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Theorem clmmulg 19156
Description: The group multiple function matches the scalar multiplication function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
clmmulg.1  |-  V  =  ( Base `  W
)
clmmulg.2  |-  .xb  =  (.g
`  W )
clmmulg.3  |-  .x.  =  ( .s `  W )
Assertion
Ref Expression
clmmulg  |-  ( ( W  e. CMod  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  V )  ->  ( A  .xb  B )  =  ( A  .x.  B
) )

Proof of Theorem clmmulg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6124 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
x  .xb  B )  =  ( 0  .xb  B ) )
2 oveq1 6124 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
x  .x.  B )  =  ( 0  .x. 
B ) )
31, 2eqeq12d 2457 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  (
( x  .xb  B
)  =  ( x 
.x.  B )  <->  ( 0 
.xb  B )  =  ( 0  .x.  B
) ) )
4 oveq1 6124 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .xb  B )  =  ( y  .xb  B ) )
5 oveq1 6124 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .x.  B )  =  ( y  .x.  B ) )
64, 5eqeq12d 2457 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  .xb  B
)  =  ( x 
.x.  B )  <->  ( y  .xb  B )  =  ( y  .x.  B ) ) )
7 oveq1 6124 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
x  .xb  B )  =  ( ( y  +  1 )  .xb  B ) )
8 oveq1 6124 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
x  .x.  B )  =  ( ( y  +  1 )  .x.  B ) )
97, 8eqeq12d 2457 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( x  .xb  B
)  =  ( x 
.x.  B )  <->  ( (
y  +  1 ) 
.xb  B )  =  ( ( y  +  1 )  .x.  B
) ) )
10 oveq1 6124 . . . . 5  |-  ( x  =  -u y  ->  (
x  .xb  B )  =  ( -u y  .xb  B ) )
11 oveq1 6124 . . . . 5  |-  ( x  =  -u y  ->  (
x  .x.  B )  =  ( -u y  .x.  B ) )
1210, 11eqeq12d 2457 . . . 4  |-  ( x  =  -u y  ->  (
( x  .xb  B
)  =  ( x 
.x.  B )  <->  ( -u y  .xb  B )  =  (
-u y  .x.  B
) ) )
13 oveq1 6124 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
x  .xb  B )  =  ( A  .xb  B ) )
14 oveq1 6124 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
x  .x.  B )  =  ( A  .x.  B ) )
1513, 14eqeq12d 2457 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  .xb  B
)  =  ( x 
.x.  B )  <->  ( A  .xb 
B )  =  ( A  .x.  B ) ) )
16 clmmulg.1 . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
17 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
18 clmmulg.2 . . . . . . 7  |-  .xb  =  (.g
`  W )
1916, 17, 18mulg0 14933 . . . . . 6  |-  ( B  e.  V  ->  (
0  .xb  B )  =  ( 0g `  W ) )
2019adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( W  e. CMod  /\  B  e.  V )  ->  (
0  .xb  B )  =  ( 0g `  W ) )
21 eqid 2443 . . . . . 6  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
22 clmmulg.3 . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .s `  W )
2316, 21, 22, 17clm0vs 19153 . . . . 5  |-  ( ( W  e. CMod  /\  B  e.  V )  ->  (
0  .x.  B )  =  ( 0g `  W ) )
2420, 23eqtr4d 2478 . . . 4  |-  ( ( W  e. CMod  /\  B  e.  V )  ->  (
0  .xb  B )  =  ( 0  .x. 
B ) )
25 oveq1 6124 . . . . . 6  |-  ( ( y  .xb  B )  =  ( y  .x.  B )  ->  (
( y  .xb  B
) ( +g  `  W
) B )  =  ( ( y  .x.  B ) ( +g  `  W ) B ) )
26 clmgrp 19131 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e. CMod  ->  W  e.  Grp )
27 grpmnd 14855 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  Grp  ->  W  e.  Mnd )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e. CMod  ->  W  e.  Mnd )
2928ad2antrr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. CMod  /\  B  e.  V )  /\  y  e.  NN0 )  ->  W  e.  Mnd )
30 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. CMod  /\  B  e.  V )  /\  y  e.  NN0 )  ->  y  e.  NN0 )
31 simplr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. CMod  /\  B  e.  V )  /\  y  e.  NN0 )  ->  B  e.  V
)
32 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
3316, 18, 32mulgnn0p1 14939 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  Mnd  /\  y  e.  NN0  /\  B  e.  V )  ->  (
( y  +  1 )  .xb  B )  =  ( ( y 
.xb  B ) ( +g  `  W ) B ) )
3429, 30, 31, 33syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. CMod  /\  B  e.  V )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( y  +  1 )  .xb  B )  =  ( ( y  .xb  B
) ( +g  `  W
) B ) )
35 simpll 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. CMod  /\  B  e.  V )  /\  y  e.  NN0 )  ->  W  e. CMod )
36 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
3721, 36clmzss 19141 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e. CMod  ->  ZZ  C_  ( Base `  (Scalar `  W
) ) )
3837ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. CMod  /\  B  e.  V )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ZZ  C_  ( Base `  (Scalar `  W
) ) )
39 nn0z 10342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN0  ->  y  e.  ZZ )
4039adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. CMod  /\  B  e.  V )  /\  y  e.  NN0 )  ->  y  e.  ZZ )
4138, 40sseldd 3338 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. CMod  /\  B  e.  V )  /\  y  e.  NN0 )  ->  y  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
42 1z 10349 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ZZ
4342a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. CMod  /\  B  e.  V )  /\  y  e.  NN0 )  ->  1  e.  ZZ )
4438, 43sseldd 3338 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. CMod  /\  B  e.  V )  /\  y  e.  NN0 )  ->  1  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
4516, 21, 22, 36, 32clmvsdir 19151 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. CMod  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  1  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) )  /\  B  e.  V ) )  -> 
( ( y  +  1 )  .x.  B
)  =  ( ( y  .x.  B ) ( +g  `  W
) ( 1  .x. 
B ) ) )
4635, 41, 44, 31, 45syl13anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. CMod  /\  B  e.  V )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( y  +  1 )  .x.  B )  =  ( ( y  .x.  B
) ( +g  `  W
) ( 1  .x. 
B ) ) )
4716, 22clmvs1 19152 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. CMod  /\  B  e.  V )  ->  (
1  .x.  B )  =  B )
4847adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. CMod  /\  B  e.  V )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( 1  .x. 
B )  =  B )
4948oveq2d 6133 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. CMod  /\  B  e.  V )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( y 
.x.  B ) ( +g  `  W ) ( 1  .x.  B
) )  =  ( ( y  .x.  B
) ( +g  `  W
) B ) )
5046, 49eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. CMod  /\  B  e.  V )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( y  +  1 )  .x.  B )  =  ( ( y  .x.  B
) ( +g  `  W
) B ) )
5134, 50eqeq12d 2457 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. CMod  /\  B  e.  V )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( ( y  +  1 ) 
.xb  B )  =  ( ( y  +  1 )  .x.  B
)  <->  ( ( y 
.xb  B ) ( +g  `  W ) B )  =  ( ( y  .x.  B
) ( +g  `  W
) B ) ) )
5225, 51syl5ibr 214 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. CMod  /\  B  e.  V )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( y 
.xb  B )  =  ( y  .x.  B
)  ->  ( (
y  +  1 ) 
.xb  B )  =  ( ( y  +  1 )  .x.  B
) ) )
5352ex 425 . . . 4  |-  ( ( W  e. CMod  /\  B  e.  V )  ->  (
y  e.  NN0  ->  ( ( y  .xb  B
)  =  ( y 
.x.  B )  -> 
( ( y  +  1 )  .xb  B
)  =  ( ( y  +  1 ) 
.x.  B ) ) ) )
54 fveq2 5763 . . . . . 6  |-  ( ( y  .xb  B )  =  ( y  .x.  B )  ->  (
( inv g `  W ) `  (
y  .xb  B )
)  =  ( ( inv g `  W
) `  ( y  .x.  B ) ) )
5526ad2antrr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. CMod  /\  B  e.  V )  /\  y  e.  NN )  ->  W  e.  Grp )
56 nnz 10341 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
5756adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. CMod  /\  B  e.  V )  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  ZZ )
58 simplr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. CMod  /\  B  e.  V )  /\  y  e.  NN )  ->  B  e.  V
)
59 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( inv g `  W )  =  ( inv g `  W )
6016, 18, 59mulgneg 14946 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  B  e.  V )  ->  ( -u y  .xb  B )  =  ( ( inv g `  W ) `
 ( y  .xb  B ) ) )
6155, 57, 58, 60syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. CMod  /\  B  e.  V )  /\  y  e.  NN )  ->  ( -u y  .xb  B )  =  ( ( inv g `  W ) `  (
y  .xb  B )
) )
62 simpll 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. CMod  /\  B  e.  V )  /\  y  e.  NN )  ->  W  e. CMod )
6337ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. CMod  /\  B  e.  V )  /\  y  e.  NN )  ->  ZZ  C_  ( Base `  (Scalar `  W
) ) )
6463, 57sseldd 3338 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. CMod  /\  B  e.  V )  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
6516, 21, 22, 59, 36, 62, 58, 64clmvsneg 19155 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. CMod  /\  B  e.  V )  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( inv g `  W ) `
 ( y  .x.  B ) )  =  ( -u y  .x.  B ) )
6665eqcomd 2448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. CMod  /\  B  e.  V )  /\  y  e.  NN )  ->  ( -u y  .x.  B )  =  ( ( inv g `  W ) `  (
y  .x.  B )
) )
6761, 66eqeq12d 2457 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. CMod  /\  B  e.  V )  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( -u y  .xb  B )  =  ( -u y  .x.  B )  <->  ( ( inv g `  W ) `
 ( y  .xb  B ) )  =  ( ( inv g `  W ) `  (
y  .x.  B )
) ) )
6854, 67syl5ibr 214 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. CMod  /\  B  e.  V )  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( y 
.xb  B )  =  ( y  .x.  B
)  ->  ( -u y  .xb  B )  =  (
-u y  .x.  B
) ) )
6968ex 425 . . . 4  |-  ( ( W  e. CMod  /\  B  e.  V )  ->  (
y  e.  NN  ->  ( ( y  .xb  B
)  =  ( y 
.x.  B )  -> 
( -u y  .xb  B
)  =  ( -u y  .x.  B ) ) ) )
703, 6, 9, 12, 15, 24, 53, 69zindd 10409 . . 3  |-  ( ( W  e. CMod  /\  B  e.  V )  ->  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  .xb  B )  =  ( A  .x.  B ) ) )
71703impia 1151 . 2  |-  ( ( W  e. CMod  /\  B  e.  V  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( A  .xb  B )  =  ( A  .x.  B
) )
72713com23 1160 1  |-  ( ( W  e. CMod  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  V )  ->  ( A  .xb  B )  =  ( A  .x.  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1654    e. wcel 1728    C_ wss 3309   ` cfv 5489  (class class class)co 6117   0cc0 9028   1c1 9029    + caddc 9031   -ucneg 9330   NNcn 10038   NN0cn0 10259   ZZcz 10320   Basecbs 13507   +g cplusg 13567  Scalarcsca 13570   .scvsca 13571   0gc0g 13761   Mndcmnd 14722   Grpcgrp 14723   inv gcminusg 14724  .gcmg 14727  CModcclm 19125
This theorem is referenced by:  clmzlmvsca  19159  minveclem2  19365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-inf2 7632  ax-cnex 9084  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104  ax-pre-mulgt0 9105  ax-addf 9107  ax-mulf 9108
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-int 4080  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-riota 6585  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-1o 6760  df-oadd 6764  df-er 6941  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-fin 7149  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-xr 9162  df-ltxr 9163  df-le 9164  df-sub 9331  df-neg 9332  df-nn 10039  df-2 10096  df-3 10097  df-4 10098  df-5 10099  df-6 10100  df-7 10101  df-8 10102  df-9 10103  df-10 10104  df-n0 10260  df-z 10321  df-dec 10421  df-uz 10527  df-fz 11082  df-seq 11362  df-struct 13509  df-ndx 13510  df-slot 13511  df-base 13512  df-sets 13513  df-ress 13514  df-plusg 13580  df-mulr 13581  df-starv 13582  df-tset 13586  df-ple 13587  df-ds 13589  df-unif 13590  df-0g 13765  df-mnd 14728  df-grp 14850  df-minusg 14851  df-mulg 14853  df-subg 14979  df-cmn 15452  df-mgp 15687  df-rng 15701  df-cring 15702  df-ur 15703  df-subrg 15904  df-lmod 15990  df-cnfld 16742  df-clm 19126
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