MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clsf Unicode version

Theorem clsf 16801
Description: The closure function is a function from subsets of the base to closed sets. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
clsf  |-  ( J  e.  Top  ->  ( cls `  J ) : ~P X --> ( Clsd `  J ) )

Proof of Theorem clsf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 3646 . . 3  |-  ( x  e.  ~P X  ->  x  C_  X )
2 clscld.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. J
32clsval 16790 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  x )  =  |^| { y  e.  ( Clsd `  J
)  |  x  C_  y } )
4 fvex 5555 . . . 4  |-  ( ( cls `  J ) `
 x )  e. 
_V
53, 4syl6eqelr 2385 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  C_  X )  ->  |^| { y  e.  (
Clsd `  J )  |  x  C_  y }  e.  _V )
61, 5sylan2 460 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ~P X
)  ->  |^| { y  e.  ( Clsd `  J
)  |  x  C_  y }  e.  _V )
72clsfval 16778 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( cls `  J )  =  ( x  e.  ~P X  |->  |^| { y  e.  ( Clsd `  J
)  |  x  C_  y } ) )
8 elpwi 3646 . . 3  |-  ( y  e.  ~P X  -> 
y  C_  X )
92clscld 16800 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  y )  e.  ( Clsd `  J
) )
108, 9sylan2 460 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  e.  ~P X
)  ->  ( ( cls `  J ) `  y )  e.  (
Clsd `  J )
)
116, 7, 10fmpt2d 5704 1  |-  ( J  e.  Top  ->  ( cls `  J ) : ~P X --> ( Clsd `  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   |^|cint 3878   -->wf 5267   ` cfv 5271   Topctop 16647   Clsdccld 16769   clsccl 16771
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-top 16652  df-cld 16772  df-cls 16774
  Copyright terms: Public domain W3C validator