Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clscon Structured version   Unicode version

Theorem clscon 17495
 Description: The closure of a connected set is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
clscon TopOn t t

Proof of Theorem clscon
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll3 999 . . . . 5 TopOn t t
2 simpll1 997 . . . . . . 7 TopOn t TopOn
3 simpll2 998 . . . . . . 7 TopOn t
4 simplrl 738 . . . . . . 7 TopOn t
5 simplrr 739 . . . . . . 7 TopOn t
6 simprl1 1003 . . . . . . . . 9 TopOn t
7 n0 3639 . . . . . . . . 9
86, 7sylib 190 . . . . . . . 8 TopOn t
92adantr 453 . . . . . . . . . 10 TopOn t TopOn
10 topontop 16993 . . . . . . . . . 10 TopOn
119, 10syl 16 . . . . . . . . 9 TopOn t
123adantr 453 . . . . . . . . . 10 TopOn t
13 toponuni 16994 . . . . . . . . . . 11 TopOn
149, 13syl 16 . . . . . . . . . 10 TopOn t
1512, 14sseqtrd 3386 . . . . . . . . 9 TopOn t
16 inss2 3564 . . . . . . . . . 10
17 simpr 449 . . . . . . . . . 10 TopOn t
1816, 17sseldi 3348 . . . . . . . . 9 TopOn t
194adantr 453 . . . . . . . . 9 TopOn t
20 inss1 3563 . . . . . . . . . 10
2120, 17sseldi 3348 . . . . . . . . 9 TopOn t
22 eqid 2438 . . . . . . . . . 10
2322clsndisj 17141 . . . . . . . . 9
2411, 15, 18, 19, 21, 23syl32anc 1193 . . . . . . . 8 TopOn t
258, 24exlimddv 1649 . . . . . . 7 TopOn t
26 simprl2 1004 . . . . . . . . 9 TopOn t
27 n0 3639 . . . . . . . . 9
2826, 27sylib 190 . . . . . . . 8 TopOn t
292adantr 453 . . . . . . . . . 10 TopOn t TopOn
3029, 10syl 16 . . . . . . . . 9 TopOn t
313adantr 453 . . . . . . . . . 10 TopOn t
3229, 13syl 16 . . . . . . . . . 10 TopOn t
3331, 32sseqtrd 3386 . . . . . . . . 9 TopOn t
34 inss2 3564 . . . . . . . . . 10
35 simpr 449 . . . . . . . . . 10 TopOn t
3634, 35sseldi 3348 . . . . . . . . 9 TopOn t
375adantr 453 . . . . . . . . 9 TopOn t
38 inss1 3563 . . . . . . . . . 10
3938, 35sseldi 3348 . . . . . . . . 9 TopOn t
4022clsndisj 17141 . . . . . . . . 9
4130, 33, 36, 37, 39, 40syl32anc 1193 . . . . . . . 8 TopOn t
4228, 41exlimddv 1649 . . . . . . 7 TopOn t
43 simprl3 1005 . . . . . . . . . 10 TopOn t
442, 10syl 16 . . . . . . . . . . . 12 TopOn t
452, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn t
463, 45sseqtrd 3386 . . . . . . . . . . . 12 TopOn t
4722sscls 17122 . . . . . . . . . . . 12
4844, 46, 47syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11 TopOn t
4948sscond 3486 . . . . . . . . . 10 TopOn t
5043, 49sstrd 3360 . . . . . . . . 9 TopOn t
51 ssv 3370 . . . . . . . . . 10
52 ssdif 3484 . . . . . . . . . 10
5351, 52ax-mp 8 . . . . . . . . 9
5450, 53syl6ss 3362 . . . . . . . 8 TopOn t
55 disj2 3677 . . . . . . . 8
5654, 55sylibr 205 . . . . . . 7 TopOn t
57 simprr 735 . . . . . . . 8 TopOn t
5848, 57sstrd 3360 . . . . . . 7 TopOn t
592, 3, 4, 5, 25, 42, 56, 58nconsubb 17488 . . . . . 6 TopOn t t
6059expr 600 . . . . 5 TopOn t t
611, 60mt2d 112 . . . 4 TopOn t
6261ex 425 . . 3 TopOn t
6362ralrimivva 2800 . 2 TopOn t
64 simp1 958 . . 3 TopOn t TopOn
6513sseq2d 3378 . . . . . . 7 TopOn
6665biimpa 472 . . . . . 6 TopOn
6722clsss3 17125 . . . . . . 7
6810, 67sylan 459 . . . . . 6 TopOn
6966, 68syldan 458 . . . . 5 TopOn
7013adantr 453 . . . . 5 TopOn
7169, 70sseqtr4d 3387 . . . 4 TopOn
72713adant3 978 . . 3 TopOn t
73 connsub 17486 . . 3 TopOn t
7464, 72, 73syl2anc 644 . 2 TopOn t t
7563, 74mpbird 225 1 TopOn t t
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937  wex 1551   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  cvv 2958   cdif 3319   cun 3320   cin 3321   wss 3322  c0 3630  cuni 4017  cfv 5456  (class class class)co 6083   ↾t crest 13650  ctop 16960  TopOnctopon 16961  ccl 17084  ccon 17476 This theorem is referenced by:  concompcld  17499 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-fin 7115  df-fi 7418  df-rest 13652  df-topgen 13669  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-con 17477
 Copyright terms: Public domain W3C validator