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Theorem climsuse 27837
 Description: A subsequence of a converging sequence , converges to the same limit. is the strictly increasing and it is used to index the subsequence (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climsuse.1
climsuse.3
climsuse.2
climsuse.4
climsuse.5
climsuse.6
climsuse.7
climsuse.8
climsuse.9
climsuse.10
climsuse.11
climsuse.12
climsuse.13
Assertion
Ref Expression
climsuse
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem climsuse
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climsuse.9 . . . 4
2 climcl 11989 . . . 4
31, 2syl 15 . . 3
4 nfv 1609 . . . 4
5 climsuse.7 . . . . . . . . . 10
6 eqidd 2297 . . . . . . . . . 10
75, 6clim 11984 . . . . . . . . 9
81, 7mpbid 201 . . . . . . . 8
98simprd 449 . . . . . . 7
109r19.21bi 2654 . . . . . 6
11 nfv 1609 . . . . . . 7
12 nfv 1609 . . . . . . 7
13 simpllr 735 . . . . . . . . . . 11
14 climsuse.6 . . . . . . . . . . . 12
1514ad4antr 712 . . . . . . . . . . 11
1613, 15ifclda 3605 . . . . . . . . . 10
17 nfv 1609 . . . . . . . . . . . 12
18 nfra1 2606 . . . . . . . . . . . 12
1917, 18nfan 1783 . . . . . . . . . . 11
20 simp-4l 742 . . . . . . . . . . . . . . 15
21 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2220, 21jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
23 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2422, 23jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16
25 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2614anim1i 551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2726adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
28 eluz 10257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2927, 28syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3025, 29mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
31 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
32 uzid 10258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3331, 14, 323syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3430, 33ifclda 3605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
35 uzss 10264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3634, 35syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
37 climsuse.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3836, 37syl6sseqr 3238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3938sseld 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4039imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4124, 40syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
4220, 41jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14
43 climsuse.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
44 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4543, 44nfan 1783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
46 climsuse.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
47 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4846, 47nffv 5548 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
49 climsuse.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
50 climsuse.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5150, 47nffv 5548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5249, 51nffv 5548 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5348, 52nfeq 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5445, 53nfim 1781 . . . . . . . . . . . . . . . 16
55 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5655anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
57 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
58 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5958fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6057, 59eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6156, 60imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . 16
62 climsuse.13 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6354, 61, 62chvar 1939 . . . . . . . . . . . . . . 15
6414zred 10133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6564adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6637eleq2i 2360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6766biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
68 eluzelre 10255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6967, 68syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7069adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7167adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
72 uzss 10264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7371, 72syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
74 climsuse.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
75 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7650, 75nffv 5548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
77 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
78 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
79 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
8051, 78, 79nfov 5897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8177, 80nffv 5548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8276, 81nfel 2440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8345, 82nfim 1781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
84 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8584fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8658oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8786fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8885, 87eleq12d 2364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8956, 88imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
90 climsuse.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9183, 89, 90chvar 1939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9237, 14, 74, 91climsuselem1 27836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9373, 92sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
94 eluzelre 10255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9593, 94syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
96 eluzle 10256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9771, 96syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
98 eluzle 10256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9992, 98syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10065, 70, 95, 97, 99letrd 8989 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10114adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
102 eluzelz 10254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10392, 102syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
104101, 103jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
105 eluz 10257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
106104, 105syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
107100, 106mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10837a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
109107, 108eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . . . . . . 16
110109ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
111110imdistani 671 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11244nfci 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
11351, 112nfel 2440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11443, 113nfan 1783 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11552nfel1 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
116114, 115nfim 1781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
117 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
118117anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
119 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
120119eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
121118, 120imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
122 climsuse.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
123122a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12451, 116, 121, 123vtoclgaf 2861 . . . . . . . . . . . . . . . 16
125109, 111, 124sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . 15
12663, 125eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . 14
12742, 126syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
12842, 63syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
129128oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15
130129fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14
131 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
132 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
133 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
134133eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
135133oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
136135fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
137136breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
138134, 137anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
139131, 132, 138cbvral 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
140139biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
141140ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16
14220, 21, 233jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
143 zre 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1441433ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
145 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
146 eluzelz 10254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
147 zre 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
148145, 146, 1473syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
149 simp1 955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
150149, 64syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
151 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
152151, 143syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
153150adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
154152, 153ifclda 3605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
155150, 144jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
156 max1 10530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
157155, 156syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
158 eluzle 10256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1591583ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
160150, 154, 148, 157, 159letrd 8989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
161149, 14syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
162145, 146syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
163161, 162jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
164 eluz 10257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
165163, 164syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
166160, 165mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
167166, 66sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
168149, 167jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
169168, 95syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
170 max2 10532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
171155, 170syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
172144, 154, 148, 171, 159letrd 8989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
17392idi 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
174168, 173syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
175174, 98syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
176144, 148, 169, 172, 175letrd 8989 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
177 simp2 956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
178174, 102syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
179177, 178jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
180 eluz 10257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
181179, 180syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
182176, 181mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
183142, 182syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
184141, 183jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15
185 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
186185eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
187185oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
188187fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
189188breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
190186, 189anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
191190rspccva 2896 . . . . . . . . . . . . . . . 16
192191simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . 15
193184, 192syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
194130, 193eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . . . . 13
195127, 194jca 518 . . . . . . . . . . . 12
196195ex 423 . . . . . . . . . . 11
19719, 196ralrimi 2637 . . . . . . . . . 10
19816, 197jca 518 . . . . . . . . 9
199 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11
200199raleqdv 2755 . . . . . . . . . 10
201200rspcev 2897 . . . . . . . . 9
202198, 201syl 15 . . . . . . . 8
203202exp31 587 . . . . . . 7
20411, 12, 203rexlimd 2677 . . . . . 6
20510, 204mpd 14 . . . . 5
206205ex 423 . . . 4
2074, 206ralrimi 2637 . . 3
2083, 207jca 518 . 2
209 climsuse.12 . . 3
210 eqidd 2297 . . 3
211209, 210clim 11984 . 2
212208, 211mpbird 223 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934  wnf 1534   wceq 1632   wcel 1696  wnfc 2419  wral 2556  wrex 2557   wss 3165  cif 3578   class class class wbr 4039  cfv 5271  (class class class)co 5874  cc 8751  cr 8752  c1 8754   caddc 8756   clt 8883   cle 8884   cmin 9053  cz 10040  cuz 10246  crp 10370  cabs 11735   cli 11974 This theorem is referenced by:  stirlinglem8  27933 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-clim 11978
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