Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climsuselem1 Structured version   Unicode version

Theorem climsuselem1 27747
 Description: The subsequence index has the expected properties: it belongs to the same upper integers as the original index, and it is always larger or equal than the original index. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climsuselem1.1
climsuselem1.2
climsuselem1.3
climsuselem1.4
Assertion
Ref Expression
climsuselem1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem climsuselem1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climsuselem1.1 . . . . 5
21eleq2i 2506 . . . 4
32biimpi 188 . . 3
5 simpl 445 . 2
6 fveq2 5757 . . . . 5
7 fveq2 5757 . . . . 5
86, 7eleq12d 2510 . . . 4
98imbi2d 309 . . 3
10 fveq2 5757 . . . . 5
11 fveq2 5757 . . . . 5
1210, 11eleq12d 2510 . . . 4
1312imbi2d 309 . . 3
14 fveq2 5757 . . . . 5
15 fveq2 5757 . . . . 5
1614, 15eleq12d 2510 . . . 4
1716imbi2d 309 . . 3
18 fveq2 5757 . . . . 5
19 fveq2 5757 . . . . 5
2018, 19eleq12d 2510 . . . 4
2120imbi2d 309 . . 3
22 climsuselem1.3 . . . . 5
2322, 1syl6eleq 2532 . . . 4
2423a1i 11 . . 3
25 simpr 449 . . . . 5
26 simpll 732 . . . . 5
27 simplr 733 . . . . . 6
2825, 27mpd 15 . . . . 5
29 eluzelz 10527 . . . . . . . . . 10
30293ad2ant2 980 . . . . . . . . 9
3130peano2zd 10409 . . . . . . . 8
3231zred 10406 . . . . . . 7
33 eluzelre 10528 . . . . . . . . 9
34333ad2ant3 981 . . . . . . . 8
35 1re 9121 . . . . . . . . 9
3635a1i 11 . . . . . . . 8
3734, 36readdcld 9146 . . . . . . 7
381eqimss2i 3389 . . . . . . . . . . . . . 14
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
4039sseld 3333 . . . . . . . . . . . 12
4140imdistani 673 . . . . . . . . . . 11
42 climsuselem1.4 . . . . . . . . . . 11
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . 10
44433adant3 978 . . . . . . . . 9
45 eluzelz 10527 . . . . . . . . 9
4644, 45syl 16 . . . . . . . 8
4746zred 10406 . . . . . . 7
4830zred 10406 . . . . . . . 8
49 eluzle 10529 . . . . . . . . 9
50493ad2ant3 981 . . . . . . . 8
5148, 34, 36, 50leadd1dd 9671 . . . . . . 7
52 eluzle 10529 . . . . . . . 8
5344, 52syl 16 . . . . . . 7
5432, 37, 47, 51, 53letrd 9258 . . . . . 6
55 eluz 10530 . . . . . . 7
5631, 46, 55syl2anc 644 . . . . . 6
5754, 56mpbird 225 . . . . 5
5825, 26, 28, 57syl3anc 1185 . . . 4
5958exp31 589 . . 3
609, 13, 17, 21, 24, 59uzind4 10565 . 2
614, 5, 60sylc 59 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1727   wss 3306   class class class wbr 4237  cfv 5483  (class class class)co 6110  cr 9020  c1 9022   caddc 9024   cle 9152  cz 10313  cuz 10519 This theorem is referenced by:  climsuse  27748 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520
 Copyright terms: Public domain W3C validator