Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clsocv Structured version   Unicode version

Theorem clsocv 19204
 Description: The orthogonal complement of the closure of a subset is the same as the orthogonal complement of the subset itself. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
clsocv.v
clsocv.o
clsocv.j
Assertion
Ref Expression
clsocv

Proof of Theorem clsocv
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cphngp 19136 . . . . . . . 8 NrmGrp
2 ngptps 18649 . . . . . . . 8 NrmGrp
31, 2syl 16 . . . . . . 7
43adantr 452 . . . . . 6
5 clsocv.v . . . . . . 7
6 clsocv.j . . . . . . 7
75, 6istps 17001 . . . . . 6 TopOn
84, 7sylib 189 . . . . 5 TopOn
9 topontop 16991 . . . . 5 TopOn
108, 9syl 16 . . . 4
11 simpr 448 . . . . 5
12 toponuni 16992 . . . . . 6 TopOn
138, 12syl 16 . . . . 5
1411, 13sseqtrd 3384 . . . 4
15 eqid 2436 . . . . 5
1615sscls 17120 . . . 4
1710, 14, 16syl2anc 643 . . 3
18 clsocv.o . . . 4
1918ocv2ss 16900 . . 3
2017, 19syl 16 . 2
2115clsss3 17123 . . . . . . . 8
2210, 14, 21syl2anc 643 . . . . . . 7
2322, 13sseqtr4d 3385 . . . . . 6
2423adantr 452 . . . . 5
255, 18ocvss 16897 . . . . . . 7
2625a1i 11 . . . . . 6
2726sselda 3348 . . . . 5
28 df-ss 3334 . . . . . . . . . . . 12
2924, 28sylib 189 . . . . . . . . . . 11
3029ineq1d 3541 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar
31 dfrab3 3617 . . . . . . . . . . . 12 Scalar Scalar
3231ineq2i 3539 . . . . . . . . . . 11 Scalar Scalar
33 inass 3551 . . . . . . . . . . 11 Scalar Scalar
3432, 33eqtr4i 2459 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar
35 dfrab3 3617 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar
3630, 34, 353eqtr4g 2493 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
3715clscld 17111 . . . . . . . . . . . 12
3810, 14, 37syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11
3938adantr 452 . . . . . . . . . 10
40 fvex 5742 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
41 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13
4241mptiniseg 5364 . . . . . . . . . . . 12 Scalar Scalar Scalar
4340, 42ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11 Scalar Scalar
44 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13 fld fld
45 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13
46 simpll 731 . . . . . . . . . . . . 13
478adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
4847, 47, 27cnmptc 17694 . . . . . . . . . . . . 13
4947cnmptid 17693 . . . . . . . . . . . . 13
506, 44, 45, 46, 47, 48, 49cnmpt1ip 19201 . . . . . . . . . . . 12 fld
5144cnfldhaus 18819 . . . . . . . . . . . . 13 fld
52 cphclm 19152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 CMod
53 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Scalar Scalar
5453clm0 19097 . . . . . . . . . . . . . . . 16 CMod Scalar
5552, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar
5655ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar
57 0cn 9084 . . . . . . . . . . . . . 14
5856, 57syl6eqelr 2525 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
5944cnfldtopon 18817 . . . . . . . . . . . . . . 15 fld TopOn
6059toponunii 16997 . . . . . . . . . . . . . 14 fld
6160sncld 17435 . . . . . . . . . . . . 13 fld Scalar Scalar fld
6251, 58, 61sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12 Scalar fld
63 cnclima 17332 . . . . . . . . . . . 12 fld Scalar fld Scalar
6450, 62, 63syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11 Scalar
6543, 64syl5eqelr 2521 . . . . . . . . . 10 Scalar
66 incld 17107 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar
6739, 65, 66syl2anc 643 . . . . . . . . 9 Scalar
6836, 67eqeltrrd 2511 . . . . . . . 8 Scalar
6917adantr 452 . . . . . . . . 9
70 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12 Scalar Scalar
715, 45, 53, 70, 18ocvi 16896 . . . . . . . . . . 11 Scalar
7271ralrimiva 2789 . . . . . . . . . 10 Scalar
7372adantl 453 . . . . . . . . 9 Scalar
74 ssrab 3421 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
7569, 73, 74sylanbrc 646 . . . . . . . 8 Scalar
7615clsss2 17136 . . . . . . . 8 Scalar Scalar Scalar
7768, 75, 76syl2anc 643 . . . . . . 7 Scalar
78 ssrab2 3428 . . . . . . . 8 Scalar
7978a1i 11 . . . . . . 7 Scalar
8077, 79eqssd 3365 . . . . . 6 Scalar
81 rabid2 2885 . . . . . 6 Scalar Scalar
8280, 81sylib 189 . . . . 5 Scalar
835, 45, 53, 70, 18elocv 16895 . . . . 5 Scalar
8424, 27, 82, 83syl3anbrc 1138 . . . 4
8584ex 424 . . 3
8685ssrdv 3354 . 2
8720, 86eqssd 3365 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cab 2422  wral 2705  crab 2709  cvv 2956   cin 3319   wss 3320  csn 3814  cuni 4015   cmpt 4266  ccnv 4877  cima 4881  cfv 5454  (class class class)co 6081  cc 8988  cc0 8990  cbs 13469  Scalarcsca 13532  cip 13534  ctopn 13649  c0g 13723  ℂfldccnfld 16703  cocv 16887  ctop 16958  TopOnctopon 16959  ctps 16961  ccld 17080  ccl 17082   ccn 17288  cha 17372  NrmGrpcngp 18625  CModcclm 19087  ccph 19129 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-ghm 15004  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-dvr 15788  df-rnghom 15819  df-drng 15837  df-subrg 15866  df-staf 15933  df-srng 15934  df-lmod 15952  df-lmhm 16098  df-lvec 16175  df-sra 16244  df-rgmod 16245  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-cnfld 16704  df-phl 16857  df-ipf 16858  df-ocv 16890  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-cls 17085  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-t1 17378  df-haus 17379  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-nm 18630  df-ngp 18631  df-tng 18632  df-nlm 18634  df-clm 19088  df-cph 19131  df-tch 19132
 Copyright terms: Public domain W3C validator