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Theorem climsuse 27712
 Description: A subsequence of a converging sequence , converges to the same limit. is the strictly increasing and it is used to index the subsequence (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climsuse.1
climsuse.3
climsuse.2
climsuse.4
climsuse.5
climsuse.6
climsuse.7
climsuse.8
climsuse.9
climsuse.10
climsuse.11
climsuse.12
climsuse.13
Assertion
Ref Expression
climsuse
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem climsuse
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climsuse.9 . . 3
2 climcl 12295 . . 3
31, 2syl 16 . 2
4 nfv 1630 . . 3
5 climsuse.7 . . . . . . . . 9
6 eqidd 2439 . . . . . . . . 9
75, 6clim 12290 . . . . . . . 8
81, 7mpbid 203 . . . . . . 7
98simprd 451 . . . . . 6
109r19.21bi 2806 . . . . 5
11 simpllr 737 . . . . . . . . 9
12 climsuse.6 . . . . . . . . . 10
1312ad4antr 714 . . . . . . . . 9
1411, 13ifclda 3768 . . . . . . . 8
15 nfv 1630 . . . . . . . . . 10
16 nfra1 2758 . . . . . . . . . 10
1715, 16nfan 1847 . . . . . . . . 9
18 simp-4l 744 . . . . . . . . . . . 12
19 simpllr 737 . . . . . . . . . . . . . 14
2018, 19jca 520 . . . . . . . . . . . . 13
21 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13
22 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2312anim1i 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2423adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
25 eluz 10501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2722, 26mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
28 simpll 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
29 uzid 10502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3028, 12, 293syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3127, 30ifclda 3768 . . . . . . . . . . . . . . . 16
32 uzss 10508 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
34 climsuse.5 . . . . . . . . . . . . . . 15
3533, 34syl6sseqr 3397 . . . . . . . . . . . . . 14
3635sseld 3349 . . . . . . . . . . . . 13
3720, 21, 36sylc 59 . . . . . . . . . . . 12
38 climsuse.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16
39 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4038, 39nfan 1847 . . . . . . . . . . . . . . 15
41 climsuse.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
42 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4341, 42nffv 5737 . . . . . . . . . . . . . . . 16
44 climsuse.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
45 climsuse.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4645, 42nffv 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4744, 46nffv 5737 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4843, 47nfeq 2581 . . . . . . . . . . . . . . 15
4940, 48nfim 1833 . . . . . . . . . . . . . 14
50 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5150anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . . . 15
52 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . 16
53 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5453fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5552, 54eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15
5651, 55imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . 14
57 climsuse.13 . . . . . . . . . . . . . 14
5849, 56, 57chvar 1969 . . . . . . . . . . . . 13
5934eleq2i 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6059biimpi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6160adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
62 uzss 10508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6361, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
64 climsuse.10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
65 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6645, 65nffv 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
67 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
68 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
69 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7046, 68, 69nfov 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7167, 70nffv 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7266, 71nfel 2582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7340, 72nfim 1833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
74 oveq1 6090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7574fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7653oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7776fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7875, 77eleq12d 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7951, 78imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
80 climsuse.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8173, 79, 80chvar 1969 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8234, 12, 64, 81climsuselem1 27711 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8363, 82sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . . . 15
8483, 34syl6eleqr 2529 . . . . . . . . . . . . . 14
8584ex 425 . . . . . . . . . . . . . . 15
8685imdistani 673 . . . . . . . . . . . . . 14
8739nfci 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8846, 87nfel 2582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8938, 88nfan 1847 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9047nfel1 2584 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9189, 90nfim 1833 . . . . . . . . . . . . . . 15
92 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9392anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . . . . 16
94 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9594eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9693, 95imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . 15
97 climsuse.8 . . . . . . . . . . . . . . 15
9846, 91, 96, 97vtoclgf 3012 . . . . . . . . . . . . . 14
9984, 86, 98sylc 59 . . . . . . . . . . . . 13
10058, 99eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . 12
10118, 37, 100syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11
10218, 37, 58syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14
103102oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . 13
104103fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . 12
105 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
106105eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
107105oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
108107fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
109108breq1d 4224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
110106, 109anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16
111110cbvralv 2934 . . . . . . . . . . . . . . 15
112111biimpi 188 . . . . . . . . . . . . . 14
113112ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . 13
114 zre 10288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1151143ad2ant2 980 . . . . . . . . . . . . . . . 16
116 simp3 960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
117 eluzelz 10498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
118 zre 10288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
119116, 117, 1183syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16
120 simp1 958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12112zred 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
122120, 121syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
123 simpl2 962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
124123zred 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
125122adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
126124, 125ifclda 3768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
127 max1 10775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
128122, 115, 127syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
129 eluzle 10500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1301293ad2ant3 981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
131122, 126, 119, 128, 130letrd 9229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
132120, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1331173ad2ant3 981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
134 eluz 10501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
135132, 133, 134syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
136131, 135mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
137136, 34syl6eleqr 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
138120, 137jca 520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
139 eluzelre 10499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
140138, 83, 1393syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16
141 max2 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
142122, 115, 141syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
143115, 126, 119, 142, 130letrd 9229 . . . . . . . . . . . . . . . 16
144 eluzle 10500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
145138, 82, 1443syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16
146115, 119, 140, 143, 145letrd 9229 . . . . . . . . . . . . . . 15
147 simp2 959 . . . . . . . . . . . . . . . 16
148 eluzelz 10498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
149138, 82, 1483syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16
150 eluz 10501 . . . . . . . . . . . . . . . 16
151147, 149, 150syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15
152146, 151mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . 14
15318, 19, 21, 152syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13
154 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
155154eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . 16
156154oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
157156fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
158157breq1d 4224 . . . . . . . . . . . . . . . 16
159155, 158anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . . 15
160159rspccva 3053 . . . . . . . . . . . . . 14
161160simprd 451 . . . . . . . . . . . . 13
162113, 153, 161syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12
163104, 162eqbrtrd 4234 . . . . . . . . . . 11
164101, 163jca 520 . . . . . . . . . 10
165164ex 425 . . . . . . . . 9
16617, 165ralrimi 2789 . . . . . . . 8
167 fveq2 5730 . . . . . . . . . 10
168167raleqdv 2912 . . . . . . . . 9
169168rspcev 3054 . . . . . . . 8
17014, 166, 169syl2anc 644 . . . . . . 7
171170exp31 589 . . . . . 6
172171rexlimdv 2831 . . . . 5
17310, 172mpd 15 . . . 4
174173ex 425 . . 3
1754, 174ralrimi 2789 . 2
176 climsuse.12 . . 3
177 eqidd 2439 . . 3
178176, 177clim 12290 . 2
1793, 175, 178mpbir2and 890 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937  wnf 1554   wceq 1653   wcel 1726  wnfc 2561  wral 2707  wrex 2708   wss 3322  cif 3741   class class class wbr 4214  cfv 5456  (class class class)co 6083  cc 8990  cr 8991  c1 8993   caddc 8995   clt 9122   cle 9123   cmin 9293  cz 10284  cuz 10490  crp 10614  cabs 12041   cli 12280 This theorem is referenced by:  stirlinglem8  27808 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-clim 12284
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