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Theorem clsun 26349
Description: A pairwise union of closures is the closure of the union. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Aug-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
clsun.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
clsun  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) )  =  ( ( ( cls `  J ) `  A
)  u.  ( ( cls `  J ) `
 B ) ) )

Proof of Theorem clsun
StepHypRef Expression
1 difundi 3434 . . . . . 6  |-  ( X 
\  ( A  u.  B ) )  =  ( ( X  \  A )  i^i  ( X  \  B ) )
21fveq2i 5544 . . . . 5  |-  ( ( int `  J ) `
 ( X  \ 
( A  u.  B
) ) )  =  ( ( int `  J
) `  ( ( X  \  A )  i^i  ( X  \  B
) ) )
3 difss 3316 . . . . . . 7  |-  ( X 
\  A )  C_  X
4 difss 3316 . . . . . . 7  |-  ( X 
\  B )  C_  X
5 clsun.1 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
65ntrin 16814 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( X  \  A ) 
C_  X  /\  ( X  \  B )  C_  X )  ->  (
( int `  J
) `  ( ( X  \  A )  i^i  ( X  \  B
) ) )  =  ( ( ( int `  J ) `  ( X  \  A ) )  i^i  ( ( int `  J ) `  ( X  \  B ) ) ) )
73, 4, 6mp3an23 1269 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( int `  J
) `  ( ( X  \  A )  i^i  ( X  \  B
) ) )  =  ( ( ( int `  J ) `  ( X  \  A ) )  i^i  ( ( int `  J ) `  ( X  \  B ) ) ) )
873ad2ant1 976 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( int `  J
) `  ( ( X  \  A )  i^i  ( X  \  B
) ) )  =  ( ( ( int `  J ) `  ( X  \  A ) )  i^i  ( ( int `  J ) `  ( X  \  B ) ) ) )
92, 8syl5eq 2340 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( int `  J
) `  ( X  \  ( A  u.  B
) ) )  =  ( ( ( int `  J ) `  ( X  \  A ) )  i^i  ( ( int `  J ) `  ( X  \  B ) ) ) )
10 simp1 955 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  J  e.  Top )
11 unss 3362 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  X  /\  B  C_  X )  <->  ( A  u.  B )  C_  X
)
1211biimpi 186 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  X  /\  B  C_  X )  -> 
( A  u.  B
)  C_  X )
13123adant1 973 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  ( A  u.  B )  C_  X )
145ntrdif 16805 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( A  u.  B
)  C_  X )  ->  ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( A  u.  B
) ) )  =  ( X  \  (
( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) ) ) )
1510, 13, 14syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( int `  J
) `  ( X  \  ( A  u.  B
) ) )  =  ( X  \  (
( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) ) ) )
165ntrdif 16805 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  ( X  \  A ) )  =  ( X  \  (
( cls `  J
) `  A )
) )
17163adant3 975 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( int `  J
) `  ( X  \  A ) )  =  ( X  \  (
( cls `  J
) `  A )
) )
185ntrdif 16805 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  ( X  \  B ) )  =  ( X  \  (
( cls `  J
) `  B )
) )
19183adant2 974 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( int `  J
) `  ( X  \  B ) )  =  ( X  \  (
( cls `  J
) `  B )
) )
2017, 19ineq12d 3384 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( ( int `  J
) `  ( X  \  A ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  ( X  \  B ) ) )  =  ( ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  A
) )  i^i  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  B
) ) ) )
21 difundi 3434 . . . . 5  |-  ( X 
\  ( ( ( cls `  J ) `
 A )  u.  ( ( cls `  J
) `  B )
) )  =  ( ( X  \  (
( cls `  J
) `  A )
)  i^i  ( X  \  ( ( cls `  J
) `  B )
) )
2220, 21syl6eqr 2346 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( ( int `  J
) `  ( X  \  A ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  ( X  \  B ) ) )  =  ( X  \ 
( ( ( cls `  J ) `  A
)  u.  ( ( cls `  J ) `
 B ) ) ) )
239, 15, 223eqtr3d 2336 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  ( A  u.  B )
) )  =  ( X  \  ( ( ( cls `  J
) `  A )  u.  ( ( cls `  J
) `  B )
) ) )
2423difeq2d 3307 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  ( X  \  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) ) ) )  =  ( X 
\  ( X  \ 
( ( ( cls `  J ) `  A
)  u.  ( ( cls `  J ) `
 B ) ) ) ) )
255clscld 16800 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( A  u.  B
)  C_  X )  ->  ( ( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
2610, 13, 25syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
275cldss 16782 . . . 4  |-  ( ( ( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) )  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( A  u.  B
) )  C_  X
)
2826, 27syl 15 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) )  C_  X )
29 dfss4 3416 . . 3  |-  ( ( ( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) )  C_  X 
<->  ( X  \  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  ( A  u.  B )
) ) )  =  ( ( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) ) )
3028, 29sylib 188 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  ( X  \  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) ) ) )  =  ( ( cls `  J ) `
 ( A  u.  B ) ) )
315clsss3 16812 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  A )  C_  X )
32313adant3 975 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( cls `  J
) `  A )  C_  X )
335clsss3 16812 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  B )  C_  X )
34333adant2 974 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( cls `  J
) `  B )  C_  X )
3532, 34jca 518 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( ( cls `  J
) `  A )  C_  X  /\  ( ( cls `  J ) `
 B )  C_  X ) )
36 unss 3362 . . . 4  |-  ( ( ( ( cls `  J
) `  A )  C_  X  /\  ( ( cls `  J ) `
 B )  C_  X )  <->  ( (
( cls `  J
) `  A )  u.  ( ( cls `  J
) `  B )
)  C_  X )
37 dfss4 3416 . . . 4  |-  ( ( ( ( cls `  J
) `  A )  u.  ( ( cls `  J
) `  B )
)  C_  X  <->  ( X  \  ( X  \  (
( ( cls `  J
) `  A )  u.  ( ( cls `  J
) `  B )
) ) )  =  ( ( ( cls `  J ) `  A
)  u.  ( ( cls `  J ) `
 B ) ) )
3836, 37bitri 240 . . 3  |-  ( ( ( ( cls `  J
) `  A )  C_  X  /\  ( ( cls `  J ) `
 B )  C_  X )  <->  ( X  \  ( X  \  (
( ( cls `  J
) `  A )  u.  ( ( cls `  J
) `  B )
) ) )  =  ( ( ( cls `  J ) `  A
)  u.  ( ( cls `  J ) `
 B ) ) )
3935, 38sylib 188 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  ( X  \  ( X  \ 
( ( ( cls `  J ) `  A
)  u.  ( ( cls `  J ) `
 B ) ) ) )  =  ( ( ( cls `  J
) `  A )  u.  ( ( cls `  J
) `  B )
) )
4024, 30, 393eqtr3d 2336 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) )  =  ( ( ( cls `  J ) `  A
)  u.  ( ( cls `  J ) `
 B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   U.cuni 3843   ` cfv 5271   Topctop 16647   Clsdccld 16769   intcnt 16770   clsccl 16771
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-top 16652  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774
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