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Theorem clsnsg 17792
Description: The closure of a normal subgroup is a normal subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgntr.h  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
Assertion
Ref Expression
clsnsg  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  e.  (NrmSGrp `  G ) )

Proof of Theorem clsnsg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nsgsubg 14649 . . 3  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
2 subgntr.h . . . 4  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
32clssubg 17791 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  e.  (SubGrp `  G ) )
41, 3sylan2 460 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  e.  (SubGrp `  G ) )
5 df-ima 4702 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) "
( ( cls `  J
) `  S )
)  =  ran  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  |`  ( ( cls `  J ) `  S ) )
6 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
72, 6tgptopon 17765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
87ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) ) )
9 topontop 16664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  J  e.  Top )
108, 9syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  J  e.  Top )
111ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  S  e.  (SubGrp `  G )
)
126subgss 14622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
1311, 12syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  S  C_  ( Base `  G
) )
14 toponuni 16665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  ( Base `  G
)  =  U. J
)
158, 14syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ( Base `  G )  = 
U. J )
1613, 15sseqtrd 3214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  S  C_ 
U. J )
17 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. J  =  U. J
1817clsss3 16796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  S
)  C_  U. J )
1910, 16, 18syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_ 
U. J )
2019, 15sseqtr4d 3215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_  ( Base `  G
) )
21 resmpt 5000 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  C_  ( Base `  G
)  ->  ( (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  |`  ( ( cls `  J
) `  S )
)  =  ( y  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) )
2220, 21syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  |`  ( ( cls `  J ) `  S ) )  =  ( y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) ) )
2322rneqd 4906 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ran  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  |`  ( ( cls `  J
) `  S )
)  =  ran  (
y  e.  ( ( cls `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x ) ) )
245, 23syl5eq 2327 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) ) " ( ( cls `  J ) `
 S ) )  =  ran  ( y  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) )
25 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
26 tgptmd 17762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e. TopMnd )
2726ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  G  e. TopMnd )
28 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  x  e.  ( Base `  G
) )
298, 8, 28cnmptc 17356 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  ( Base `  G )  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
308cnmptid 17355 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  ( Base `  G )  |->  y )  e.  ( J  Cn  J ) )
312, 25, 27, 8, 29, 30cnmpt1plusg 17770 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
32 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
332, 32tgpsubcn 17773 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( -g `  G
)  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) )
3433ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ( -g `  G )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )
358, 31, 29, 34cnmpt12f 17360 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
3617cnclsi 17001 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  e.  ( J  Cn  J )  /\  S  C_  U. J )  ->  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) "
( ( cls `  J
) `  S )
)  C_  ( ( cls `  J ) `  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) " S ) ) )
3735, 16, 36syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) ) " ( ( cls `  J ) `
 S ) ) 
C_  ( ( cls `  J ) `  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) ) " S ) ) )
38 df-ima 4702 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) " S )  =  ran  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  |`  S )
39 resmpt 5000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  ( Base `  G
)  ->  ( (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  |`  S )  =  ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x ) ) )
4013, 39syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  |`  S )  =  ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) )
4140rneqd 4906 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ran  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  |`  S )  =  ran  ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) ) )
4238, 41syl5eq 2327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) ) " S )  =  ran  ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) )
436, 25, 32nsgconj 14650 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  S
)  ->  ( (
x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x )  e.  S
)
44433expa 1151 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  /\  y  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x )  e.  S )
4544adantlll 698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  y  e.  S )  ->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  S )
46 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  =  ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )
4745, 46fmptd 5684 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x ) ) : S --> S )
48 frn 5395 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x ) ) : S --> S  ->  ran  ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  C_  S )
4947, 48syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ran  ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  C_  S )
5042, 49eqsstrd 3212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) ) " S ) 
C_  S )
5117clsss 16791 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J  /\  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) " S )  C_  S
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) " S ) )  C_  ( ( cls `  J
) `  S )
)
5210, 16, 50, 51syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) " S ) )  C_  ( ( cls `  J
) `  S )
)
5337, 52sstrd 3189 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) ) " ( ( cls `  J ) `
 S ) ) 
C_  ( ( cls `  J ) `  S
) )
5424, 53eqsstr3d 3213 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ran  ( y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  C_  ( ( cls `  J ) `  S ) )
55 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x )  e.  _V
56 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  =  ( y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )
5755, 56fnmpti 5372 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  Fn  ( ( cls `  J
) `  S )
58 df-f 5259 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( ( cls `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x ) ) : ( ( cls `  J ) `  S
) --> ( ( cls `  J ) `  S
)  <->  ( ( y  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  Fn  ( ( cls `  J
) `  S )  /\  ran  ( y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  C_  ( ( cls `  J ) `  S ) ) )
5957, 58mpbiran 884 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( ( cls `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x ) ) : ( ( cls `  J ) `  S
) --> ( ( cls `  J ) `  S
)  <->  ran  ( y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  C_  ( ( cls `  J ) `  S ) )
6054, 59sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  ( ( cls `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x ) ) : ( ( cls `  J ) `  S
) --> ( ( cls `  J ) `  S
) )
6156fmpt 5681 . . . 4  |-  ( A. y  e.  ( ( cls `  J ) `  S ) ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x )  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  ( y  e.  ( ( cls `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x ) ) : ( ( cls `  J ) `  S
) --> ( ( cls `  J ) `  S
) )
6260, 61sylibr 203 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  A. y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  ( ( cls `  J ) `  S
) )
6362ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  A. x  e.  ( Base `  G
) A. y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  ( ( cls `  J ) `  S
) )
646, 25, 32isnsg3 14651 . 2  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  e.  (NrmSGrp `  G )  <->  ( ( ( cls `  J
) `  S )  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  (
( cls `  J
) `  S )
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  ( ( cls `  J ) `  S
) ) )
654, 63, 64sylanbrc 645 1  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  e.  (NrmSGrp `  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   U.cuni 3827    e. cmpt 4077   ran crn 4690    |` cres 4691   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   TopOpenctopn 13326   -gcsg 14365  SubGrpcsubg 14615  NrmSGrpcnsg 14616   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   clsccl 16755    Cn ccn 16954    tX ctx 17255  TopMndctmd 17753   TopGrpctgp 17754
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-topgen 13344  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-plusf 14368  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-nsg 14619  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-tx 17257  df-tmd 17755  df-tgp 17756
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