HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem clm4 7080
Description: Express the predicate F converges to A.
Hypotheses
Ref Expression
clm1.1 |- M e. ZZ
clm1.2 |- (ZZ>` M) (_ Z
clm1.3 |- Z (_ ZZ
clm1.4 |- N e. ZZ
clm1.5 |- (ZZ>` N) (_ W
clm1.6 |- W (_ ZZ
clm2.7 |- F e. V
Assertion
Ref Expression
clm4 |- ((A e. CC /\ A.k e. (Z i^i W)(F` k) e. CC) -> (F ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))))
Distinct variable groups:   j,k,x,A   j,F,k,x   j,M,k   k,N   j,W,k,x   j,Z,k,x
Proof of Theorem clm4
StepHypRef Expression
1 clm1.1 . . 3 |- M e. ZZ
2 clm1.2 . . 3 |- (ZZ>` M) (_ Z
3 clm1.3 . . 3 |- Z (_ ZZ
4 clm1.4 . . 3 |- N e. ZZ
5 clm1.5 . . 3 |- (ZZ>` N) (_ W
6 clm1.6 . . 3 |- W (_ ZZ
7 clm2.7 . . 3 |- F e. V
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7clm3 7079 . 2 |- ((A e. CC /\ E.m e. Z A.k e. W (m <_ k -> (F` k) e. CC)) -> (F ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))))
9 elin 2210 . . . . . . . 8 |- (k e. (Z i^i W) <-> (k e. Z /\ k e. W))
10 ancom 437 . . . . . . . 8 |- ((k e. Z /\ k e. W) <-> (k e. W /\ k e. Z))
119, 10bitr 173 . . . . . . 7 |- (k e. (Z i^i W) <-> (k e. W /\ k e. Z))
1211imbi1i 186 . . . . . 6 |- ((k e. (Z i^i W) -> (F` k) e. CC) <-> ((k e. W /\ k e. Z) -> (F` k) e. CC))
13 impexp 347 . . . . . 6 |- (((k e. W /\ k e. Z) -> (F` k) e. CC) <-> (k e. W -> (k e. Z -> (F` k) e. CC)))
1412, 13bitr 173 . . . . 5 |- ((k e. (Z i^i W) -> (F` k) e. CC) <-> (k e. W -> (k e. Z -> (F` k) e. CC)))
1514ralbii2 1674 . . . 4 |- (A.k e. (Z i^i W)(F` k) e. CC <-> A.k e. W (k e. Z -> (F` k) e. CC))
166sseli 2068 . . . . . . 7 |- (k e. W -> k e. ZZ)
171eluz1 6423 . . . . . . . . 9 |- (k e. (ZZ>` M) <-> (k e. ZZ /\ M <_ k))
182sseli 2068 . . . . . . . . 9 |- (k e. (ZZ>` M) -> k e. Z)
1917, 18sylbir 201 . . . . . . . 8 |- ((k e. ZZ /\ M <_ k) -> k e. Z)
2019ex 373 . . . . . . 7 |- (k e. ZZ -> (M <_ k -> k e. Z))
2116, 20syl 10 . . . . . 6 |- (k e. W -> (M <_ k -> k e. Z))
2221imim1d 28 . . . . 5 |- (k e. W -> ((k e. Z -> (F` k) e. CC) -> (M <_ k -> (F` k) e. CC)))
2322r19.20i 1707 . . . 4 |- (A.k e. W (k e. Z -> (F` k) e. CC) -> A.k e. W (M <_ k -> (F` k) e. CC))
2415, 23sylbi 199 . . 3 |- (A.k e. (Z i^i W)(F` k) e. CC -> A.k e. W (M <_ k -> (F` k) e. CC))
25 uzidt 6428 . . . . . 6 |- (M e. ZZ -> M e. (ZZ>` M))
261, 25ax-mp 7 . . . . 5 |- M e. (ZZ>` M)
272, 26sselii 2069 . . . 4 |- M e. Z
28 breq1 2627 . . . . . . 7 |- (m = M -> (m <_ k <-> M <_ k))
2928imbi1d 615 . . . . . 6 |- (m = M -> ((m <_ k -> (F` k) e. CC) <-> (M <_ k -> (F` k) e. CC)))
3029ralbidv 1666 . . . . 5 |- (m = M -> (A.k e. W (m <_ k -> (F` k) e. CC) <-> A.k e. W (M <_ k -> (F` k) e. CC)))
3130rcla4ev 1880 . . . 4 |- ((M e. Z /\ A.k e. W (M <_ k -> (F` k) e. CC)) -> E.m e. Z A.k e. W (m <_ k -> (F` k) e. CC))
3227, 31mpan 697 . . 3 |- (A.k e. W (M <_ k -> (F` k) e. CC) -> E.m e. Z A.k e. W (m <_ k -> (F` k) e. CC))
3324, 32syl 10 . 2 |- (A.k e. (Z i^i W)(F` k) e. CC -> E.m e. Z A.k e. W (m <_ k -> (F` k) e. CC))
348, 33sylan2 453 1 |- ((A e. CC /\ A.k e. (Z i^i W)(F` k) e. CC) -> (F ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  E.wrex 1649  Vcvv 1814   i^i cin 2049   (_ wss 2050   class class class wbr 2624  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  RRcr 5245  0cc0 5246   - cmin 5304   <_ cle 5307  ZZcz 5310   < clt 5498  ZZ>cuz 6418  abscabs 6751   ~~> cli 6974
This theorem is referenced by:  clm4le 7081  clm4f 7082  clm0 7083  clmnns 7084  clm4at 7090  climfnn 7092  climconst 7094  2climnn 7102  2climnn0 7103  ser1f0 7170  occllem6 9173  projlem25 9205  projlem26 9206
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-ltp 5102  df-enr 5178  df-nr 5179  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-c 5252  df-r 5256  df-lt 5259  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-z 6138  df-uz 6419  df-clim 6975
Copyright terms: Public domain