MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmetcau Unicode version

Theorem cmetcau 18813
Description: The convergence of a Cauchy sequence in a complete metric space. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cmetcau.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
cmetcau  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D
) )  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J ) )

Proof of Theorem cmetcau
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmetmet 18810 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
2 metxmet 17995 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
31, 2syl 15 . . . 4  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
4 caun0 18805 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  ->  X  =/=  (/) )
53, 4sylan 457 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D
) )  ->  X  =/=  (/) )
6 n0 3540 . . 3  |-  ( X  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  X )
75, 6sylib 188 . 2  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D
) )  ->  E. x  x  e.  X )
8 cmetcau.1 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
9 simpll 730 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  /\  x  e.  X
)  ->  D  e.  ( CMet `  X )
)
10 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  X )
11 simplr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  /\  x  e.  X
)  ->  F  e.  ( Cau `  D ) )
12 eqid 2358 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  |->  if ( y  e.  dom  F ,  ( F `  y ) ,  x
) )  =  ( y  e.  NN  |->  if ( y  e.  dom  F ,  ( F `  y ) ,  x
) )
138, 9, 10, 11, 12cmetcaulem 18812 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  /\  x  e.  X
)  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J
) )
1413ex 423 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D
) )  ->  (
x  e.  X  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )
1514exlimdv 1636 . 2  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D
) )  ->  ( E. x  x  e.  X  ->  F  e.  dom  (
~~> t `  J ) ) )
167, 15mpd 14 1  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D
) )  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1541    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   (/)c0 3531   ifcif 3641    e. cmpt 4156   dom cdm 4768   ` cfv 5334   NNcn 9833   * Metcxmt 16462   Metcme 16463   MetOpencmopn 16467   ~~> tclm 17056   Caucca 18777   CMetcms 18778
This theorem is referenced by:  iscmet3  18817  iscmet2  18818  bcthlem4  18847  minvecolem4a  21564  hlcompl  21602  heiborlem9  25866  bfplem1  25869
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-er 6744  df-map 6859  df-pm 6860  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-sup 7281  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-q 10406  df-rp 10444  df-xneg 10541  df-xadd 10542  df-xmul 10543  df-ico 10751  df-rest 13420  df-topgen 13437  df-xmet 16469  df-met 16470  df-bl 16471  df-mopn 16472  df-fbas 16473  df-fg 16474  df-top 16736  df-bases 16738  df-topon 16739  df-ntr 16857  df-nei 16935  df-lm 17059  df-fil 17637  df-fm 17729  df-flim 17730  df-flf 17731  df-cfil 18779  df-cau 18780  df-cmet 18781
  Copyright terms: Public domain W3C validator