Theorem climubii 8925

Description: The limit of a monotonic sequence is an upper bound.

Hypotheses

Ref	Expression
climub.1	|- A e. _V
climub.2	|- F:NN-->RR
climub.3	|- (k e. NN -> (F` k) <_ (F` (k + 1)))
climub.4	|- F ~~> A
climubi.5	|- N e. NN

Assertion

Ref	Expression
climubii	|- (F` N) <_ A

Distinct variable group:   k,F

Proof of Theorem climubii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climubi.5	. . . . . . . 8 |- N e. NN
2		nnaddcl 7558	. . . . . . . 8 |- ((N e. NN /\ m e. NN) -> (N + m) e. NN)
3	1, 2	mpan 773	. . . . . . 7 |- (m e. NN -> (N + m) e. NN)
4		nnre 7547	. . . . . . . . . 10 |- (m e. NN -> m e. RR)
5	1	nnnn0i 7768	. . . . . . . . . 10 |- N e. NN0
6		nn0addge2 7793	. . . . . . . . . 10 |- ((m e. RR /\ N e. NN0) -> m <_ (N + m))
7	4, 5, 6	sylancl 756	. . . . . . . . 9 |- (m e. NN -> m <_ (N + m))
8		climub.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F:NN-->RR
9	8	ffvelrni 4917	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((N + m) e. NN -> (F` (N + m)) e. RR)
10	3, 9	syl 13	. . . . . . . . . . . . 13 |- (m e. NN -> (F` (N + m)) e. RR)
11		climub.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A e. _V
12		climub.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F ~~> A
13	11, 8, 12	climfnrcli 8883	. . . . . . . . . . . . 13 |- A e. RR
14		resubcl 7180	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((F` (N + m)) e. RR /\ A e. RR) -> ((F` (N + m)) - A) e. RR)
15	10, 13, 14	sylancl 756	. . . . . . . . . . . 12 |- (m e. NN -> ((F` (N + m)) - A) e. RR)
16		recn 6919	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((F` (N + m)) - A) e. RR -> ((F` (N + m)) - A) e. CC)
17	15, 16	syl 13	. . . . . . . . . . . . 13 |- (m e. NN -> ((F` (N + m)) - A) e. CC)
18		abscl 8584	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((F` (N + m)) - A) e. CC -> (abs` ((F` (N + m)) - A)) e. RR)
19	17, 18	syl 13	. . . . . . . . . . . 12 |- (m e. NN -> (abs` ((F` (N + m)) - A)) e. RR)
20	15, 19	jca 590	. . . . . . . . . . 11 |- (m e. NN -> (((F` (N + m)) - A) e. RR /\ (abs` ((F` (N + m)) - A)) e. RR))
21	1	nnrei 7549	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- N e. RR
22		nnnn0 7767	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (m e. NN -> m e. NN0)
23		nn0addge1 7792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((N e. RR /\ m e. NN0) -> N <_ (N + m))
24	21, 22, 23	sylancr 758	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (m e. NN -> N <_ (N + m))
25		climub.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (k e. NN -> (F` k) <_ (F` (k + 1)))
26	8, 25	monoord 7981	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((N e. NN /\ (N + m) e. NN /\ N <_ (N + m)) -> (F` N) <_ (F` (N + m)))
27	1, 26	mp3an1 1481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((N + m) e. NN /\ N <_ (N + m)) -> (F` N) <_ (F` (N + m)))
28	3, 24, 27	syl11anc 755	. . . . . . . . . . . . 13 |- (m e. NN -> (F` N) <_ (F` (N + m)))
29		ffvelrn 4916	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((F:NN-->RR /\ N e. NN) -> (F` N) e. RR)
30	8, 1, 29	mp2an 777	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (F` N) e. RR
31		lesub1 7284	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((F` N) e. RR /\ (F` (N + m)) e. RR /\ A e. RR) -> ((F` N) <_ (F` (N + m)) <-> ((F` N) - A) <_ ((F` (N + m)) - A)))
32	30, 13, 31	mp3an13 1485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((F` (N + m)) e. RR -> ((F` N) <_ (F` (N + m)) <-> ((F` N) - A) <_ ((F` (N + m)) - A)))
33	10, 32	syl 13	. . . . . . . . . . . . 13 |- (m e. NN -> ((F` N) <_ (F` (N + m)) <-> ((F` N) - A) <_ ((F` (N + m)) - A)))
34	28, 33	mpbid 256	. . . . . . . . . . . 12 |- (m e. NN -> ((F` N) - A) <_ ((F` (N + m)) - A))
35		leabs 8615	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((F` (N + m)) - A) e. RR -> ((F` (N + m)) - A) <_ (abs` ((F` (N + m)) - A)))
36	15, 35	syl 13	. . . . . . . . . . . 12 |- (m e. NN -> ((F` (N + m)) - A) <_ (abs` ((F` (N + m)) - A)))
37	34, 36	jca 590	. . . . . . . . . . 11 |- (m e. NN -> (((F` N) - A) <_ ((F` (N + m)) - A) /\ ((F` (N + m)) - A) <_ (abs` ((F` (N + m)) - A))))
38	30, 13	resubcli 7181	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F` N) - A) e. RR
39		letr 6986	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((F` N) - A) e. RR /\ ((F` (N + m)) - A) e. RR /\ (abs` ((F` (N + m)) - A)) e. RR) -> ((((F` N) - A) <_ ((F` (N + m)) - A) /\ ((F` (N + m)) - A) <_ (abs` ((F` (N + m)) - A))) -> ((F` N) - A) <_ (abs` ((F` (N + m)) - A))))
40	38, 39	mp3an1 1481	. . . . . . . . . . 11 |- ((((F` (N + m)) - A) e. RR /\ (abs` ((F` (N + m)) - A)) e. RR) -> ((((F` N) - A) <_ ((F` (N + m)) - A) /\ ((F` (N + m)) - A) <_ (abs` ((F` (N + m)) - A))) -> ((F` N) - A) <_ (abs` ((F` (N + m)) - A))))
41	20, 37, 40	sylc 41	. . . . . . . . . 10 |- (m e. NN -> ((F` N) - A) <_ (abs` ((F` (N + m)) - A)))
42		lenlt 6971	. . . . . . . . . . 11 |- ((((F` N) - A) e. RR /\ (abs` ((F` (N + m)) - A)) e. RR) -> (((F` N) - A) <_ (abs` ((F` (N + m)) - A)) <-> -. (abs` ((F` (N + m)) - A)) < ((F` N) - A)))
43	38, 19, 42	sylancr 758	. . . . . . . . . 10 |- (m e. NN -> (((F` N) - A) <_ (abs` ((F` (N + m)) - A)) <-> -. (abs` ((F` (N + m)) - A)) < ((F` N) - A)))
44	41, 43	mpbid 256	. . . . . . . . 9 |- (m e. NN -> -. (abs` ((F` (N + m)) - A)) < ((F` N) - A))
45	7, 44	jca 590	. . . . . . . 8 |- (m e. NN -> (m <_ (N + m) /\ -. (abs` ((F` (N + m)) - A)) < ((F` N) - A)))
46		annim 461	. . . . . . . 8 |- ((m <_ (N + m) /\ -. (abs` ((F` (N + m)) - A)) < ((F` N) - A)) <-> -. (m <_ (N + m) -> (abs` ((F` (N + m)) - A)) < ((F` N) - A)))
47	45, 46	sylib 263	. . . . . . 7 |- (m e. NN -> -. (m <_ (N + m) -> (abs` ((F` (N + m)) - A)) < ((F` N) - A)))
48		breq2 3543	. . . . . . . . . 10 |- (j = (N + m) -> (m <_ j <-> m <_ (N + m)))
49		fveq2 4804	. . . . . . . . . . . . 13 |- (j = (N + m) -> (F` j) = (F` (N + m)))
50	49	opreq1d 5032	. . . . . . . . . . . 12 |- (j = (N + m) -> ((F` j) - A) = ((F` (N + m)) - A))
51	50	fveq2d 4808	. . . . . . . . . . 11 |- (j = (N + m) -> (abs` ((F` j) - A)) = (abs` ((F` (N + m)) - A)))
52	51	breq1d 3549	. . . . . . . . . 10 |- (j = (N + m) -> ((abs` ((F` j) - A)) < ((F` N) - A) <-> (abs` ((F` (N + m)) - A)) < ((F` N) - A)))
53	48, 52	imbi12d 384	. . . . . . . . 9 |- (j = (N + m) -> ((m <_ j -> (abs` ((F` j) - A)) < ((F` N) - A)) <-> (m <_ (N + m) -> (abs` ((F` (N + m)) - A)) < ((F` N) - A))))
54	53	notbid 356	. . . . . . . 8 |- (j = (N + m) -> (-. (m <_ j -> (abs` ((F` j) - A)) < ((F` N) - A)) <-> -. (m <_ (N + m) -> (abs` ((F` (N + m)) - A)) < ((F` N) - A))))
55	54	rcla4ev 2651	. . . . . . 7 |- (((N + m) e. NN /\ -. (m <_ (N + m) -> (abs` ((F` (N + m)) - A)) < ((F` N) - A))) -> E.j e. NN -. (m <_ j -> (abs` ((F` j) - A)) < ((F` N) - A)))
56	3, 47, 55	syl11anc 755	. . . . . 6 |- (m e. NN -> E.j e. NN -. (m <_ j -> (abs` ((F` j) - A)) < ((F` N) - A)))
57		rexnal 2394	. . . . . 6 |- (E.j e. NN -. (m <_ j -> (abs` ((F` j) - A)) < ((F` N) - A)) <-> -. A.j e. NN (m <_ j -> (abs` ((F` j) - A)) < ((F` N) - A)))
58	56, 57	sylib 263	. . . . 5 |- (m e. NN -> -. A.j e. NN (m <_ j -> (abs` ((F` j) - A)) < ((F` N) - A)))
59	58	nrex 2473	. . . 4 |- -. E.m e. NN A.j e. NN (m <_ j -> (abs` ((F` j) - A)) < ((F` N) - A))
60		1z 7821	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
61		nnuz 8069	. . . . . . . . . . 11 |- NN = (ZZ>=` 1)
62	61	eqimss2i 2929	. . . . . . . . . 10 |- (ZZ>=` 1) C_ NN
63		nnssz 7813	. . . . . . . . . 10 |- NN C_ ZZ
64	60, 62, 63	clmi2i 8859	. . . . . . . . 9 |- (((A e. _V /\ F ~~> A) /\ (w e. RR /\ 0 < w)) -> E.m e. NN A.j e. NN (m <_ j -> (abs` ((F` j) - A)) < w))
65	11, 64	mpanl1 788	. . . . . . . 8 |- ((F ~~> A /\ (w e. RR /\ 0 < w)) -> E.m e. NN A.j e. NN (m <_ j -> (abs` ((F` j) - A)) < w))
66	65	exp32 674	. . . . . . 7 |- (F ~~> A -> (w e. RR -> (0 < w -> E.m e. NN A.j e. NN (m <_ j -> (abs` ((F` j) - A)) < w))))
67	66	r19.21aiv 2455	. . . . . 6 |- (F ~~> A -> A.w e. RR (0 < w -> E.m e. NN A.j e. NN (m <_ j -> (abs` ((F` j) - A)) < w)))
68	12, 67	ax-mp 7	. . . . 5 |- A.w e. RR (0 < w -> E.m e. NN A.j e. NN (m <_ j -> (abs` ((F` j) - A)) < w))
69		breq2 3543	. . . . . . 7 |- (w = ((F` N) - A) -> (0 < w <-> 0 < ((F` N) - A)))
70		breq2 3543	. . . . . . . . 9 |- (w = ((F` N) - A) -> ((abs` ((F` j) - A)) < w <-> (abs` ((F` j) - A)) < ((F` N) - A)))
71	70	imbi2d 380	. . . . . . . 8 |- (w = ((F` N) - A) -> ((m <_ j -> (abs` ((F` j) - A)) < w) <-> (m <_ j -> (abs` ((F` j) - A)) < ((F` N) - A))))
72	71	rexralbidv 2422	. . . . . . 7 |- (w = ((F` N) - A) -> (E.m e. NN A.j e. NN (m <_ j -> (abs` ((F` j) - A)) < w) <-> E.m e. NN A.j e. NN (m <_ j -> (abs` ((F` j) - A)) < ((F` N) - A))))
73	69, 72	imbi12d 384	. . . . . 6 |- (w = ((F` N) - A) -> ((0 < w -> E.m e. NN A.j e. NN (m <_ j -> (abs` ((F` j) - A)) < w)) <-> (0 < ((F` N) - A) -> E.m e. NN A.j e. NN (m <_ j -> (abs` ((F` j) - A)) < ((F` N) - A)))))
74	73	rcla4v 2647	. . . . 5 |- (((F` N) - A) e. RR -> (A.w e. RR (0 < w -> E.m e. NN A.j e. NN (m <_ j -> (abs` ((F` j) - A)) < w)) -> (0 < ((F` N) - A) -> E.m e. NN A.j e. NN (m <_ j -> (abs` ((F` j) - A)) < ((F` N) - A)))))
75	38, 68, 74	mp2 98	. . . 4 |- (0 < ((F` N) - A) -> E.m e. NN A.j e. NN (m <_ j -> (abs` ((F` j) - A)) < ((F` N) - A)))
76	59, 75	mto 163	. . 3 |- -. 0 < ((F` N) - A)
77	13, 30	posdifi 7289	. . 3 |- (A < (F` N) <-> 0 < ((F` N) - A))
78	76, 77	mtbir 367	. 2 |- -. A < (F` N)
79	30, 13	lenlti 7039	. 2 |- ((F` N) <_ A <-> -. A < (F` N))
80	78, 79	mpbir 255	1 |- (F` N) <_ A

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 231   /\ wa 433   = wceq 1615   e. wcel 1617  A.wral 2385  E.wrex 2386  _Vcvv 2569   class class class wbr 3539  -->wf 4159  ` cfv 4163  (class class class)co 5020  CCcc 6827  RRcr 6828  0cc0 6829  1c1 6830   + caddc 6832   <_ cle 6943   < clt 6947   - cmin 7091  NNcn 7094  NN0cn0 7095  ZZ>=cuz 8045  abscabs 8500   ~~> cli 8746

This theorem is referenced by:  climubi 8926  ege2le3lem1 9105

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1621  ax-gen 1622  ax-8 1623  ax-9 1624  ax-10 1625  ax-11 1626  ax-12 1627  ax-13 1628  ax-14 1629  ax-17 1634  ax-4 1637  ax-5o 1639  ax-6o 1642  ax-9o 1792  ax-10o 1810  ax-16 1883  ax-11o 1893  ax-ext 2152  ax-rep 3628  ax-sep 3638  ax-nul 3645  ax-pow 3681  ax-pr 3719  ax-un 3961  ax-cnex 6885  ax-resscn 6886  ax-1cn 6887  ax-icn 6888  ax-addcl 6889  ax-addrcl 6890  ax-mulcl 6891  ax-mulrcl 6892  ax-mulcom 6893  ax-addass 6894  ax-mulass 6895  ax-distr 6896  ax-i2m1 6897  ax-1ne0 6898  ax-1rid 6899  ax-rnegex 6900  ax-rrecex 6901  ax-cnre 6902  ax-pre-lttri 6903  ax-pre-lttrn 6904  ax-pre-ltadd 6905  ax-pre-mulgt0 6906  ax-pre-sup 6907  ax-mulopr 6909

This theorem depends on definitions:  df-bi 232  df-or 434  df-an 435  df-3or 1131  df-3an 1132  df-ex 1645  df-sb 1845  df-eu 2070  df-mo 2071  df-clab 2158  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-ne 2297  df-nel 2298  df-ral 2389  df-rex 2390  df-reu 2391  df-rab 2392  df-v 2571  df-sbc 2731  df-csb 2806  df-dif 2862  df-un 2864  df-in 2866  df-ss 2868  df-pss 2870  df-nul 3115  df-if 3213  df-pw 3261  df-sn 3274  df-pr 3275  df-tp 3277  df-op 3278  df-uni 3399  df-int 3433  df-iun 3470  df-br 3540  df-opab 3598  df-tr 3612  df-eprel 3776  df-id 3779  df-po 3784  df-so 3796  df-fr 3814  df-we 3830  df-ord 3846  df-on 3847  df-lim 3848  df-suc 3849  df-om 4118  df-xp 4165  df-rel 4166  df-cnv 4167  df-co 4168  df-dm 4169  df-rn 4170  df-res 4171  df-ima 4172  df-fun 4173  df-fn 4174  df-f 4175  df-f1 4176  df-fo 4177  df-f1o 4178  df-fv 4179  df-opr 5022  df-oprab 5023  df-mpt 5138  df-1st 5166  df-2nd 5167  df-iota 5259  df-rdg 5344  df-er 5519  df-en 5631  df-dom 5632  df-sdom 5633  df-undef 5769  df-riota 5773  df-sup 5932  df-pnf 6948  df-mnf 6949  df-xr 6950  df-ltxr 6951  df-le 6952  df-sub 7111  df-neg 7113  df-div 7325  df-n 7543  df-2 7589  df-n0 7761  df-z 7798  df-uz 8046  df-seq1 8210  df-exp 8312  df-sqr 8420  df-re 8501  df-im 8502  df-cj 8503  df-abs 8504  df-clim 8747

Copyright terms: Public domain