Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clsnsg Structured version   Unicode version

Theorem clsnsg 18144
 Description: The closure of a normal subgroup is a normal subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgntr.h
Assertion
Ref Expression
clsnsg NrmSGrp NrmSGrp

Proof of Theorem clsnsg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nsgsubg 14977 . . 3 NrmSGrp SubGrp
2 subgntr.h . . . 4
32clssubg 18143 . . 3 SubGrp SubGrp
41, 3sylan2 462 . 2 NrmSGrp SubGrp
5 df-ima 4894 . . . . . . 7
6 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14
72, 6tgptopon 18117 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
87ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12 NrmSGrp TopOn
9 topontop 16996 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
108, 9syl 16 . . . . . . . . . . 11 NrmSGrp
111ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . 13 NrmSGrp SubGrp
126subgss 14950 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . . 12 NrmSGrp
14 toponuni 16997 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
158, 14syl 16 . . . . . . . . . . . 12 NrmSGrp
1613, 15sseqtrd 3386 . . . . . . . . . . 11 NrmSGrp
17 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12
1817clsss3 17128 . . . . . . . . . . 11
1910, 16, 18syl2anc 644 . . . . . . . . . 10 NrmSGrp
2019, 15sseqtr4d 3387 . . . . . . . . 9 NrmSGrp
21 resmpt 5194 . . . . . . . . 9
2220, 21syl 16 . . . . . . . 8 NrmSGrp
2322rneqd 5100 . . . . . . 7 NrmSGrp
245, 23syl5eq 2482 . . . . . 6 NrmSGrp
25 eqid 2438 . . . . . . . . . 10
26 tgptmd 18114 . . . . . . . . . . 11 TopMnd
2726ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10 NrmSGrp TopMnd
28 simpr 449 . . . . . . . . . . 11 NrmSGrp
298, 8, 28cnmptc 17699 . . . . . . . . . 10 NrmSGrp
308cnmptid 17698 . . . . . . . . . 10 NrmSGrp
312, 25, 27, 8, 29, 30cnmpt1plusg 18122 . . . . . . . . 9 NrmSGrp
32 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11
332, 32tgpsubcn 18125 . . . . . . . . . 10
3433ad2antrr 708 . . . . . . . . 9 NrmSGrp
358, 31, 29, 34cnmpt12f 17703 . . . . . . . 8 NrmSGrp
3617cnclsi 17341 . . . . . . . 8
3735, 16, 36syl2anc 644 . . . . . . 7 NrmSGrp
38 df-ima 4894 . . . . . . . . . 10
39 resmpt 5194 . . . . . . . . . . . 12
4013, 39syl 16 . . . . . . . . . . 11 NrmSGrp
4140rneqd 5100 . . . . . . . . . 10 NrmSGrp
4238, 41syl5eq 2482 . . . . . . . . 9 NrmSGrp
436, 25, 32nsgconj 14978 . . . . . . . . . . . . 13 NrmSGrp
44433expa 1154 . . . . . . . . . . . 12 NrmSGrp
4544adantlll 700 . . . . . . . . . . 11 NrmSGrp
46 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11
4745, 46fmptd 5896 . . . . . . . . . 10 NrmSGrp
48 frn 5600 . . . . . . . . . 10
4947, 48syl 16 . . . . . . . . 9 NrmSGrp
5042, 49eqsstrd 3384 . . . . . . . 8 NrmSGrp
5117clsss 17123 . . . . . . . 8
5210, 16, 50, 51syl3anc 1185 . . . . . . 7 NrmSGrp
5337, 52sstrd 3360 . . . . . 6 NrmSGrp
5424, 53eqsstr3d 3385 . . . . 5 NrmSGrp
55 ovex 6109 . . . . . . 7
56 eqid 2438 . . . . . . 7
5755, 56fnmpti 5576 . . . . . 6
58 df-f 5461 . . . . . 6
5957, 58mpbiran 886 . . . . 5
6054, 59sylibr 205 . . . 4 NrmSGrp
6156fmpt 5893 . . . 4
6260, 61sylibr 205 . . 3 NrmSGrp
6362ralrimiva 2791 . 2 NrmSGrp
646, 25, 32isnsg3 14979 . 2 NrmSGrp SubGrp
654, 63, 64sylanbrc 647 1 NrmSGrp NrmSGrp
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707   wss 3322  cuni 4017   cmpt 4269   crn 4882   cres 4883  cima 4884   wfn 5452  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084  cbs 13474   cplusg 13534  ctopn 13654  csg 14693  SubGrpcsubg 14943  NrmSGrpcnsg 14944  ctop 16963  TopOnctopon 16964  ccl 17087   ccn 17293   ctx 17597  TopMndctmd 18105  ctgp 18106 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-topgen 13672  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-plusf 14696  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-subg 14946  df-nsg 14947  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-tx 17599  df-tmd 18107  df-tgp 18108
 Copyright terms: Public domain W3C validator