MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmsubdir Unicode version

Theorem clmsubdir 18807
Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (lmodsubdir 15893 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
clmsubdir.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
clmsubdir.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
clmsubdir.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
clmsubdir.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
clmsubdir.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
clmsubdir.w  |-  ( ph  ->  W  e. CMod )
clmsubdir.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
clmsubdir.b  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
clmsubdir.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
Assertion
Ref Expression
clmsubdir  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  .x.  X
)  =  ( ( A  .x.  X ) 
.-  ( B  .x.  X ) ) )

Proof of Theorem clmsubdir
StepHypRef Expression
1 clmsubdir.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e. CMod )
2 clmsubdir.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
3 clmsubdir.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
4 clmsubdir.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
5 clmsubdir.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
64, 5clmsub 18793 . . . 4  |-  ( ( W  e. CMod  /\  A  e.  K  /\  B  e.  K )  ->  ( A  -  B )  =  ( A (
-g `  F ) B ) )
71, 2, 3, 6syl3anc 1183 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  =  ( A ( -g `  F
) B ) )
87oveq1d 5996 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  .x.  X
)  =  ( ( A ( -g `  F
) B )  .x.  X ) )
9 clmsubdir.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
10 clmsubdir.t . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  W )
11 clmsubdir.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  W )
12 eqid 2366 . . 3  |-  ( -g `  F )  =  (
-g `  F )
13 clmlmod 18780 . . . 4  |-  ( W  e. CMod  ->  W  e.  LMod )
141, 13syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
15 clmsubdir.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
169, 10, 4, 5, 11, 12, 14, 2, 3, 15lmodsubdir 15893 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A (
-g `  F ) B )  .x.  X
)  =  ( ( A  .x.  X ) 
.-  ( B  .x.  X ) ) )
178, 16eqtrd 2398 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  .x.  X
)  =  ( ( A  .x.  X ) 
.-  ( B  .x.  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1647    e. wcel 1715   ` cfv 5358  (class class class)co 5981    - cmin 9184   Basecbs 13356  Scalarcsca 13419   .scvsca 13420   -gcsg 14575   LModclmod 15837  CModcclm 18775
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-addf 8963  ax-mulf 8964
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-dec 10276  df-uz 10382  df-fz 10936  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-starv 13431  df-tset 13435  df-ple 13436  df-ds 13438  df-unif 13439  df-0g 13614  df-mnd 14577  df-grp 14699  df-minusg 14700  df-sbg 14701  df-subg 14828  df-cmn 15301  df-mgp 15536  df-rng 15550  df-cring 15551  df-ur 15552  df-subrg 15753  df-lmod 15839  df-cnfld 16594  df-clm 18776
  Copyright terms: Public domain W3C validator