Theorem clmi1 7086

Description: Convergence of a sequence of complex numbers.

Hypotheses

Ref	Expression
clmi1.1	|- M e. ZZ
clmi1.2	|- (ZZ>` M) (_ Z
clmi1.6	|- W (_ ZZ

Assertion

Ref	Expression
clmi1	|- (((A e. C /\ F ~~> A) /\ (B e. RR /\ 0 < B)) -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B)))

Distinct variable groups:   j,k,A   B,j,k   j,F,k   j,M,k   k,W   j,Z

Proof of Theorem clmi1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 2623	. . . . . . . 8 |- (y = B -> (0 < y <-> 0 < B))
2		breq2 2623	. . . . . . . . . . 11 |- (y = B -> ((abs` ((F` k) - A)) < y <-> (abs` ((F` k) - A)) < B))
3	2	anbi2d 616	. . . . . . . . . 10 |- (y = B -> (((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < y) <-> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B)))
4	3	imbi2d 612	. . . . . . . . 9 |- (y = B -> ((j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < y)) <-> (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B))))
5	4	rexralbidv 1682	. . . . . . . 8 |- (y = B -> (E.j e. (ZZ>` M)A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < y)) <-> E.j e. (ZZ>` M)A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B))))
6	1, 5	imbi12d 626	. . . . . . 7 |- (y = B -> ((0 < y -> E.j e. (ZZ>` M)A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < y))) <-> (0 < B -> E.j e. (ZZ>` M)A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B)))))
7	6	rcla4v 1873	. . . . . 6 |- (B e. RR -> (A.y e. RR (0 < y -> E.j e. (ZZ>` M)A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < y))) -> (0 < B -> E.j e. (ZZ>` M)A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B)))))
8		clmi1.1	. . . . . . . 8 |- M e. ZZ
9		ssid 2080	. . . . . . . 8 |- (ZZ>` M) (_ (ZZ>` M)
10		uzssz 6430	. . . . . . . 8 |- (ZZ>` M) (_ ZZ
11		0z 6146	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
12		uzssz 6430	. . . . . . . 8 |- (ZZ>` 0) (_ ZZ
13		ssid 2080	. . . . . . . 8 |- ZZ (_ ZZ
14	8, 9, 10, 11, 12, 13	clm1 7077	. . . . . . 7 |- ((F e. V /\ A e. C) -> (F ~~> A <-> (A e. CC /\ A.y e. RR (0 < y -> E.j e. (ZZ>` M)A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < y))))))
15	14	pm3.27bda 421	. . . . . 6 |- (((F e. V /\ A e. C) /\ F ~~> A) -> A.y e. RR (0 < y -> E.j e. (ZZ>` M)A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < y))))
16	7, 15	syl5com 52	. . . . 5 |- (((F e. V /\ A e. C) /\ F ~~> A) -> (B e. RR -> (0 < B -> E.j e. (ZZ>` M)A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B)))))
17	16	exp31 376	. . . 4 |- (F e. V -> (A e. C -> (F ~~> A -> (B e. RR -> (0 < B -> E.j e. (ZZ>` M)A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B)))))))
18		climrel 6976	. . . . . . . 8 |- Rel ~~>
19	18	brrelexi 3208	. . . . . . 7 |- (F ~~> A -> F e. V)
20	19	con3i 98	. . . . . 6 |- (-. F e. V -> -. F ~~> A)
21	20	pm2.21d 78	. . . . 5 |- (-. F e. V -> (F ~~> A -> (B e. RR -> (0 < B -> E.j e. (ZZ>` M)A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B))))))
22	21	a1d 12	. . . 4 |- (-. F e. V -> (A e. C -> (F ~~> A -> (B e. RR -> (0 < B -> E.j e. (ZZ>` M)A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B)))))))
23	17, 22	pm2.61i 126	. . 3 |- (A e. C -> (F ~~> A -> (B e. RR -> (0 < B -> E.j e. (ZZ>` M)A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B))))))
24	23	imp43 370	. 2 |- (((A e. C /\ F ~~> A) /\ (B e. RR /\ 0 < B)) -> E.j e. (ZZ>` M)A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B)))
25		clmi1.2	. . . 4 |- (ZZ>` M) (_ Z
26		ssrexv 2115	. . . 4 |- ((ZZ>` M) (_ Z -> (E.j e. (ZZ>` M)A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B)) -> E.j e. Z A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B))))
27	25, 26	ax-mp 7	. . 3 |- (E.j e. (ZZ>` M)A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B)) -> E.j e. Z A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B)))
28		clmi1.6	. . . . 5 |- W (_ ZZ
29		ssralv 2114	. . . . 5 |- (W (_ ZZ -> (A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B)) -> A.k e. W (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B))))
30	28, 29	ax-mp 7	. . . 4 |- (A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B)) -> A.k e. W (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B)))
31	30	r19.22si 1734	. . 3 |- (E.j e. Z A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B)) -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B)))
32	27, 31	syl 10	. 2 |- (E.j e. (ZZ>` M)A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B)) -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B)))
33	24, 32	syl 10	1 |- (((A e. C /\ F ~~> A) /\ (B e. RR /\ 0 < B)) -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646  Vcvv 1811   (_ wss 2047   class class class wbr 2619  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234   - cmin 5292   <_ cle 5295  ZZcz 5298   < clt 5486  ZZ>cuz 6417  abscabs 6750   ~~> cli 6974

This theorem is referenced by:  clmi2 7087  clm0i 7089  climunii 7098

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246