MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmetcau Unicode version

Theorem cmetcau 19203
Description: The convergence of a Cauchy sequence in a complete metric space. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cmetcau.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
cmetcau  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D
) )  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J ) )

Proof of Theorem cmetcau
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmetmet 19200 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
2 metxmet 18325 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
4 caun0 19195 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  ->  X  =/=  (/) )
53, 4sylan 458 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D
) )  ->  X  =/=  (/) )
6 n0 3605 . . 3  |-  ( X  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  X )
75, 6sylib 189 . 2  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D
) )  ->  E. x  x  e.  X )
8 cmetcau.1 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
9 simpll 731 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  /\  x  e.  X
)  ->  D  e.  ( CMet `  X )
)
10 simpr 448 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  X )
11 simplr 732 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  /\  x  e.  X
)  ->  F  e.  ( Cau `  D ) )
12 eqid 2412 . . 3  |-  ( y  e.  NN  |->  if ( y  e.  dom  F ,  ( F `  y ) ,  x
) )  =  ( y  e.  NN  |->  if ( y  e.  dom  F ,  ( F `  y ) ,  x
) )
138, 9, 10, 11, 12cmetcaulem 19202 . 2  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  /\  x  e.  X
)  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J
) )
147, 13exlimddv 1645 1  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D
) )  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   (/)c0 3596   ifcif 3707    e. cmpt 4234   dom cdm 4845   ` cfv 5421   NNcn 9964   * Metcxmt 16649   Metcme 16650   MetOpencmopn 16654   ~~> tclm 17252   Caucca 19167   CMetcms 19168
This theorem is referenced by:  iscmet3  19207  iscmet2  19208  bcthlem4  19241  minvecolem4a  22340  hlcompl  22378  heiborlem9  26426  bfplem1  26429
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-ico 10886  df-rest 13613  df-topgen 13630  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-fbas 16662  df-fg 16663  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-ntr 17047  df-nei 17125  df-lm 17255  df-fil 17839  df-fm 17931  df-flim 17932  df-flf 17933  df-cfil 19169  df-cau 19170  df-cmet 19171
  Copyright terms: Public domain W3C validator