MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cls0 Unicode version

Theorem cls0 17069
Description: The closure of the empty set. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
cls0  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( cls `  J
) `  (/) )  =  (/) )

Proof of Theorem cls0
StepHypRef Expression
1 0cld 17027 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  (
Clsd `  J )
)
2 0ss 3601 . . 3  |-  (/)  C_  U. J
3 eqid 2389 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
43iscld3 17053 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  (/)  C_  U. J )  -> 
( (/)  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( ( cls `  J ) `  (/) )  =  (/) ) )
52, 4mpan2 653 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( (/) 
e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( ( cls `  J ) `  (/) )  =  (/) ) )
61, 5mpbid 202 1  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( cls `  J
) `  (/) )  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3265   (/)c0 3573   U.cuni 3959   ` cfv 5396   Topctop 16883   Clsdccld 17005   clsccl 17007
This theorem is referenced by:  dfac14lem  17572  flimclslem  17939
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-top 16888  df-cld 17008  df-cls 17010
  Copyright terms: Public domain W3C validator