Theorem clm4f 7082

Description: Express the predicate F converges to A.

Hypotheses

Ref	Expression
clm1.1	|- M e. ZZ
clm1.2	|- (ZZ>` M) (_ Z
clm1.3	|- Z (_ ZZ
clm1.4	|- N e. ZZ
clm1.5	|- (ZZ>` N) (_ W
clm1.6	|- W (_ ZZ
clm2.7	|- F e. V

Assertion

Ref	Expression
clm4f	|- ((A e. CC /\ F:W-->CC) -> (F ~~> A <-> A.x e. RR+ E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)))

Distinct variable groups:   j,k,x,A   j,F,k,x   j,M,k   k,N   j,W,k,x   j,Z,k,x

Proof of Theorem clm4f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clm1.1	. . . 4 |- M e. ZZ
2		clm1.2	. . . 4 |- (ZZ>` M) (_ Z
3		clm1.3	. . . 4 |- Z (_ ZZ
4		clm1.4	. . . 4 |- N e. ZZ
5		clm1.5	. . . 4 |- (ZZ>` N) (_ W
6		clm1.6	. . . 4 |- W (_ ZZ
7		clm2.7	. . . 4 |- F e. V
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	clm4 7080	. . 3 |- ((A e. CC /\ A.k e. (Z i^i W)(F` k) e. CC) -> (F ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))))
9		ffvelrn 3814	. . . . 5 |- ((F:W-->CC /\ k e. W) -> (F` k) e. CC)
10		inss2 2231	. . . . . 6 |- (Z i^i W) (_ W
11	10	sseli 2065	. . . . 5 |- (k e. (Z i^i W) -> k e. W)
12	9, 11	sylan2 451	. . . 4 |- ((F:W-->CC /\ k e. (Z i^i W)) -> (F` k) e. CC)
13	12	r19.21aiva 1714	. . 3 |- (F:W-->CC -> A.k e. (Z i^i W)(F` k) e. CC)
14	8, 13	sylan2 451	. 2 |- ((A e. CC /\ F:W-->CC) -> (F ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))))
15		ralrp 6289	. 2 |- (A.x e. RR+ E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)))
16	14, 15	syl6bbr 538	1 |- ((A e. CC /\ F:W-->CC) -> (F ~~> A <-> A.x e. RR+ E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646  Vcvv 1811   i^i cin 2046   (_ wss 2047   class class class wbr 2619  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234   - cmin 5292   <_ cle 5295  ZZcz 5298  RR+crp 5300   < clt 5486  ZZ>cuz 6417  abscabs 6750   ~~> cli 6974

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-ltp 5090  df-enr 5166  df-nr 5167  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-c 5240  df-r 5244  df-lt 5247  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-z 6136  df-rp 6281  df-uz 6418  df-clim 6975

Copyright terms: Public domain