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Theorem clsval2 16803
Description: Express closure in terms of interior. (Contributed by NM, 10-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
clsval2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  =  ( X  \ 
( ( int `  J
) `  ( X  \  S ) ) ) )

Proof of Theorem clsval2
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 2565 . . . . . 6  |-  { z  e.  ( Clsd `  J
)  |  S  C_  z }  =  {
z  |  ( z  e.  ( Clsd `  J
)  /\  S  C_  z
) }
2 clscld.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X  = 
U. J
32cldopn 16784 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( X  \  z )  e.  J
)
43ad2antrl 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  ( z  e.  (
Clsd `  J )  /\  S  C_  z ) )  ->  ( X  \  z )  e.  J
)
5 sscon 3323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  z  ->  ( X  \  z )  C_  ( X  \  S ) )
65ad2antll 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  ( z  e.  (
Clsd `  J )  /\  S  C_  z ) )  ->  ( X  \  z )  C_  ( X  \  S ) )
72topopn 16668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
8 difexg 4178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  J  ->  ( X  \  z )  e. 
_V )
9 elpwg 3645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  \  z )  e.  _V  ->  (
( X  \  z
)  e.  ~P ( X  \  S )  <->  ( X  \  z )  C_  ( X  \  S ) ) )
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( X  \  z
)  e.  ~P ( X  \  S )  <->  ( X  \  z )  C_  ( X  \  S ) ) )
1110ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  ( z  e.  (
Clsd `  J )  /\  S  C_  z ) )  ->  ( ( X  \  z )  e. 
~P ( X  \  S )  <->  ( X  \  z )  C_  ( X  \  S ) ) )
126, 11mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  ( z  e.  (
Clsd `  J )  /\  S  C_  z ) )  ->  ( X  \  z )  e.  ~P ( X  \  S ) )
13 elin 3371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  \  z )  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S
) )  <->  ( ( X  \  z )  e.  J  /\  ( X 
\  z )  e. 
~P ( X  \  S ) ) )
144, 12, 13sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  ( z  e.  (
Clsd `  J )  /\  S  C_  z ) )  ->  ( X  \  z )  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) )
152cldss 16782 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( Clsd `  J
)  ->  z  C_  X )
1615ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  ( z  e.  (
Clsd `  J )  /\  S  C_  z ) )  ->  z  C_  X )
17 dfss4 3416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z 
C_  X  <->  ( X  \  ( X  \  z
) )  =  z )
1816, 17sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  ( z  e.  (
Clsd `  J )  /\  S  C_  z ) )  ->  ( X  \  ( X  \  z
) )  =  z )
1918eqcomd 2301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  ( z  e.  (
Clsd `  J )  /\  S  C_  z ) )  ->  z  =  ( X  \  ( X  \  z ) ) )
20 difeq2 3301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( X  \ 
z )  ->  ( X  \  x )  =  ( X  \  ( X  \  z ) ) )
2120eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( X  \ 
z )  ->  (
z  =  ( X 
\  x )  <->  z  =  ( X  \  ( X  \  z ) ) ) )
2221rspcev 2897 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  \  z
)  e.  ( J  i^i  ~P ( X 
\  S ) )  /\  z  =  ( X  \  ( X 
\  z ) ) )  ->  E. x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) z  =  ( X  \  x ) )
2314, 19, 22syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  ( z  e.  (
Clsd `  J )  /\  S  C_  z ) )  ->  E. x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) z  =  ( X  \  x ) )
2423ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( z  e.  ( Clsd `  J
)  /\  S  C_  z
)  ->  E. x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) z  =  ( X  \  x ) ) )
25 simpl 443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  J  e.  Top )
26 elin 3371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S
) )  <->  ( x  e.  J  /\  x  e.  ~P ( X  \  S ) ) )
2726simplbi 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S
) )  ->  x  e.  J )
282opncld 16786 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  ->  ( X  \  x
)  e.  ( Clsd `  J ) )
2925, 27, 28syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( J  i^i  ~P ( X 
\  S ) ) )  ->  ( X  \  x )  e.  (
Clsd `  J )
)
3026simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S
) )  ->  x  e.  ~P ( X  \  S ) )
3130adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( J  i^i  ~P ( X 
\  S ) ) )  ->  x  e.  ~P ( X  \  S
) )
32 elpwi 3646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~P ( X 
\  S )  ->  x  C_  ( X  \  S ) )
3331, 32syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( J  i^i  ~P ( X 
\  S ) ) )  ->  x  C_  ( X  \  S ) )
34 difss 3316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X 
\  S )  C_  X
3533, 34syl6ss 3204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( J  i^i  ~P ( X 
\  S ) ) )  ->  x  C_  X
)
36 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( J  i^i  ~P ( X 
\  S ) ) )  ->  S  C_  X
)
37 ssconb 3322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  C_  X  /\  S  C_  X )  -> 
( x  C_  ( X  \  S )  <->  S  C_  ( X  \  x ) ) )
3835, 36, 37syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( J  i^i  ~P ( X 
\  S ) ) )  ->  ( x  C_  ( X  \  S
)  <->  S  C_  ( X 
\  x ) ) )
3933, 38mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( J  i^i  ~P ( X 
\  S ) ) )  ->  S  C_  ( X  \  x ) )
4029, 39jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( J  i^i  ~P ( X 
\  S ) ) )  ->  ( ( X  \  x )  e.  ( Clsd `  J
)  /\  S  C_  ( X  \  x ) ) )
41 eleq1 2356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( X  \  x )  ->  (
z  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( X  \  x )  e.  (
Clsd `  J )
) )
42 sseq2 3213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( X  \  x )  ->  ( S  C_  z  <->  S  C_  ( X  \  x ) ) )
4341, 42anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( X  \  x )  ->  (
( z  e.  (
Clsd `  J )  /\  S  C_  z )  <-> 
( ( X  \  x )  e.  (
Clsd `  J )  /\  S  C_  ( X 
\  x ) ) ) )
4440, 43syl5ibrcom 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( J  i^i  ~P ( X 
\  S ) ) )  ->  ( z  =  ( X  \  x )  ->  (
z  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  z ) ) )
4544rexlimdva 2680 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( E. x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) z  =  ( X  \  x )  ->  ( z  e.  ( Clsd `  J
)  /\  S  C_  z
) ) )
4624, 45impbid 183 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( z  e.  ( Clsd `  J
)  /\  S  C_  z
)  <->  E. x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) z  =  ( X 
\  x ) ) )
4746abbidv 2410 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  { z  |  ( z  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  z ) }  =  { z  |  E. x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) z  =  ( X  \  x ) } )
481, 47syl5eq 2340 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  { z  e.  (
Clsd `  J )  |  S  C_  z }  =  { z  |  E. x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) z  =  ( X 
\  x ) } )
4948inteqd 3883 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  |^| { z  e.  (
Clsd `  J )  |  S  C_  z }  =  |^| { z  |  E. x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) z  =  ( X  \  x ) } )
50 difexg 4178 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  J  ->  ( X  \  x )  e. 
_V )
5150ralrimivw 2640 . . . . . 6  |-  ( X  e.  J  ->  A. x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) ( X  \  x )  e.  _V )
52 dfiin2g 3952 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) ( X  \  x )  e.  _V  ->  |^|_ x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) ( X  \  x )  =  |^| { z  |  E. x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) z  =  ( X  \  x ) } )
537, 51, 523syl 18 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  |^|_ x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) ( X  \  x )  =  |^| { z  |  E. x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) z  =  ( X  \  x ) } )
5453adantr 451 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  |^|_ x  e.  ( J  i^i  ~P ( X 
\  S ) ) ( X  \  x
)  =  |^| { z  |  E. x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) z  =  ( X  \  x ) } )
5549, 54eqtr4d 2331 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  |^| { z  e.  (
Clsd `  J )  |  S  C_  z }  =  |^|_ x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) ( X  \  x
) )
562clsval 16790 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  =  |^| { z  e.  ( Clsd `  J
)  |  S  C_  z } )
57 uniiun 3971 . . . . . 6  |-  U. ( J  i^i  ~P ( X 
\  S ) )  =  U_ x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) x
5857difeq2i 3304 . . . . 5  |-  ( X 
\  U. ( J  i^i  ~P ( X  \  S
) ) )  =  ( X  \  U_ x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) x )
5958a1i 10 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( X  \  U. ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) )  =  ( X 
\  U_ x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) x ) )
60 0opn 16666 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  J
)
6160adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  (/) 
e.  J )
62 0elpw 4196 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  ~P ( X  \  S )
6362a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  (/) 
e.  ~P ( X  \  S ) )
64 elin 3371 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) )  <->  ( (/)  e.  J  /\  (/)  e.  ~P ( X  \  S ) ) )
6561, 63, 64sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  (/) 
e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S
) ) )
66 ne0i 3474 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) )  ->  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) )  =/=  (/) )
67 iindif2 3987 . . . . 5  |-  ( ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) )  =/=  (/)  ->  |^|_ x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) ( X  \  x )  =  ( X  \  U_ x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) x ) )
6865, 66, 673syl 18 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  |^|_ x  e.  ( J  i^i  ~P ( X 
\  S ) ) ( X  \  x
)  =  ( X 
\  U_ x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) x ) )
6959, 68eqtr4d 2331 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( X  \  U. ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) )  =  |^|_ x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) ( X  \  x ) )
7055, 56, 693eqtr4d 2338 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  =  ( X  \  U. ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) ) )
7134a1i 10 . . . 4  |-  ( S 
C_  X  ->  ( X  \  S )  C_  X )
722ntrval 16789 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( X  \  S ) 
C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  ( X  \  S ) )  = 
U. ( J  i^i  ~P ( X  \  S
) ) )
7371, 72sylan2 460 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  ( X  \  S ) )  = 
U. ( J  i^i  ~P ( X  \  S
) ) )
7473difeq2d 3307 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( X  \  (
( int `  J
) `  ( X  \  S ) ) )  =  ( X  \  U. ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) ) )
7570, 74eqtr4d 2331 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  =  ( X  \ 
( ( int `  J
) `  ( X  \  S ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   |^|cint 3878   U_ciun 3921   |^|_ciin 3922   ` cfv 5271   Topctop 16647   Clsdccld 16769   intcnt 16770   clsccl 16771
This theorem is referenced by:  ntrval2  16804  clsdif  16806  cmclsopn  16815  bcth3  18769
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-top 16652  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774
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