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Theorem climuni 12026
Description: An infinite sequence of complex numbers converges to at most one limit. (Contributed by NM, 2-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
climuni  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B )  ->  A  =  B )

Proof of Theorem climuni
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 10053 . 2  |-  1  e.  ZZ
2 nnuz 10263 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
31a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  1  e.  ZZ )
4 climcl 11973 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  ~~>  A  ->  A  e.  CC )
543ad2ant1 976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  A  e.  CC )
6 climcl 11973 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  ~~>  B  ->  B  e.  CC )
763ad2ant2 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  B  e.  CC )
85, 7subcld 9157 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  ( A  -  B )  e.  CC )
9 simp3 957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  A  =/=  B )
10 subeq0 9073 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  =  0  <-> 
A  =  B ) )
115, 7, 10syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  ( ( A  -  B )  =  0  <->  A  =  B ) )
1211necon3bid 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  ( ( A  -  B )  =/=  0  <->  A  =/=  B
) )
139, 12mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  ( A  -  B )  =/=  0
)
148, 13absrpcld 11930 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  e.  RR+ )
1514rphalfcld 10402 . . . . . . 7  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  / 
2 )  e.  RR+ )
16 eqidd 2284 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  ~~>  A  /\  F 
~~>  B  /\  A  =/= 
B )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
17 simp1 955 . . . . . . 7  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  F  ~~>  A )
182, 3, 15, 16, 17climi 11984 . . . . . 6  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  2 ) ) )
19 simp2 956 . . . . . . 7  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  F  ~~>  B )
202, 3, 15, 16, 19climi 11984 . . . . . 6  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  2 ) ) )
212rexanuz2 11833 . . . . . 6  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  2
) )  /\  (
( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  2
) ) )  <->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  2 ) )  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  2 ) ) ) )
2218, 20, 21sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) ) )
23 nnz 10045 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ZZ )
24 uzid 10242 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
25 ne0i 3461 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( ZZ>= `  j )  =/=  (/) )
2623, 24, 253syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  j )  =/=  (/) )
27 r19.2z 3543 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ZZ>= `  j )  =/=  (/)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) ) )  ->  E. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  2 ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) ) )
2827ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ZZ>= `  j )  =/=  (/)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) )  ->  E. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) ) ) )
2926, 28syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  2 ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) )  ->  E. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) ) ) )
30 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
31 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
3230, 31abssubd 11935 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  =  ( abs `  ( A  -  ( F `  k )
) ) )
3332breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 )  <-> 
( abs `  ( A  -  ( F `  k ) ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  2
) ) )
34 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
35 subcl 9051 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
3635adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( A  -  B )  e.  CC )
3736abscld 11918 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  e.  RR )
38 abs3lem 11822 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( A  -  B
) )  e.  RR ) )  ->  (
( ( abs `  ( A  -  ( F `  k ) ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  2
)  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  ( abs `  ( A  -  B ) ) ) )
3931, 34, 30, 37, 38syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  ( F `  k ) ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  2
)  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  ( abs `  ( A  -  B ) ) ) )
4037ltnrd 8953 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  -.  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  ( abs `  ( A  -  B ) ) )
4140pm2.21d 98 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  <  ( abs `  ( A  -  B ) )  ->  -.  1  e.  ZZ ) )
4239, 41syld 40 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  ( F `  k ) ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  2
)  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  ->  -.  1  e.  ZZ ) )
4342exp3a 425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( A  -  ( F `  k )
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 )  ->  -.  1  e.  ZZ ) ) )
4433, 43sylbid 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 )  ->  -.  1  e.  ZZ ) ) )
4544impr 602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) )  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  2 )  ->  -.  1  e.  ZZ ) )
4645adantld 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) )  ->  (
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  2 ) )  ->  -.  1  e.  ZZ ) )
4746expimpd 586 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  A ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) )  ->  -.  1  e.  ZZ )
)
4847rexlimdvw 2670 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( E. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) )  ->  -.  1  e.  ZZ )
)
4929, 48sylan9r 639 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) )  ->  -.  1  e.  ZZ )
)
5049rexlimdva 2667 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) )  ->  -.  1  e.  ZZ )
)
515, 7, 50syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) )  ->  -.  1  e.  ZZ )
)
5222, 51mpd 14 . . . 4  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  -.  1  e.  ZZ )
53523expia 1153 . . 3  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B )  ->  ( A  =/=  B  ->  -.  1  e.  ZZ )
)
5453necon4ad 2507 . 2  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B )  ->  (
1  e.  ZZ  ->  A  =  B ) )
551, 54mpi 16 1  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B )  ->  A  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    < clt 8867    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   abscabs 11719    ~~> cli 11958
This theorem is referenced by:  fclim  12027  climeu  12029  summolem2  12189  summo  12190  ef0  12372  efcj  12373  efaddlem  12374  ioombl1lem4  18918  mbflimlem  19022  itg2i1fseq  19110  itg2addlem  19113  plyeq0lem  19592  leibpi  20238  esumpcvgval  23446  stirlinglem15  27837
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962
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