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Theorem cmetcaulem 19114
Description: Lemma for cmetcau 19115. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cmetcau.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
cmetcau.3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
cmetcau.4  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
cmetcau.5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  D ) )
cmetcau.6  |-  G  =  ( x  e.  NN  |->  if ( x  e.  dom  F ,  ( F `  x ) ,  P
) )
Assertion
Ref Expression
cmetcaulem  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J )
)
Distinct variable groups:    x, D    x, F    x, P    x, J    ph, x    x, X
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem cmetcaulem
Dummy variables  j 
k  m  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmetcau.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
2 cmetmet 19112 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
31, 2syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
4 metxmet 18275 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
53, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
6 cmetcau.1 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
76mopntopon 18361 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
85, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
9 1z 10245 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
10 nnuz 10455 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1110uzfbas 17853 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( ZZ>=
" NN )  e.  ( fBas `  NN ) )
129, 11mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= " NN )  e.  ( fBas `  NN ) )
13 fgcl 17833 . . . . . . 7  |-  ( (
ZZ>= " NN )  e.  ( fBas `  NN )  ->  ( NN filGen (
ZZ>= " NN ) )  e.  ( Fil `  NN ) )
1412, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) )  e.  ( Fil `  NN ) )
15 elfvdm 5699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  X  e.  dom  CMet )
161, 15syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  dom  CMet )
17 cnex 9006 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  e.  _V
1817a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
19 cmetcau.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  D ) )
20 caufpm 19108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  ->  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )
215, 19, 20syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X 
^pm  CC ) )
22 elpm2g 6971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  dom  CMet  /\  CC  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  <->  ( F : dom  F --> X  /\  dom  F  C_  CC ) ) )
2322simprbda 607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  dom  CMet  /\  CC  e.  _V )  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  ->  F : dom  F --> X )
2416, 18, 21, 23syl21anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : dom  F --> X )
2524adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  F : dom  F --> X )
2625ffvelrnda 5811 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  x  e.  dom  F )  -> 
( F `  x
)  e.  X )
27 cmetcau.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
2827ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  -.  x  e.  dom  F )  ->  P  e.  X
)
2926, 28ifclda 3711 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  if ( x  e.  dom  F ,  ( F `  x ) ,  P
)  e.  X )
30 cmetcau.6 . . . . . . 7  |-  G  =  ( x  e.  NN  |->  if ( x  e.  dom  F ,  ( F `  x ) ,  P
) )
3129, 30fmptd 5834 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : NN --> X )
32 flfval 17945 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) )  e.  ( Fil `  NN )  /\  G : NN --> X )  ->  (
( J  fLimf  ( NN
filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G )  =  ( J  fLim  ( ( X  FilMap  G ) `
 ( NN filGen (
ZZ>= " NN ) ) ) ) )
338, 14, 31, 32syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  fLimf  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G )  =  ( J  fLim  ( ( X  FilMap  G ) `  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) ) )
34 eqid 2389 . . . . . . . 8  |-  ( NN
filGen ( ZZ>= " NN ) )  =  ( NN filGen (
ZZ>= " NN ) )
3534fmfg 17904 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  dom  CMet  /\  ( ZZ>= " NN )  e.  ( fBas `  NN )  /\  G : NN --> X )  ->  (
( X  FilMap  G ) `
 ( ZZ>= " NN ) )  =  ( ( X  FilMap  G ) `
 ( NN filGen (
ZZ>= " NN ) ) ) )
3616, 12, 31, 35syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  FilMap  G ) `  ( ZZ>= " NN ) )  =  ( ( X  FilMap  G ) `
 ( NN filGen (
ZZ>= " NN ) ) ) )
3736oveq2d 6038 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J  fLim  (
( X  FilMap  G ) `
 ( ZZ>= " NN ) ) )  =  ( J  fLim  (
( X  FilMap  G ) `
 ( NN filGen (
ZZ>= " NN ) ) ) ) )
3833, 37eqtr4d 2424 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( J  fLimf  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G )  =  ( J  fLim  ( ( X  FilMap  G ) `  ( ZZ>= " NN ) ) ) )
39 1rp 10550 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR+
409a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4110, 5, 40iscau3 19104 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. w  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  w ) )  < 
z ) ) ) )
4241simplbda 608 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  ->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. w  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 w ) )  <  z ) )
4319, 42mpdan 650 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. w  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  w ) )  < 
z ) )
44 simp1 957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  A. w  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  w ) )  < 
z )  ->  k  e.  dom  F )
4544ralimi 2726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. w  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  w ) )  < 
z )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  dom  F
)
4645reximi 2758 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. w  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  w ) )  < 
z )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  dom  F
)
4746ralimi 2726 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. w  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 w ) )  <  z )  ->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  dom  F
)
4843, 47syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e. 
dom  F )
49 biidd 229 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  1  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e. 
dom  F  <->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e. 
dom  F ) )
5049rspcv 2993 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  dom  F  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e. 
dom  F ) )
5139, 48, 50mpsyl 61 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e. 
dom  F )
52 dfss3 3283 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ZZ>= `  j )  C_  dom  F  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) k  e.  dom  F )
53 nnsscn 9939 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  C_  CC
5431, 53jctir 525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G : NN --> X  /\  NN  C_  CC ) )
55 elpm2r 6972 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  dom  CMet  /\  CC  e.  _V )  /\  ( G : NN --> X  /\  NN  C_  CC ) )  ->  G  e.  ( X  ^pm  CC ) )
5616, 18, 54, 55syl21anc 1183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  e.  ( X 
^pm  CC ) )
5756adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  G  e.  ( X  ^pm  CC ) )
5819adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  F  e.  ( Cau `  D
) )
59 eqid 2389 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ZZ>= `  j )  =  (
ZZ>= `  j )
605adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
61 nnz 10237 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ZZ )
6261ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  j  e.  ZZ )
63 eqidd 2390 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
64 eqidd 2390 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( F `  m )  =  ( F `  m ) )
6559, 60, 62, 63, 64iscau4 19105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. z  e.  RR+  E. m  e.  (
ZZ>= `  j ) A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  z ) ) ) )
6665simplbda 608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  ->  A. z  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z ) )
6758, 66mpdan 650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  A. z  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z ) )
68 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  j  e.  NN )
6910uztrn2 10437 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j ) )  ->  m  e.  NN )
7068, 69sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  m  e.  NN )
7110uztrn2 10437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  m ) )  -> 
k  e.  NN )
72 fdm 5537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( G : NN --> X  ->  dom  G  =  NN )
7331, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  dom  G  =  NN )
7473adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  dom  G  =  NN )
7574eleq2d 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  (
k  e.  dom  G  <->  k  e.  NN ) )
7675biimpar 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  dom  G )
7776a1d 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  e. 
dom  F  ->  k  e. 
dom  G ) )
78 idd 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `
 k )  e.  X  ->  ( F `  k )  e.  X
) )
79 idd 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
z  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
z ) )
8077, 78, 793anim123d 1261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  z )  -> 
( k  e.  dom  G  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z ) ) )
8171, 80sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z )  ->  ( k  e. 
dom  G  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  z ) ) )
8281anassrs 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  m ) )  ->  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  z )  -> 
( k  e.  dom  G  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z ) ) )
8382ralimdva 2729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( k  e.  dom  G  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z ) ) )
8470, 83syldan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( k  e.  dom  G  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z ) ) )
8584reximdva 2763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  ( E. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  z )  ->  E. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( k  e.  dom  G  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  z ) ) )
8685ralimdv 2730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  ( A. z  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z )  ->  A. z  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( k  e.  dom  G  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z ) ) )
8767, 86mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  A. z  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( k  e.  dom  G  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z ) )
8810uztrn2 10437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  NN )
8968, 88sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  k  e.  NN )
90 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  ( ZZ>=
`  j )  C_  dom  F )
9190sselda 3293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  k  e.  dom  F )
92 iftrue 3690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  dom  F  ->  if ( k  e.  dom  F ,  ( F `  k ) ,  P
)  =  ( F `
 k ) )
9392adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  k  e.  dom  F )  ->  if ( k  e.  dom  F , 
( F `  k
) ,  P )  =  ( F `  k ) )
94 fvex 5684 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F `
 k )  e. 
_V
9593, 94syl6eqel 2477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  k  e.  dom  F )  ->  if ( k  e.  dom  F , 
( F `  k
) ,  P )  e.  _V )
96 eleq1 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  k  ->  (
x  e.  dom  F  <->  k  e.  dom  F ) )
97 fveq2 5670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  k  ->  ( F `  x )  =  ( F `  k ) )
98 eqidd 2390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  k  ->  P  =  P )
9996, 97, 98ifbieq12d 3706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  k  ->  if ( x  e.  dom  F ,  ( F `  x ) ,  P
)  =  if ( k  e.  dom  F ,  ( F `  k ) ,  P
) )
10099, 30fvmptg 5745 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  if ( k  e.  dom  F ,  ( F `  k ) ,  P
)  e.  _V )  ->  ( G `  k
)  =  if ( k  e.  dom  F ,  ( F `  k ) ,  P
) )
10195, 100syldan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( G `  k )  =  if ( k  e.  dom  F ,  ( F `  k ) ,  P
) )
102101, 93eqtrd 2421 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( G `  k )  =  ( F `  k ) )
10389, 91, 102syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( G `  k )  =  ( F `  k ) )
10490sselda 3293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  m  e.  dom  F )
105 elin 3475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( NN  i^i  dom 
F )  <->  ( m  e.  NN  /\  m  e. 
dom  F ) )
10670, 104, 105sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  m  e.  ( NN  i^i  dom  F
) )
107 fveq2 5670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  ( G `  k )  =  ( G `  m ) )
108 fveq2 5670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  k )  =  ( F `  m ) )
109107, 108eqeq12d 2403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  (
( G `  k
)  =  ( F `
 k )  <->  ( G `  m )  =  ( F `  m ) ) )
110 elin 3475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( NN  i^i  dom 
F )  <->  ( k  e.  NN  /\  k  e. 
dom  F ) )
111110, 102sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( NN  i^i  dom 
F )  ->  ( G `  k )  =  ( F `  k ) )
112109, 111vtoclga 2962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( NN  i^i  dom 
F )  ->  ( G `  m )  =  ( F `  m ) )
113106, 112syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( G `  m )  =  ( F `  m ) )
11459, 60, 62, 103, 113iscau4 19105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  ( G  e.  ( Cau `  D )  <->  ( G  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. z  e.  RR+  E. m  e.  (
ZZ>= `  j ) A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( k  e.  dom  G  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  z ) ) ) )
11557, 87, 114mpbir2and 889 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  G  e.  ( Cau `  D
) )
116115expr 599 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( (
ZZ>= `  j )  C_  dom  F  ->  G  e.  ( Cau `  D ) ) )
11752, 116syl5bir 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e. 
dom  F  ->  G  e.  ( Cau `  D
) ) )
118117rexlimdva 2775 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  dom  F  ->  G  e.  ( Cau `  D ) ) )
11951, 118mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Cau `  D ) )
120 eqid 2389 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  FilMap  G ) `  ( ZZ>= " NN ) )  =  ( ( X 
FilMap  G ) `  ( ZZ>=
" NN ) )
12110, 120caucfil 19109 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  1  e.  ZZ  /\  G : NN --> X )  ->  ( G  e.  ( Cau `  D
)  <->  ( ( X 
FilMap  G ) `  ( ZZ>=
" NN ) )  e.  (CauFil `  D
) ) )
1225, 40, 31, 121syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( ( X  FilMap  G ) `  ( ZZ>= " NN ) )  e.  (CauFil `  D ) ) )
123119, 122mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X  FilMap  G ) `  ( ZZ>= " NN ) )  e.  (CauFil `  D ) )
1246cmetcvg 19111 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
( X  FilMap  G ) `
 ( ZZ>= " NN ) )  e.  (CauFil `  D ) )  -> 
( J  fLim  (
( X  FilMap  G ) `
 ( ZZ>= " NN ) ) )  =/=  (/) )
1251, 123, 124syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( J  fLim  (
( X  FilMap  G ) `
 ( ZZ>= " NN ) ) )  =/=  (/) )
12638, 125eqnetrd 2570 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( J  fLimf  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G )  =/=  (/) )
127 n0 3582 . . 3  |-  ( ( ( J  fLimf  ( NN
filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G )  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  ( ( J  fLimf  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G ) )
128126, 127sylib 189 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  y  e.  ( ( J  fLimf  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G ) )
12910, 34lmflf 17960 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  1  e.  ZZ  /\  G : NN
--> X )  ->  ( G ( ~~> t `  J ) y  <->  y  e.  ( ( J  fLimf  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G ) ) )
1308, 40, 31, 129syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G ( ~~> t `  J ) y  <->  y  e.  ( ( J  fLimf  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G ) ) )
13121adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )
132 lmcl 17285 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  G
( ~~> t `  J
) y )  -> 
y  e.  X )
1338, 132sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  y  e.  X )
1346, 5, 10, 40lmmbr3 19086 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G ( ~~> t `  J ) y  <->  ( G  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  y  e.  X  /\  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  (
( G `  k
) D y )  <  z ) ) ) )
135134biimpa 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  ( G  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  y  e.  X  /\  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) ) )
136135simp3d 971 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) )
137 r19.26 2783 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  RR+  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e. 
dom  F  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) )  <->  ( A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  dom  F  /\  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  (
( G `  k
) D y )  <  z ) ) )
13810rexanuz2 12082 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) )  <->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  dom  F  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  (
( G `  k
) D y )  <  z ) ) )
139 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) ) )  ->  k  e.  dom  F )
140102ad2ant2lr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) ) )  ->  ( G `  k )  =  ( F `  k ) )
141 simprr2 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) ) )  ->  ( G `  k )  e.  X )
142140, 141eqeltrrd 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  X )
143140oveq1d 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) ) )  ->  (
( G `  k
) D y )  =  ( ( F `
 k ) D y ) )
144 simprr3 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) ) )  ->  (
( G `  k
) D y )  <  z )
145143, 144eqbrtrrd 4177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) ) )  ->  (
( F `  k
) D y )  <  z )
146139, 142, 1453jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) ) )  ->  (
k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D y )  <  z ) )
147146ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) )  ->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D y )  <  z ) ) )
14888, 147sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( k  e.  dom  F  /\  ( k  e. 
dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  (
( G `  k
) D y )  <  z ) )  ->  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D y )  <  z ) ) )
149148anassrs 630 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) )  ->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D y )  <  z ) ) )
150149ralimdva 2729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D y )  <  z ) ) )
151150reximdva 2763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( k  e. 
dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  (
( G `  k
) D y )  <  z ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D y )  <  z ) ) )
152138, 151syl5bir 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  dom  F  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  (
( G `  k
) D y )  <  z ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D y )  <  z ) ) )
153152ralimdv 2730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  RR+  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  dom  F  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  (
( G `  k
) D y )  <  z ) )  ->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D y )  <  z ) ) )
154137, 153syl5bir 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  dom  F  /\  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  (
( G `  k
) D y )  <  z ) )  ->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D y )  <  z ) ) )
15548, 154mpand 657 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  (
( G `  k
) D y )  <  z )  ->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D y )  <  z ) ) )
156155adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  ( A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z )  ->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D y )  <  z ) ) )
157136, 156mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D y )  <  z ) )
1585adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
1599a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  1  e.  ZZ )
1606, 158, 10, 159lmmbr3 19086 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  ( F ( ~~> t `  J ) y  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  y  e.  X  /\  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D y )  <  z ) ) ) )
161131, 133, 157, 160mpbir3and 1137 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  F
( ~~> t `  J
) y )
162 lmrel 17218 . . . . . . 7  |-  Rel  ( ~~> t `  J )
163162releldmi 5048 . . . . . 6  |-  ( F ( ~~> t `  J
) y  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J ) )
164161, 163syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J ) )
165164ex 424 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G ( ~~> t `  J ) y  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )
166130, 165sylbird 227 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( ( J  fLimf  ( NN
filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G )  ->  F  e.  dom  (
~~> t `  J ) ) )
167166exlimdv 1643 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  y  e.  ( ( J 
fLimf  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G )  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )
168128, 167mpd 15 1  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552   A.wral 2651   E.wrex 2652   _Vcvv 2901    i^i cin 3264    C_ wss 3265   (/)c0 3573   ifcif 3684   class class class wbr 4155    e. cmpt 4209   dom cdm 4820   "cima 4823   -->wf 5392   ` cfv 5396  (class class class)co 6022    ^pm cpm 6957   CCcc 8923   1c1 8926    < clt 9055   NNcn 9934   ZZcz 10216   ZZ>=cuz 10422   RR+crp 10546   * Metcxmt 16614   Metcme 16615   fBascfbas 16617   filGencfg 16618   MetOpencmopn 16619  TopOnctopon 16884   ~~> tclm 17214   Filcfil 17800    FilMap cfm 17888    fLim cflim 17889    fLimf cflf 17890  CauFilccfil 19078   Caucca 19079   CMetcms 19080
This theorem is referenced by:  cmetcau  19115
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-map 6958  df-pm 6959  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-sup 7383  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-q 10509  df-rp 10547  df-xneg 10644  df-xadd 10645  df-xmul 10646  df-ico 10856  df-rest 13579  df-topgen 13596  df-xmet 16621  df-met 16622  df-bl 16623  df-mopn 16624  df-fbas 16625  df-fg 16626  df-top 16888  df-bases 16890  df-topon 16891  df-ntr 17009  df-nei 17087  df-lm 17217  df-fil 17801  df-fm 17893  df-flim 17894  df-flf 17895  df-cfil 19081  df-cau 19082  df-cmet 19083
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