MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clsss2 Unicode version

Theorem clsss2 17095
Description: If a subset is included in a closed set, so is the subset's closure. (Contributed by NM, 22-Feb-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
clsss2  |-  ( ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  C )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_  C )

Proof of Theorem clsss2
StepHypRef Expression
1 cldrcl 17049 . . . 4  |-  ( C  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )
21adantr 452 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  C )  ->  J  e.  Top )
3 clscld.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. J
43cldss 17052 . . . 4  |-  ( C  e.  ( Clsd `  J
)  ->  C  C_  X
)
54adantr 452 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  C )  ->  C  C_  X )
6 simpr 448 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  C )  ->  S  C_  C )
73clsss 17077 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  C  C_  X  /\  S  C_  C )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_  ( ( cls `  J
) `  C )
)
82, 5, 6, 7syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  C )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_  ( ( cls `  J
) `  C )
)
9 cldcls 17065 . . 3  |-  ( C  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  C )  =  C )
109adantr 452 . 2  |-  ( ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  C )  ->  (
( cls `  J
) `  C )  =  C )
118, 10sseqtrd 3348 1  |-  ( ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  C )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3284   U.cuni 3979   ` cfv 5417   Topctop 16917   Clsdccld 17039   clsccl 17041
This theorem is referenced by:  elcls  17096  restcls  17203  cncls2i  17292  isnrm3  17381  lpcls  17386  isreg2  17399  dnsconst  17400  hauscmplem  17427  txcls  17593  ptclsg  17604  kqreglem1  17730  kqreglem2  17731  kqnrmlem1  17732  kqnrmlem2  17733  blcls  18493  clsocv  19161  resscdrg  19269  cldregopn  26228
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-top 16922  df-cld 17042  df-cls 17044
  Copyright terms: Public domain W3C validator