MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmsubdir Structured version   Unicode version

Theorem clmsubdir 19150
Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (lmodsubdir 16033 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
clmsubdir.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
clmsubdir.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
clmsubdir.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
clmsubdir.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
clmsubdir.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
clmsubdir.w  |-  ( ph  ->  W  e. CMod )
clmsubdir.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
clmsubdir.b  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
clmsubdir.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
Assertion
Ref Expression
clmsubdir  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  .x.  X
)  =  ( ( A  .x.  X ) 
.-  ( B  .x.  X ) ) )

Proof of Theorem clmsubdir
StepHypRef Expression
1 clmsubdir.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e. CMod )
2 clmsubdir.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
3 clmsubdir.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
4 clmsubdir.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
5 clmsubdir.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
64, 5clmsub 19136 . . . 4  |-  ( ( W  e. CMod  /\  A  e.  K  /\  B  e.  K )  ->  ( A  -  B )  =  ( A (
-g `  F ) B ) )
71, 2, 3, 6syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  =  ( A ( -g `  F
) B ) )
87oveq1d 6125 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  .x.  X
)  =  ( ( A ( -g `  F
) B )  .x.  X ) )
9 clmsubdir.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
10 clmsubdir.t . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  W )
11 clmsubdir.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  W )
12 eqid 2442 . . 3  |-  ( -g `  F )  =  (
-g `  F )
13 clmlmod 19123 . . . 4  |-  ( W  e. CMod  ->  W  e.  LMod )
141, 13syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
15 clmsubdir.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
169, 10, 4, 5, 11, 12, 14, 2, 3, 15lmodsubdir 16033 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A (
-g `  F ) B )  .x.  X
)  =  ( ( A  .x.  X ) 
.-  ( B  .x.  X ) ) )
178, 16eqtrd 2474 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  .x.  X
)  =  ( ( A  .x.  X ) 
.-  ( B  .x.  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1727   ` cfv 5483  (class class class)co 6110    - cmin 9322   Basecbs 13500  Scalarcsca 13563   .scvsca 13564   -gcsg 14719   LModclmod 15981  CModcclm 19118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-addf 9100  ax-mulf 9101
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-fz 11075  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-starv 13575  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-unif 13583  df-0g 13758  df-mnd 14721  df-grp 14843  df-minusg 14844  df-sbg 14845  df-subg 14972  df-cmn 15445  df-mgp 15680  df-rng 15694  df-cring 15695  df-ur 15696  df-subrg 15897  df-lmod 15983  df-cnfld 16735  df-clm 19119
  Copyright terms: Public domain W3C validator