MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clsss2 Unicode version

Theorem clsss2 16809
Description: If a subset is included in a closed set, so is the subset's closure. (Contributed by NM, 22-Feb-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
clsss2  |-  ( ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  C )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_  C )

Proof of Theorem clsss2
StepHypRef Expression
1 cldrcl 16763 . . . 4  |-  ( C  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )
21adantr 451 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  C )  ->  J  e.  Top )
3 clscld.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. J
43cldss 16766 . . . 4  |-  ( C  e.  ( Clsd `  J
)  ->  C  C_  X
)
54adantr 451 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  C )  ->  C  C_  X )
6 simpr 447 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  C )  ->  S  C_  C )
73clsss 16791 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  C  C_  X  /\  S  C_  C )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_  ( ( cls `  J
) `  C )
)
82, 5, 6, 7syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  C )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_  ( ( cls `  J
) `  C )
)
9 cldcls 16779 . . 3  |-  ( C  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  C )  =  C )
109adantr 451 . 2  |-  ( ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  C )  ->  (
( cls `  J
) `  C )  =  C )
118, 10sseqtrd 3214 1  |-  ( ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  C )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   U.cuni 3827   ` cfv 5255   Topctop 16631   Clsdccld 16753   clsccl 16755
This theorem is referenced by:  elcls  16810  restcls  16911  cncls2i  16999  isnrm3  17087  lpcls  17092  isreg2  17105  dnsconst  17106  hauscmplem  17133  txcls  17299  ptclsg  17309  kqreglem1  17432  kqreglem2  17433  kqnrmlem1  17434  kqnrmlem2  17435  blcls  18052  clsocv  18677  resscdrg  18775  cldregopn  26249
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-top 16636  df-cld 16756  df-cls 16758
  Copyright terms: Public domain W3C validator