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Theorem clsnsg 18005
Description: The closure of a normal subgroup is a normal subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgntr.h  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
Assertion
Ref Expression
clsnsg  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  e.  (NrmSGrp `  G ) )

Proof of Theorem clsnsg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nsgsubg 14859 . . 3  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
2 subgntr.h . . . 4  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
32clssubg 18004 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  e.  (SubGrp `  G ) )
41, 3sylan2 460 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  e.  (SubGrp `  G ) )
5 df-ima 4805 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) "
( ( cls `  J
) `  S )
)  =  ran  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  |`  ( ( cls `  J ) `  S ) )
6 eqid 2366 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
72, 6tgptopon 17978 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
87ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) ) )
9 topontop 16881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  J  e.  Top )
108, 9syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  J  e.  Top )
111ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  S  e.  (SubGrp `  G )
)
126subgss 14832 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
1311, 12syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  S  C_  ( Base `  G
) )
14 toponuni 16882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  ( Base `  G
)  =  U. J
)
158, 14syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ( Base `  G )  = 
U. J )
1613, 15sseqtrd 3300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  S  C_ 
U. J )
17 eqid 2366 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. J  =  U. J
1817clsss3 17013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  S
)  C_  U. J )
1910, 16, 18syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_ 
U. J )
2019, 15sseqtr4d 3301 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_  ( Base `  G
) )
21 resmpt 5103 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  C_  ( Base `  G
)  ->  ( (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  |`  ( ( cls `  J
) `  S )
)  =  ( y  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) )
2220, 21syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  |`  ( ( cls `  J ) `  S ) )  =  ( y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) ) )
2322rneqd 5009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ran  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  |`  ( ( cls `  J
) `  S )
)  =  ran  (
y  e.  ( ( cls `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x ) ) )
245, 23syl5eq 2410 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) ) " ( ( cls `  J ) `
 S ) )  =  ran  ( y  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) )
25 eqid 2366 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
26 tgptmd 17975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e. TopMnd )
2726ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  G  e. TopMnd )
28 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  x  e.  ( Base `  G
) )
298, 8, 28cnmptc 17573 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  ( Base `  G )  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
308cnmptid 17572 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  ( Base `  G )  |->  y )  e.  ( J  Cn  J ) )
312, 25, 27, 8, 29, 30cnmpt1plusg 17983 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
32 eqid 2366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
332, 32tgpsubcn 17986 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( -g `  G
)  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) )
3433ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ( -g `  G )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )
358, 31, 29, 34cnmpt12f 17577 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
3617cnclsi 17218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  e.  ( J  Cn  J )  /\  S  C_  U. J )  ->  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) "
( ( cls `  J
) `  S )
)  C_  ( ( cls `  J ) `  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) " S ) ) )
3735, 16, 36syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) ) " ( ( cls `  J ) `
 S ) ) 
C_  ( ( cls `  J ) `  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) ) " S ) ) )
38 df-ima 4805 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) " S )  =  ran  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  |`  S )
39 resmpt 5103 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  ( Base `  G
)  ->  ( (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  |`  S )  =  ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x ) ) )
4013, 39syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  |`  S )  =  ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) )
4140rneqd 5009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ran  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  |`  S )  =  ran  ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) ) )
4238, 41syl5eq 2410 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) ) " S )  =  ran  ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) )
436, 25, 32nsgconj 14860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  S
)  ->  ( (
x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x )  e.  S
)
44433expa 1152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  /\  y  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x )  e.  S )
4544adantlll 698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  y  e.  S )  ->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  S )
46 eqid 2366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  =  ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )
4745, 46fmptd 5795 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x ) ) : S --> S )
48 frn 5501 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x ) ) : S --> S  ->  ran  ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  C_  S )
4947, 48syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ran  ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  C_  S )
5042, 49eqsstrd 3298 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) ) " S ) 
C_  S )
5117clsss 17008 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J  /\  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) " S )  C_  S
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) " S ) )  C_  ( ( cls `  J
) `  S )
)
5210, 16, 50, 51syl3anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) " S ) )  C_  ( ( cls `  J
) `  S )
)
5337, 52sstrd 3275 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) ) " ( ( cls `  J ) `
 S ) ) 
C_  ( ( cls `  J ) `  S
) )
5424, 53eqsstr3d 3299 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ran  ( y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  C_  ( ( cls `  J ) `  S ) )
55 ovex 6006 . . . . . . 7  |-  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x )  e.  _V
56 eqid 2366 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  =  ( y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )
5755, 56fnmpti 5477 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  Fn  ( ( cls `  J
) `  S )
58 df-f 5362 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( ( cls `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x ) ) : ( ( cls `  J ) `  S
) --> ( ( cls `  J ) `  S
)  <->  ( ( y  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  Fn  ( ( cls `  J
) `  S )  /\  ran  ( y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  C_  ( ( cls `  J ) `  S ) ) )
5957, 58mpbiran 884 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( ( cls `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x ) ) : ( ( cls `  J ) `  S
) --> ( ( cls `  J ) `  S
)  <->  ran  ( y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  C_  ( ( cls `  J ) `  S ) )
6054, 59sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  ( ( cls `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x ) ) : ( ( cls `  J ) `  S
) --> ( ( cls `  J ) `  S
) )
6156fmpt 5792 . . . 4  |-  ( A. y  e.  ( ( cls `  J ) `  S ) ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x )  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  ( y  e.  ( ( cls `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x ) ) : ( ( cls `  J ) `  S
) --> ( ( cls `  J ) `  S
) )
6260, 61sylibr 203 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  A. y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  ( ( cls `  J ) `  S
) )
6362ralrimiva 2711 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  A. x  e.  ( Base `  G
) A. y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  ( ( cls `  J ) `  S
) )
646, 25, 32isnsg3 14861 . 2  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  e.  (NrmSGrp `  G )  <->  ( ( ( cls `  J
) `  S )  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  (
( cls `  J
) `  S )
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  ( ( cls `  J ) `  S
) ) )
654, 63, 64sylanbrc 645 1  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  e.  (NrmSGrp `  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628    C_ wss 3238   U.cuni 3929    e. cmpt 4179   ran crn 4793    |` cres 4794   "cima 4795    Fn wfn 5353   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   Basecbs 13356   +g cplusg 13416   TopOpenctopn 13536   -gcsg 14575  SubGrpcsubg 14825  NrmSGrpcnsg 14826   Topctop 16848  TopOnctopon 16849   clsccl 16972    Cn ccn 17171    tX ctx 17472  TopMndctmd 17966   TopGrpctgp 17967
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-er 6802  df-map 6917  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-topgen 13554  df-0g 13614  df-mnd 14577  df-plusf 14578  df-grp 14699  df-minusg 14700  df-sbg 14701  df-subg 14828  df-nsg 14829  df-top 16853  df-bases 16855  df-topon 16856  df-topsp 16857  df-cld 16973  df-ntr 16974  df-cls 16975  df-cn 17174  df-cnp 17175  df-tx 17474  df-tmd 17968  df-tgp 17969
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