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Theorem climsuse 27712
Description: A subsequence  G of a converging sequence  F, converges to the same limit.  I is the strictly increasing and it is used to index the subsequence (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climsuse.1  |-  F/ k
ph
climsuse.3  |-  F/_ k F
climsuse.2  |-  F/_ k G
climsuse.4  |-  F/_ k
I
climsuse.5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climsuse.6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climsuse.7  |-  ( ph  ->  F  e.  X )
climsuse.8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
climsuse.9  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
climsuse.10  |-  ( ph  ->  ( I `  M
)  e.  Z )
climsuse.11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
I `  ( k  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  (
( I `  k
)  +  1 ) ) )
climsuse.12  |-  ( ph  ->  G  e.  Y )
climsuse.13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  ( F `  ( I `  k
) ) )
Assertion
Ref Expression
climsuse  |-  ( ph  ->  G  ~~>  A )
Distinct variable group:    k, Z
Allowed substitution hints:    ph( k)    A( k)    F( k)    G( k)    I( k)    M( k)    X( k)    Y( k)

Proof of Theorem climsuse
Dummy variables  h  i  j  x  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climsuse.9 . . 3  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
2 climcl 12295 . . 3  |-  ( F  ~~>  A  ->  A  e.  CC )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
4 nfv 1630 . . 3  |-  F/ x ph
5 climsuse.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  X )
6 eqidd 2439 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( F `
 i )  =  ( F `  i
) )
75, 6clim 12290 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) ) ) )
81, 7mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 i )  -  A ) )  < 
x ) ) )
98simprd 451 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 i )  -  A ) )  < 
x ) )
109r19.21bi 2806 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )
11 simpllr 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  M  <_ 
j )  ->  j  e.  ZZ )
12 climsuse.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
1312ad4antr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  -.  M  <_  j )  ->  M  e.  ZZ )
1411, 13ifclda 3768 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  A ) )  <  x ) )  ->  if ( M  <_  j ,  j ,  M )  e.  ZZ )
15 nfv 1630 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )
16 nfra1 2758 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i A. i  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  A ) )  <  x )
1715, 16nfan 1847 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )
18 simp-4l 744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ph )
19 simpllr 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  j  e.  ZZ )
2018, 19jca 520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( ph  /\  j  e.  ZZ ) )
21 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )
22 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ )  /\  M  <_  j )  ->  M  <_  j )
2312anim1i 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )
2423adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ )  /\  M  <_  j )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )
25 eluz 10501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( j  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  j ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ )  /\  M  <_  j )  ->  (
j  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  M  <_  j ) )
2722, 26mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ )  /\  M  <_  j )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
28 simpll 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ )  /\  -.  M  <_  j )  ->  ph )
29 uzid 10502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3028, 12, 293syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ )  /\  -.  M  <_  j )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
3127, 30ifclda 3768 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ )  ->  if ( M  <_  j , 
j ,  M )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
32 uzss 10508 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( if ( M  <_  j ,  j ,  M
)  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  ( ZZ>=
`  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) 
C_  ( ZZ>= `  M
) )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M
) )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
34 climsuse.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
3533, 34syl6sseqr 3397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M
) )  C_  Z
)
3635sseld 3349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) )  ->  i  e.  Z ) )
3720, 21, 36sylc 59 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  i  e.  Z )
38 climsuse.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ k
ph
39 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ k  i  e.  Z
4038, 39nfan 1847 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( ph  /\  i  e.  Z )
41 climsuse.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k G
42 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k
i
4341, 42nffv 5737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( G `  i
)
44 climsuse.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k F
45 climsuse.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k
I
4645, 42nffv 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k
( I `  i
)
4744, 46nffv 5737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( F `  (
I `  i )
)
4843, 47nfeq 2581 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( G `  i
)  =  ( F `
 ( I `  i ) )
4940, 48nfim 1833 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( ( ph  /\  i  e.  Z )  ->  ( G `  i
)  =  ( F `
 ( I `  i ) ) )
50 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  i  ->  (
k  e.  Z  <->  i  e.  Z ) )
5150anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  i  ->  (
( ph  /\  k  e.  Z )  <->  ( ph  /\  i  e.  Z ) ) )
52 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  i  ->  ( G `  k )  =  ( G `  i ) )
53 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  i  ->  (
I `  k )  =  ( I `  i ) )
5453fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  i  ->  ( F `  ( I `  k ) )  =  ( F `  (
I `  i )
) )
5552, 54eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  i  ->  (
( G `  k
)  =  ( F `
 ( I `  k ) )  <->  ( G `  i )  =  ( F `  ( I `
 i ) ) ) )
5651, 55imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  i  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k
)  =  ( F `
 ( I `  k ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  i  e.  Z )  ->  ( G `  i
)  =  ( F `
 ( I `  i ) ) ) ) )
57 climsuse.13 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  ( F `  ( I `  k
) ) )
5849, 56, 57chvar 1969 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  ( G `  i )  =  ( F `  ( I `  i
) ) )
5934eleq2i 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  Z  <->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6059biimpi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  Z  ->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6160adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
62 uzss 10508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  i )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
6361, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  ( ZZ>=
`  i )  C_  ( ZZ>= `  M )
)
64 climsuse.10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( I `  M
)  e.  Z )
65 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ k
( i  +  1 )
6645, 65nffv 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ k
( I `  (
i  +  1 ) )
67 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ k ZZ>=
68 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ k  +
69 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ k
1
7046, 68, 69nfov 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ k
( ( I `  i )  +  1 )
7167, 70nffv 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ k
( ZZ>= `  ( (
I `  i )  +  1 ) )
7266, 71nfel 2582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ k ( I `  (
i  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( I `  i )  +  1 ) )
7340, 72nfim 1833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ k ( ( ph  /\  i  e.  Z )  ->  ( I `  (
i  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( I `  i )  +  1 ) ) )
74 oveq1 6090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  i  ->  (
k  +  1 )  =  ( i  +  1 ) )
7574fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  i  ->  (
I `  ( k  +  1 ) )  =  ( I `  ( i  +  1 ) ) )
7653oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  i  ->  (
( I `  k
)  +  1 )  =  ( ( I `
 i )  +  1 ) )
7776fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  i  ->  ( ZZ>=
`  ( ( I `
 k )  +  1 ) )  =  ( ZZ>= `  ( (
I `  i )  +  1 ) ) )
7875, 77eleq12d 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  i  ->  (
( I `  (
k  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( I `  k )  +  1 ) )  <->  ( I `  ( i  +  1 ) )  e.  (
ZZ>= `  ( ( I `
 i )  +  1 ) ) ) )
7951, 78imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  i  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( I `  (
k  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( I `  k )  +  1 ) ) )  <->  ( ( ph  /\  i  e.  Z
)  ->  ( I `  ( i  +  1 ) )  e.  (
ZZ>= `  ( ( I `
 i )  +  1 ) ) ) ) )
80 climsuse.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
I `  ( k  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  (
( I `  k
)  +  1 ) ) )
8173, 79, 80chvar 1969 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  (
I `  ( i  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  (
( I `  i
)  +  1 ) ) )
8234, 12, 64, 81climsuselem1 27711 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  (
I `  i )  e.  ( ZZ>= `  i )
)
8363, 82sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  (
I `  i )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
8483, 34syl6eleqr 2529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  (
I `  i )  e.  Z )
8584ex 425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( i  e.  Z  ->  ( I `  i
)  e.  Z ) )
8685imdistani 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  ( ph  /\  ( I `  i )  e.  Z
) )
8739nfci 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k Z
8846, 87nfel 2582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k ( I `  i
)  e.  Z
8938, 88nfan 1847 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ k ( ph  /\  (
I `  i )  e.  Z )
9047nfel1 2584 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ k ( F `  (
I `  i )
)  e.  CC
9189, 90nfim 1833 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( ( ph  /\  ( I `  i
)  e.  Z )  ->  ( F `  ( I `  i
) )  e.  CC )
92 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( I `  i )  ->  (
k  e.  Z  <->  ( I `  i )  e.  Z
) )
9392anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( I `  i )  ->  (
( ph  /\  k  e.  Z )  <->  ( ph  /\  ( I `  i
)  e.  Z ) ) )
94 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( I `  i )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( I `  i
) ) )
9594eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( I `  i )  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  ( I `  i
) )  e.  CC ) )
9693, 95imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( I `  i )  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k
)  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  ( I `  i
)  e.  Z )  ->  ( F `  ( I `  i
) )  e.  CC ) ) )
97 climsuse.8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
9846, 91, 96, 97vtoclgf 3012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I `  i )  e.  Z  ->  (
( ph  /\  (
I `  i )  e.  Z )  ->  ( F `  ( I `  i ) )  e.  CC ) )
9984, 86, 98sylc 59 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  ( F `  ( I `  i ) )  e.  CC )
10058, 99eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  ( G `  i )  e.  CC )
10118, 37, 100syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( G `  i )  e.  CC )
10218, 37, 58syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( G `  i )  =  ( F `  ( I `
 i ) ) )
103102oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( ( G `  i )  -  A )  =  ( ( F `  (
I `  i )
)  -  A ) )
104103fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( G `  i )  -  A
) )  =  ( abs `  ( ( F `  ( I `
 i ) )  -  A ) ) )
105 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  h  ->  ( F `  i )  =  ( F `  h ) )
106105eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  h  ->  (
( F `  i
)  e.  CC  <->  ( F `  h )  e.  CC ) )
107105oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  =  h  ->  (
( F `  i
)  -  A )  =  ( ( F `
 h )  -  A ) )
108107fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  h  ->  ( abs `  ( ( F `
 i )  -  A ) )  =  ( abs `  (
( F `  h
)  -  A ) ) )
109108breq1d 4224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  h  ->  (
( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  h )  -  A
) )  <  x
) )
110106, 109anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  h  ->  (
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x )  <-> 
( ( F `  h )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  h
)  -  A ) )  <  x ) ) )
111110cbvralv 2934 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 i )  -  A ) )  < 
x )  <->  A. h  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  h )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  h
)  -  A ) )  <  x ) )
112111biimpi 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 i )  -  A ) )  < 
x )  ->  A. h  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  h )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  h
)  -  A ) )  <  x ) )
113112ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  A. h  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  h )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  h
)  -  A ) )  <  x ) )
114 zre 10288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  RR )
1151143ad2ant2 980 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  j  e.  RR )
116 simp3 960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )
117 eluzelz 10498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) )  ->  i  e.  ZZ )
118 zre 10288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ZZ  ->  i  e.  RR )
119116, 117, 1183syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  i  e.  RR )
120 simp1 958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ph )
12112zred 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
122120, 121syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  M  e.  RR )
123 simpl2 962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  /\  M  <_ 
j )  ->  j  e.  ZZ )
124123zred 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  /\  M  <_ 
j )  ->  j  e.  RR )
125122adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  /\  -.  M  <_  j )  ->  M  e.  RR )
126124, 125ifclda 3768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  if ( M  <_  j ,  j ,  M )  e.  RR )
127 max1 10775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  M  <_  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) )
128122, 115, 127syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  M  <_  if ( M  <_  j ,  j ,  M
) )
129 eluzle 10500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) )  ->  if ( M  <_  j ,  j ,  M )  <_ 
i )
1301293ad2ant3 981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  if ( M  <_  j ,  j ,  M )  <_ 
i )
131122, 126, 119, 128, 130letrd 9229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  M  <_  i )
132120, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
1331173ad2ant3 981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  i  e.  ZZ )
134 eluz 10501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( i  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  i ) )
135132, 133, 134syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( i  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  M  <_  i ) )
136131, 135mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
137136, 34syl6eleqr 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  i  e.  Z )
138120, 137jca 520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( ph  /\  i  e.  Z ) )
139 eluzelre 10499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I `  i )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( I `  i )  e.  RR )
140138, 83, 1393syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( I `  i )  e.  RR )
141 max2 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  j  <_  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) )
142122, 115, 141syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  j  <_  if ( M  <_  j ,  j ,  M
) )
143115, 126, 119, 142, 130letrd 9229 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  j  <_  i )
144 eluzle 10500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I `  i )  e.  ( ZZ>= `  i
)  ->  i  <_  ( I `  i ) )
145138, 82, 1443syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  i  <_  ( I `  i ) )
146115, 119, 140, 143, 145letrd 9229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  j  <_  ( I `  i ) )
147 simp2 959 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  j  e.  ZZ )
148 eluzelz 10498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I `  i )  e.  ( ZZ>= `  i
)  ->  ( I `  i )  e.  ZZ )
149138, 82, 1483syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( I `  i )  e.  ZZ )
150 eluz 10501 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  ( I `  i
)  e.  ZZ )  ->  ( ( I `
 i )  e.  ( ZZ>= `  j )  <->  j  <_  ( I `  i ) ) )
151147, 149, 150syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( (
I `  i )  e.  ( ZZ>= `  j )  <->  j  <_  ( I `  i ) ) )
152146, 151mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( I `  i )  e.  (
ZZ>= `  j ) )
15318, 19, 21, 152syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( I `  i )  e.  (
ZZ>= `  j ) )
154 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( h  =  ( I `  i )  ->  ( F `  h )  =  ( F `  ( I `  i
) ) )
155154eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  ( I `  i )  ->  (
( F `  h
)  e.  CC  <->  ( F `  ( I `  i
) )  e.  CC ) )
156154oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( h  =  ( I `  i )  ->  (
( F `  h
)  -  A )  =  ( ( F `
 ( I `  i ) )  -  A ) )
157156fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( h  =  ( I `  i )  ->  ( abs `  ( ( F `
 h )  -  A ) )  =  ( abs `  (
( F `  (
I `  i )
)  -  A ) ) )
158157breq1d 4224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  ( I `  i )  ->  (
( abs `  (
( F `  h
)  -  A ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  ( I `  i
) )  -  A
) )  <  x
) )
159155, 158anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  ( I `  i )  ->  (
( ( F `  h )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  h
)  -  A ) )  <  x )  <-> 
( ( F `  ( I `  i
) )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  (
I `  i )
)  -  A ) )  <  x ) ) )
160159rspccva 3053 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. h  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( F `  h
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  h )  -  A ) )  <  x )  /\  ( I `  i
)  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( ( F `  ( I `  i
) )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  (
I `  i )
)  -  A ) )  <  x ) )
161160simprd 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. h  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( F `  h
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  h )  -  A ) )  <  x )  /\  ( I `  i
)  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( abs `  (
( F `  (
I `  i )
)  -  A ) )  <  x )
162113, 153, 161syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  ( I `  i
) )  -  A
) )  <  x
)
163104, 162eqbrtrd 4234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( G `  i )  -  A
) )  <  x
)
164101, 163jca 520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( G `  i )  -  A
) )  <  x
) )
165164ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  A ) )  <  x ) )  ->  ( i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) )  ->  ( ( G `
 i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( G `  i )  -  A
) )  <  x
) ) )
16617, 165ralrimi 2789 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  A ) )  <  x ) )  ->  A. i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) ( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( G `  i
)  -  A ) )  <  x ) )
167 fveq2 5730 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  if ( M  <_  j ,  j ,  M )  -> 
( ZZ>= `  l )  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )
168167raleqdv 2912 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  if ( M  <_  j ,  j ,  M )  -> 
( A. i  e.  ( ZZ>= `  l )
( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( G `  i
)  -  A ) )  <  x )  <->  A. i  e.  ( ZZ>=
`  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) ( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( G `  i
)  -  A ) )  <  x ) ) )
169168rspcev 3054 . . . . . . . 8  |-  ( ( if ( M  <_ 
j ,  j ,  M )  e.  ZZ  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) ( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( G `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  ->  E. l  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  l )
( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( G `  i
)  -  A ) )  <  x ) )
17014, 166, 169syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  A ) )  <  x ) )  ->  E. l  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  l ) ( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( G `
 i )  -  A ) )  < 
x ) )
171170exp31 589 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( j  e.  ZZ  ->  ( A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 i )  -  A ) )  < 
x )  ->  E. l  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  l )
( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( G `  i
)  -  A ) )  <  x ) ) ) )
172171rexlimdv 2831 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x )  ->  E. l  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  l ) ( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( G `
 i )  -  A ) )  < 
x ) ) )
17310, 172mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. l  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  l )
( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( G `  i
)  -  A ) )  <  x ) )
174173ex 425 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  ->  E. l  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  l ) ( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( G `
 i )  -  A ) )  < 
x ) ) )
1754, 174ralrimi 2789 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. l  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  l ) ( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( G `
 i )  -  A ) )  < 
x ) )
176 climsuse.12 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Y )
177 eqidd 2439 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( G `
 i )  =  ( G `  i
) )
178176, 177clim 12290 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  ~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. l  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  l )
( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( G `  i
)  -  A ) )  <  x ) ) ) )
1793, 175, 178mpbir2and 890 1  |-  ( ph  ->  G  ~~>  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   F/wnf 1554    = wceq 1653    e. wcel 1726   F/_wnfc 2561   A.wral 2707   E.wrex 2708    C_ wss 3322   ifcif 3741   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   1c1 8993    + caddc 8995    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490   RR+crp 10614   abscabs 12041    ~~> cli 12280
This theorem is referenced by:  stirlinglem8  27808
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-clim 12284
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