MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmetmet Structured version   Unicode version

Theorem cmetmet 19239
Description: A complete metric space is a metric space. (Contributed by NM, 18-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
cmetmet  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )

Proof of Theorem cmetmet
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . 3  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  D )
21iscmet 19237 . 2  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  <->  ( D  e.  ( Met `  X
)  /\  A. f  e.  (CauFil `  D )
( ( MetOpen `  D
)  fLim  f )  =/=  (/) ) )
32simplbi 447 1  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   (/)c0 3628   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Metcme 16687   MetOpencmopn 16691    fLim cflim 17966  CauFilccfil 19205   CMetcms 19207
This theorem is referenced by:  cmetmeti  19240  cmetcaulem  19241  cmetcau  19242  iscmet2  19247  cmetss  19267  bcthlem2  19278  bcthlem3  19279  bcthlem4  19280  bcthlem5  19281  bcth2  19283  bcth3  19284  cmetcusp1OLD  19305  cmetcusp1  19306  cmetcuspOLD  19307  cmetcusp  19308  minveclem3  19330  ubthlem1  22372  ubthlem2  22373  hlmet  22397  fmcncfil  24317  heiborlem3  26522  heiborlem6  26525  heiborlem8  26527  heiborlem9  26528  heiborlem10  26529  heibor  26530  bfplem1  26531  bfplem2  26532  bfp  26533
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-ov 6084  df-cmet 19210
  Copyright terms: Public domain W3C validator