MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clsf Unicode version

Theorem clsf 16785
Description: The closure function is a function from subsets of the base to closed sets. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
clsf  |-  ( J  e.  Top  ->  ( cls `  J ) : ~P X --> ( Clsd `  J ) )

Proof of Theorem clsf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 3633 . . 3  |-  ( x  e.  ~P X  ->  x  C_  X )
2 clscld.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. J
32clsval 16774 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  x )  =  |^| { y  e.  ( Clsd `  J
)  |  x  C_  y } )
4 fvex 5539 . . . 4  |-  ( ( cls `  J ) `
 x )  e. 
_V
53, 4syl6eqelr 2372 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  C_  X )  ->  |^| { y  e.  (
Clsd `  J )  |  x  C_  y }  e.  _V )
61, 5sylan2 460 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ~P X
)  ->  |^| { y  e.  ( Clsd `  J
)  |  x  C_  y }  e.  _V )
72clsfval 16762 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( cls `  J )  =  ( x  e.  ~P X  |->  |^| { y  e.  ( Clsd `  J
)  |  x  C_  y } ) )
8 elpwi 3633 . . 3  |-  ( y  e.  ~P X  -> 
y  C_  X )
92clscld 16784 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  y )  e.  ( Clsd `  J
) )
108, 9sylan2 460 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  e.  ~P X
)  ->  ( ( cls `  J ) `  y )  e.  (
Clsd `  J )
)
116, 7, 10fmpt2d 5688 1  |-  ( J  e.  Top  ->  ( cls `  J ) : ~P X --> ( Clsd `  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   |^|cint 3862   -->wf 5251   ` cfv 5255   Topctop 16631   Clsdccld 16753   clsccl 16755
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-top 16636  df-cld 16756  df-cls 16758
  Copyright terms: Public domain W3C validator