MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clsss2 Structured version   Unicode version

Theorem clsss2 17141
Description: If a subset is included in a closed set, so is the subset's closure. (Contributed by NM, 22-Feb-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
clsss2  |-  ( ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  C )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_  C )

Proof of Theorem clsss2
StepHypRef Expression
1 cldrcl 17095 . . . 4  |-  ( C  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )
21adantr 453 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  C )  ->  J  e.  Top )
3 clscld.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. J
43cldss 17098 . . . 4  |-  ( C  e.  ( Clsd `  J
)  ->  C  C_  X
)
54adantr 453 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  C )  ->  C  C_  X )
6 simpr 449 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  C )  ->  S  C_  C )
73clsss 17123 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  C  C_  X  /\  S  C_  C )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_  ( ( cls `  J
) `  C )
)
82, 5, 6, 7syl3anc 1185 . 2  |-  ( ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  C )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_  ( ( cls `  J
) `  C )
)
9 cldcls 17111 . . 3  |-  ( C  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  C )  =  C )
109adantr 453 . 2  |-  ( ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  C )  ->  (
( cls `  J
) `  C )  =  C )
118, 10sseqtrd 3386 1  |-  ( ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  C )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3322   U.cuni 4017   ` cfv 5457   Topctop 16963   Clsdccld 17085   clsccl 17087
This theorem is referenced by:  elcls  17142  restcls  17250  cncls2i  17339  isnrm3  17428  lpcls  17433  isreg2  17446  dnsconst  17447  hauscmplem  17474  txcls  17641  ptclsg  17652  kqreglem1  17778  kqreglem2  17779  kqnrmlem1  17780  kqnrmlem2  17781  blcls  18541  clsocv  19209  resscdrg  19317  cldregopn  26348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-top 16968  df-cld 17088  df-cls 17090
  Copyright terms: Public domain W3C validator