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Theorem clscon 17156
Description: The closure of a connected set is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
clscon  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  ->  ( Jt  ( ( cls `  J ) `  A
) )  e.  Con )

Proof of Theorem clscon
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll3 996 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( x  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
)  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) ) )  ->  ( Jt  A )  e.  Con )
2 simpll1 994 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
3 simpll2 995 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  ->  A  C_  X )
4 simplrl 736 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  ->  x  e.  J )
5 simplrr 737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  -> 
y  e.  J )
6 simprl1 1000 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  -> 
( x  i^i  (
( cls `  J
) `  A )
)  =/=  (/) )
7 n0 3464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `
 A ) )  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  ( x  i^i  (
( cls `  J
) `  A )
) )
86, 7sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  ->  E. z  z  e.  ( x  i^i  (
( cls `  J
) `  A )
) )
92adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  /\  z  e.  ( x  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
10 topontop 16664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
119, 10syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  /\  z  e.  ( x  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
) )  ->  J  e.  Top )
123adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  /\  z  e.  ( x  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
) )  ->  A  C_  X )
13 toponuni 16665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
149, 13syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  /\  z  e.  ( x  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
) )  ->  X  =  U. J )
1512, 14sseqtrd 3214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  /\  z  e.  ( x  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
) )  ->  A  C_ 
U. J )
16 inss2 3390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  C_  (
( cls `  J
) `  A )
17 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  /\  z  e.  ( x  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
) )  ->  z  e.  ( x  i^i  (
( cls `  J
) `  A )
) )
1816, 17sseldi 3178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  /\  z  e.  ( x  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
) )  ->  z  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)
194adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  /\  z  e.  ( x  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
) )  ->  x  e.  J )
20 inss1 3389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  C_  x
2120, 17sseldi 3178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  /\  z  e.  ( x  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
) )  ->  z  e.  x )
22 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. J  =  U. J
2322clsndisj 16812 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  U. J  /\  z  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) )  /\  ( x  e.  J  /\  z  e.  x
) )  ->  (
x  i^i  A )  =/=  (/) )
2411, 15, 18, 19, 21, 23syl32anc 1190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  /\  z  e.  ( x  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
) )  ->  (
x  i^i  A )  =/=  (/) )
2524ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  -> 
( z  e.  ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `
 A ) )  ->  ( x  i^i 
A )  =/=  (/) ) )
2625exlimdv 1664 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  -> 
( E. z  z  e.  ( x  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  ( x  i^i  A )  =/=  (/) ) )
278, 26mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  -> 
( x  i^i  A
)  =/=  (/) )
28 simprl2 1001 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  -> 
( y  i^i  (
( cls `  J
) `  A )
)  =/=  (/) )
29 n0 3464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  i^i  ( ( cls `  J ) `
 A ) )  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  ( y  i^i  (
( cls `  J
) `  A )
) )
3028, 29sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  ->  E. z  z  e.  ( y  i^i  (
( cls `  J
) `  A )
) )
312adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  /\  z  e.  ( y  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
3231, 10syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  /\  z  e.  ( y  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
) )  ->  J  e.  Top )
333adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  /\  z  e.  ( y  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
) )  ->  A  C_  X )
3431, 13syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  /\  z  e.  ( y  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
) )  ->  X  =  U. J )
3533, 34sseqtrd 3214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  /\  z  e.  ( y  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
) )  ->  A  C_ 
U. J )
36 inss2 3390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  C_  (
( cls `  J
) `  A )
37 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  /\  z  e.  ( y  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
) )  ->  z  e.  ( y  i^i  (
( cls `  J
) `  A )
) )
3836, 37sseldi 3178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  /\  z  e.  ( y  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
) )  ->  z  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)
395adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  /\  z  e.  ( y  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
) )  ->  y  e.  J )
40 inss1 3389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  C_  y
4140, 37sseldi 3178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  /\  z  e.  ( y  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
) )  ->  z  e.  y )
4222clsndisj 16812 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  U. J  /\  z  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) )  /\  ( y  e.  J  /\  z  e.  y
) )  ->  (
y  i^i  A )  =/=  (/) )
4332, 35, 38, 39, 41, 42syl32anc 1190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  /\  z  e.  ( y  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
) )  ->  (
y  i^i  A )  =/=  (/) )
4443ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  -> 
( z  e.  ( y  i^i  ( ( cls `  J ) `
 A ) )  ->  ( y  i^i 
A )  =/=  (/) ) )
4544exlimdv 1664 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  -> 
( E. z  z  e.  ( y  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  ( y  i^i  A )  =/=  (/) ) )
4630, 45mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  -> 
( y  i^i  A
)  =/=  (/) )
47 simprl3 1002 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  -> 
( x  i^i  y
)  C_  ( X  \  ( ( cls `  J
) `  A )
) )
482, 10syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  ->  J  e.  Top )
492, 13syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  ->  X  =  U. J )
503, 49sseqtrd 3214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  ->  A  C_  U. J )
5122sscls 16793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  U. J )  ->  A  C_  (
( cls `  J
) `  A )
)
5248, 50, 51syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  ->  A  C_  ( ( cls `  J ) `  A
) )
53 sscon 3310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  ( ( cls `  J ) `  A
)  ->  ( X  \  ( ( cls `  J
) `  A )
)  C_  ( X  \  A ) )
5452, 53syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  -> 
( X  \  (
( cls `  J
) `  A )
)  C_  ( X  \  A ) )
5547, 54sstrd 3189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  -> 
( x  i^i  y
)  C_  ( X  \  A ) )
56 ssv 3198 . . . . . . . . . 10  |-  X  C_  _V
57 ssdif 3311 . . . . . . . . . 10  |-  ( X 
C_  _V  ->  ( X 
\  A )  C_  ( _V  \  A ) )
5856, 57ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( X 
\  A )  C_  ( _V  \  A )
5955, 58syl6ss 3191 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  -> 
( x  i^i  y
)  C_  ( _V  \  A ) )
60 disj2 3502 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  i^i  y
)  i^i  A )  =  (/)  <->  ( x  i^i  y )  C_  ( _V  \  A ) )
6159, 60sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  -> 
( ( x  i^i  y )  i^i  A
)  =  (/) )
62 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) )
6352, 62sstrd 3189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  ->  A  C_  ( x  u.  y ) )
642, 3, 4, 5, 27, 46, 61, 63nconsubb 17149 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  ->  -.  ( Jt  A )  e.  Con )
6564expr 598 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( x  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
)  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) ) )  ->  ( ( ( cls `  J ) `
 A )  C_  ( x  u.  y
)  ->  -.  ( Jt  A )  e.  Con ) )
661, 65mt2d 109 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( x  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
)  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) ) )  ->  -.  ( ( cls `  J ) `  A )  C_  (
x  u.  y ) )
6766ex 423 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  ->  (
( ( x  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
)  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  ->  -.  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )
6867ralrimivva 2635 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  ->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  ->  -.  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )
69 simp1 955 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
7013sseq2d 3206 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A  C_  X  <->  A  C_  U. J
) )
7170biimpa 470 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  A  C_ 
U. J )
7222clsss3 16796 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  A
)  C_  U. J )
7310, 72sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_ 
U. J )  -> 
( ( cls `  J
) `  A )  C_ 
U. J )
7471, 73syldan 456 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  (
( cls `  J
) `  A )  C_ 
U. J )
7513adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  X  =  U. J )
7674, 75sseqtr4d 3215 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  (
( cls `  J
) `  A )  C_  X )
77763adant3 975 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  ->  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  X )
78 connsub 17147 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
( cls `  J
) `  A )  C_  X )  ->  (
( Jt  ( ( cls `  J ) `  A
) )  e.  Con  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  (
( ( x  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
)  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  ->  -.  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) ) )
7969, 77, 78syl2anc 642 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  ->  ( ( Jt  ( ( cls `  J ) `
 A ) )  e.  Con  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( (
( x  i^i  (
( cls `  J
) `  A )
)  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  ->  -.  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) ) )
8068, 79mpbird 223 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  ->  ( Jt  ( ( cls `  J ) `  A
) )  e.  Con )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U.cuni 3827   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ↾t crest 13325   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   clsccl 16755   Conccon 17137
This theorem is referenced by:  concompcld  17160
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-con 17138
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