  CC ) ) )
122 climsuse.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
123122a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC ) )
12451, 116, 121, 123vtoclgaf 2861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I `  i )  e.  Z  ->  (
( ph  /\  (
I `  i )  e.  Z )  ->  ( F `  ( I `  i ) )  e.  CC ) )
125109, 111, 124sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  ( F `  ( I `  i ) )  e.  CC )
12663, 125eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  ( G `  i )  e.  CC )
12742, 126syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( G `  i )  e.  CC )
12842, 63syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( G `  i )  =  ( F `  ( I `
 i ) ) )
129128oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( ( G `  i )  -  A )  =  ( ( F `  (
I `  i )
)  -  A ) )
130129fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( G `  i )  -  A
) )  =  ( abs `  ( ( F `  ( I `
 i ) )  -  A ) ) )
131 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ h
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x )
132 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ i ( ( F `  h )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  h
)  -  A ) )  <  x )
133 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  h  ->  ( F `  i )  =  ( F `  h ) )
134133eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  =  h  ->  (
( F `  i
)  e.  CC  <->  ( F `  h )  e.  CC ) )
135133oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  =  h  ->  (
( F `  i
)  -  A )  =  ( ( F `
 h )  -  A ) )
136135fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  h  ->  ( abs `  ( ( F `
 i )  -  A ) )  =  ( abs `  (
( F `  h
)  -  A ) ) )
137136breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  =  h  ->  (
( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  h )  -  A
) )  <  x
) )
138134, 137anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  =  h  ->  (
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x )  <-> 
( ( F `  h )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  h
)  -  A ) )  <  x ) ) )
139131, 132, 138cbvral 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 i )  -  A ) )  < 
x )  <->  A. h  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  h )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  h
)  -  A ) )  <  x ) )
140139biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 i )  -  A ) )  < 
x )  ->  A. h  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  h )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  h
)  -  A ) )  <  x ) )
141140ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  A. h  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  h )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  h
)  -  A ) )  <  x ) )
14220, 21, 233jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M
) ) ) )
143 zre 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  RR )
1441433ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  j  e.  RR )
145 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )
146 eluzelz 10254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) )  ->  i  e.  ZZ )
147 zre 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  e.  ZZ  ->  i  e.  RR )
148145, 146, 1473syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  i  e.  RR )
149 simp1 955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ph )
150149, 64syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  M  e.  RR )
151 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  /\  M  <_ 
j )  ->  j  e.  ZZ )
152151, 143syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  /\  M  <_ 
j )  ->  j  e.  RR )
153150adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  /\  -.  M  <_  j )  ->  M  e.  RR )
154152, 153ifclda 3605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  if ( M  <_  j ,  j ,  M )  e.  RR )
155150, 144jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( M  e.  RR  /\  j  e.  RR ) )
156 max1 10530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( M  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  M  <_  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) )
157155, 156syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  M  <_  if ( M  <_  j ,  j ,  M
) )
158 eluzle 10256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) )  ->  if ( M  <_  j ,  j ,  M )  <_ 
i )
1591583ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  if ( M  <_  j ,  j ,  M )  <_ 
i )
160150, 154, 148, 157, 159letrd 8989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  M  <_  i )
161149, 14syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
162145, 146syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  i  e.  ZZ )
163161, 162jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ ) )
164 eluz 10257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( i  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  i ) )
165163, 164syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( i  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  M  <_  i ) )
166160, 165mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
167166, 66sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  i  e.  Z )
168149, 167jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( ph  /\  i  e.  Z ) )
169168, 95syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( I `  i )  e.  RR )
170 max2 10532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  j  <_  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) )
171155, 170syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  j  <_  if ( M  <_  j ,  j ,  M
) )
172144, 154, 148, 171, 159letrd 8989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  j  <_  i )
17392idi 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  (
I `  i )  e.  ( ZZ>= `  i )
)
174168, 173syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( I `  i )  e.  (
ZZ>= `  i ) )
175174, 98syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  i  <_  ( I `  i ) )
176144, 148, 169, 172, 175letrd 8989 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  j  <_  ( I `  i ) )
177 simp2 956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  j  e.  ZZ )
178174, 102syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( I `  i )  e.  ZZ )
179177, 178jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( j  e.  ZZ  /\  ( I `
 i )  e.  ZZ ) )
180 eluz 10257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  ( I `  i
)  e.  ZZ )  ->  ( ( I `
 i )  e.  ( ZZ>= `  j )  <->  j  <_  ( I `  i ) ) )
181179, 180syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( (
I `  i )  e.  ( ZZ>= `  j )  <->  j  <_  ( I `  i ) ) )
182176, 181mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( I `  i )  e.  (
ZZ>= `  j ) )
183142, 182syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( I `  i )  e.  (
ZZ>= `  j ) )
184141, 183jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( A. h  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  h )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 h )  -  A ) )  < 
x )  /\  (
I `  i )  e.  ( ZZ>= `  j )
) )
185 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( h  =  ( I `  i )  ->  ( F `  h )  =  ( F `  ( I `  i
) ) )
186185eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( h  =  ( I `  i )  ->  (
( F `  h
)  e.  CC  <->  ( F `  ( I `  i
) )  e.  CC ) )
187185oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( h  =  ( I `  i )  ->  (
( F `  h
)  -  A )  =  ( ( F `
 ( I `  i ) )  -  A ) )
188187fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( h  =  ( I `  i )  ->  ( abs `  ( ( F `
 h )  -  A ) )  =  ( abs `  (
( F `  (
I `  i )
)  -  A ) ) )
189188breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( h  =  ( I `  i )  ->  (
( abs `  (
( F `  h
)  -  A ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  ( I `  i
) )  -  A
) )  <  x
) )
190186, 189anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( h  =  ( I `  i )  ->  (
( ( F `  h )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  h
)  -  A ) )  <  x )  <-> 
( ( F `  ( I `  i
) )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  (
I `  i )
)  -  A ) )  <  x ) ) )
191190rspccva 2896 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. h  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( F `  h
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  h )  -  A ) )  <  x )  /\  ( I `  i
)  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( ( F `  ( I `  i
) )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  (
I `  i )
)  -  A ) )  <  x ) )
192191simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. h  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( F `  h
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  h )  -  A ) )  <  x )  /\  ( I `  i
)  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( abs `  (
( F `  (
I `  i )
)  -  A ) )  <  x )
193184, 192syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  ( I `  i
) )  -  A
) )  <  x
)
194130, 193eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( G `  i )  -  A
) )  <  x
)
195127, 194jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( G `  i )  -  A
) )  <  x
) )
196195ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  A ) )  <  x ) )  ->  ( i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) )  ->  ( ( G `
 i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( G `  i )  -  A
) )  <  x
) ) )
19719, 196ralrimi 2637 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  A ) )  <  x ) )  ->  A. i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) ( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( G `  i
)  -  A ) )  <  x ) )
19816, 197jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  A ) )  <  x ) )  ->  ( if ( M  <_  j , 
j ,  M )  e.  ZZ  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M
) ) ( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( G `
 i )  -  A ) )  < 
x ) ) )
199 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  if ( M  <_  j ,  j ,  M )  -> 
( ZZ>= `  l )  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )
200199raleqdv 2755 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  if ( M  <_  j ,  j ,  M )  -> 
( A. i  e.  ( ZZ>= `  l )
( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( G `  i
)  -  A ) )  <  x )  <->  A. i  e.  ( ZZ>=
`  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) ( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( G `  i
)  -  A ) )  <  x ) ) )
201200rspcev 2897 . . . . . . . . 9  |-  ( ( if ( M  <_ 
j ,  j ,  M )  e.  ZZ  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) ( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( G `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  ->  E. l  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  l )
( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( G `  i
)  -  A ) )  <  x ) )
202198, 201syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  A ) )  <  x ) )  ->  E. l  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  l ) ( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( G `
 i )  -  A ) )  < 
x ) )
203202exp31 587 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( j  e.  ZZ  ->  ( A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 i )  -  A ) )  < 
x )  ->  E. l  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  l )
( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( G `  i
)  -  A ) )  <  x ) ) ) )
20411, 12, 203rexlimd 2677 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x )  ->  E. l  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  l ) ( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( G `
 i )  -  A ) )  < 
x ) ) )
20510, 204mpd 14 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. l  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  l )
( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( G `  i
)  -  A ) )  <  x ) )
206205ex 423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  ->  E. l  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  l ) ( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( G `
 i )  -  A ) )  < 
x ) ) )
2074, 206ralrimi 2637 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. l  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  l ) ( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( G `
 i )  -  A ) )  < 
x ) )
2083, 207jca 518 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. l  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  l ) ( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( G `
 i )  -  A ) )  < 
x ) ) )
209 climsuse.12 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Y )
210 eqidd 2297 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( G `
 i )  =  ( G `  i
) )
211209, 210clim 11984 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  ~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. l  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  l )
( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( G `  i
)  -  A ) )  <  x ) ) ) )
212208, 211mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  G  ~~>  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   F/wnf 1534    = wceq 1632    e. wcel 1696   F/_wnfc 2419   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   ifcif 3578   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   1c1 8754    + caddc 8756    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   abscabs 11735    ~~> cli 11974
This theorem is referenced by:  stirlinglem8  27933
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-clim 11978
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