MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmvs1 Unicode version

Theorem clmvs1 19102
Description: Scalar product with ring unit. (lmodvs1 15966 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
clmvs1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
clmvs1.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
Assertion
Ref Expression
clmvs1  |-  ( ( W  e. CMod  /\  X  e.  V )  ->  (
1  .x.  X )  =  X )

Proof of Theorem clmvs1
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . . 5  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
21clm1 19086 . . . 4  |-  ( W  e. CMod  ->  1  =  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )
32adantr 452 . . 3  |-  ( ( W  e. CMod  /\  X  e.  V )  ->  1  =  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )
43oveq1d 6087 . 2  |-  ( ( W  e. CMod  /\  X  e.  V )  ->  (
1  .x.  X )  =  ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  .x.  X )
)
5 clmlmod 19080 . . 3  |-  ( W  e. CMod  ->  W  e.  LMod )
6 clmvs1.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
7 clmvs1.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
8 eqid 2435 . . . 4  |-  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)
96, 1, 7, 8lmodvs1 15966 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  W ) )  .x.  X )  =  X )
105, 9sylan 458 . 2  |-  ( ( W  e. CMod  /\  X  e.  V )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  W ) )  .x.  X )  =  X )
114, 10eqtrd 2467 1  |-  ( ( W  e. CMod  /\  X  e.  V )  ->  (
1  .x.  X )  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   1c1 8980   Basecbs 13457  Scalarcsca 13520   .scvsca 13521   1rcur 15650   LModclmod 15938  CModcclm 19075
This theorem is referenced by:  clmmulg  19106  minveclem2  19315
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-addf 9058  ax-mulf 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-oadd 6719  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-7 10052  df-8 10053  df-9 10054  df-10 10055  df-n0 10211  df-z 10272  df-dec 10372  df-uz 10478  df-fz 11033  df-struct 13459  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-sets 13463  df-ress 13464  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-starv 13532  df-tset 13536  df-ple 13537  df-ds 13539  df-unif 13540  df-0g 13715  df-mnd 14678  df-grp 14800  df-subg 14929  df-cmn 15402  df-mgp 15637  df-rng 15651  df-cring 15652  df-ur 15653  df-subrg 15854  df-lmod 15940  df-cnfld 16692  df-clm 19076
  Copyright terms: Public domain W3C validator