MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clsss3 Unicode version

Theorem clsss3 16902
Description: The closure of a subset of a topological space is included in the space. (Contributed by NM, 26-Feb-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
clsss3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  C_  X )

Proof of Theorem clsss3
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
21clscld 16890 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  e.  ( Clsd `  J
) )
31cldss 16872 . 2  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  C_  X
)
42, 3syl 15 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  C_  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710    C_ wss 3228   U.cuni 3908   ` cfv 5337   Topctop 16737   Clsdccld 16859   clsccl 16861
This theorem is referenced by:  cmntrcld  16906  clsidm  16910  elcls2  16917  clsndisj  16918  ntrcls0  16919  neindisj  16960  lpval  16977  lpss  16980  clslp  16985  cnclsi  17107  cncls  17109  isnrm2  17192  lpcls  17198  perfcls  17199  regsep2  17210  clscon  17262  concompcld  17266  2ndcsep  17291  1stcelcls  17293  hausllycmp  17326  txcls  17405  ptclsg  17415  kqnrmlem1  17540  reghmph  17590  nrmhmph  17591  flimclslem  17781  flimsncls  17783  hauspwpwf1  17784  fclsopn  17811  fclscmpi  17826  clssubg  17893  clsnsg  17894  snclseqg  17900  qdensere  18381  clsocv  18781  relcmpcmet  18846  cncmet  18848  cnextfun  23501  kur14lem3  24143  topbnd  25566  clsun  25570  opnregcld  25572  cldregopn  25573  heibor1lem  25856
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-top 16742  df-cld 16862  df-cls 16864
  Copyright terms: Public domain W3C validator