Theorem cmcm 12180

Description: Commutation is symmetric. Theorem 2(v) of [Kalmbach] p. 22.

Assertion

Ref	Expression
cmcm	|- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (A C_H B <-> B C_H A))

Proof of Theorem cmcm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 3542	. . 3 |- (A = if(A e. CH, A, 0H) -> (A C_H B <-> if(A e. CH, A, 0H) C_H B))
2		breq2 3543	. . 3 |- (A = if(A e. CH, A, 0H) -> (B C_H A <-> B C_H if(A e. CH, A, 0H)))
3	1, 2	bibi12d 385	. 2 |- (A = if(A e. CH, A, 0H) -> ((A C_H B <-> B C_H A) <-> (if(A e. CH, A, 0H) C_H B <-> B C_H if(A e. CH, A, 0H))))
4		breq2 3543	. . 3 |- (B = if(B e. CH, B, 0H) -> (if(A e. CH, A, 0H) C_H B <-> if(A e. CH, A, 0H) C_H if(B e. CH, B, 0H)))
5		breq1 3542	. . 3 |- (B = if(B e. CH, B, 0H) -> (B C_H if(A e. CH, A, 0H) <-> if(B e. CH, B, 0H) C_H if(A e. CH, A, 0H)))
6	4, 5	bibi12d 385	. 2 |- (B = if(B e. CH, B, 0H) -> ((if(A e. CH, A, 0H) C_H B <-> B C_H if(A e. CH, A, 0H)) <-> (if(A e. CH, A, 0H) C_H if(B e. CH, B, 0H) <-> if(B e. CH, B, 0H) C_H if(A e. CH, A, 0H))))
7		h0elch 11752	. . . 4 |- 0H e. CH
8	7	elimel 3251	. . 3 |- if(A e. CH, A, 0H) e. CH
9	7	elimel 3251	. . 3 |- if(B e. CH, B, 0H) e. CH
10	8, 9	cmcmi 12158	. 2 |- (if(A e. CH, A, 0H) C_H if(B e. CH, B, 0H) <-> if(B e. CH, B, 0H) C_H if(A e. CH, A, 0H))
11	3, 6, 10	dedth2h 3241	1 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (A C_H B <-> B C_H A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 231   /\ wa 433   = wceq 1615   e. wcel 1617  ifcif 3212   class class class wbr 3539  CHcch 11426  0Hc0h 11432   C_H ccm 11433

This theorem is referenced by:  cmcm2 12182  fh2 12185  cm2j 12186

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1619  ax-7 1621  ax-gen 1622  ax-8 1623  ax-9 1624  ax-10 1625  ax-11 1626  ax-12 1627  ax-13 1628  ax-14 1629  ax-17 1634  ax-4 1637  ax-5o 1639  ax-6o 1642  ax-9o 1792  ax-10o 1810  ax-16 1883  ax-11o 1893  ax-ext 2152  ax-rep 3628  ax-sep 3638  ax-nul 3645  ax-pow 3681  ax-pr 3719  ax-un 3961  ax-inf2 6008  ax-cc 6359  ax-ac 6385  ax-cnex 6885  ax-resscn 6886  ax-1cn 6887  ax-icn 6888  ax-addcl 6889  ax-addrcl 6890  ax-mulcl 6891  ax-mulrcl 6892  ax-mulcom 6893  ax-addass 6894  ax-mulass 6895  ax-distr 6896  ax-i2m1 6897  ax-1ne0 6898  ax-1rid 6899  ax-rnegex 6900  ax-rrecex 6901  ax-cnre 6902  ax-pre-lttri 6903  ax-pre-lttrn 6904  ax-pre-ltadd 6905  ax-pre-mulgt0 6906  ax-pre-sup 6907  ax-addopr 6908  ax-mulopr 6909  ax-hilex 11497  ax-hfvadd 11498  ax-hvcom 11499  ax-hvass 11500  ax-hv0cl 11501  ax-hvaddid 11502  ax-hfvmul 11503  ax-hvmulid 11504  ax-hvmulass 11505  ax-hvdistr1 11506  ax-hvdistr2 11507  ax-hvmul0 11508  ax-hfi 11574  ax-his1 11577  ax-his2 11578  ax-his3 11579  ax-his4 11580  ax-hcompl 11698

This theorem depends on definitions:  df-bi 232  df-or 434  df-an 435  df-3or 1131  df-3an 1132  df-ex 1645  df-sb 1845  df-eu 2070  df-mo 2071  df-clab 2158  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-ne 2297  df-nel 2298  df-ral 2389  df-rex 2390  df-reu 2391  df-rab 2392  df-v 2571  df-sbc 2731  df-csb 2806  df-dif 2862  df-un 2864  df-in 2866  df-ss 2868  df-pss 2870  df-nul 3115  df-if 3213  df-pw 3261  df-sn 3274  df-pr 3275  df-tp 3277  df-op 3278  df-uni 3399  df-int 3433  df-iun 3470  df-iin 3471  df-br 3540  df-opab 3598  df-tr 3612  df-eprel 3776  df-id 3779  df-po 3784  df-so 3796  df-fr 3814  df-we 3830  df-ord 3846  df-on 3847  df-lim 3848  df-suc 3849  df-om 4118  df-xp 4165  df-rel 4166  df-cnv 4167  df-co 4168  df-dm 4169  df-rn 4170  df-res 4171  df-ima 4172  df-fun 4173  df-fn 4174  df-f 4175  df-f1 4176  df-fo 4177  df-f1o 4178  df-fv 4179  df-opr 5022  df-oprab 5023  df-mpt 5138  df-1st 5166  df-2nd 5167  df-iota 5259  df-rdg 5344  df-er 5519  df-map 5587  df-en 5631  df-dom 5632  df-sdom 5633  df-undef 5769  df-riota 5773  df-sup 5932  df-pnf 6948  df-mnf 6949  df-xr 6950  df-ltxr 6951  df-le 6952  df-sub 7111  df-neg 7113  df-div 7325  df-n 7543  df-2 7589  df-3 7590  df-4 7591  df-n0 7761  df-z 7798  df-q 7894  df-fl 7921  df-ioo 7986  df-uz 8046  df-fz 8113  df-seq1 8210  df-shft 8245  df-seqz 8267  df-exp 8312  df-sqr 8420  df-re 8501  df-im 8502  df-cj 8503  df-abs 8504  df-clim 8747  df-sum 8752  df-top 9842  df-bases 9844  df-topgen 9845  df-cld 9950  df-ntr 9951  df-cls 9952  df-cn 10046  df-cnp 10047  df-haus 10075  df-met 10086  df-bl 10088  df-opn 10089  df-lm 10216  df-grpo 10334  df-gid 10335  df-ginv 10336  df-gdiv 10337  df-ablo 10429  df-vc 10518  df-nv 10564  df-va 10567  df-ba 10568  df-sm 10569  df-0v 10570  df-vs 10571  df-nm 10572  df-ims 10573  df-ip 10710  df-ph 10836  df-hnorm 11465  df-hvsub 11468  df-hlim 11469  df-hcau 11470  df-sh 11703  df-ch 11717  df-oc 11749  df-ch0 11750  df-shsum 11898  df-chj 11900  df-cm 12149

Copyright terms: Public domain