Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clsval Unicode version

Theorem clsval 16774
 Description: The closure of a subset of a topology's base set is the intersection of all the closed sets that include it. Definition of closure of [Munkres] p. 94. (Contributed by NM, 10-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
iscld.1
Assertion
Ref Expression
clsval
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem clsval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscld.1 . . . . 5
21clsfval 16762 . . . 4
32fveq1d 5527 . . 3
51topopn 16652 . . . . 5
6 elpw2g 4174 . . . . 5
75, 6syl 15 . . . 4
87biimpar 471 . . 3
91topcld 16772 . . . . 5
10 sseq2 3200 . . . . . 6
1110rspcev 2884 . . . . 5
129, 11sylan 457 . . . 4
13 intexrab 4170 . . . 4
1412, 13sylib 188 . . 3
15 sseq1 3199 . . . . . 6
1615rabbidv 2780 . . . . 5
1716inteqd 3867 . . . 4
18 eqid 2283 . . . 4
1917, 18fvmptg 5600 . . 3
208, 14, 19syl2anc 642 . 2
214, 20eqtrd 2315 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  wrex 2544  crab 2547  cvv 2788   wss 3152  cpw 3625  cuni 3827  cint 3862   cmpt 4077  cfv 5255  ctop 16631  ccld 16753  ccl 16755 This theorem is referenced by:  cldcls  16779  clscld  16784  clsf  16785  clsval2  16787  clsss  16791  sscls  16793 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-top 16636  df-cld 16756  df-cls 16758
 Copyright terms: Public domain W3C validator