MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmetmet Unicode version

Theorem cmetmet 18712
Description: A complete metric space is a metric space. (Contributed by NM, 18-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
cmetmet  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )

Proof of Theorem cmetmet
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . 3  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  D )
21iscmet 18710 . 2  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  <->  ( D  e.  ( Met `  X
)  /\  A. f  e.  (CauFil `  D )
( ( MetOpen `  D
)  fLim  f )  =/=  (/) ) )
32simplbi 446 1  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   (/)c0 3455   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Metcme 16370   MetOpencmopn 16372    fLim cflim 17629  CauFilccfil 18678   CMetcms 18680
This theorem is referenced by:  cmetmeti  18713  cmetcaulem  18714  cmetcau  18715  iscmet2  18720  cmetss  18740  bcthlem2  18747  bcthlem3  18748  bcthlem4  18749  bcthlem5  18750  bcth2  18752  bcth3  18753  minveclem3  18793  ubthlem1  21449  ubthlem2  21450  hlmet  21474  heiborlem3  26537  heiborlem6  26540  heiborlem8  26542  heiborlem9  26543  heiborlem10  26544  heibor  26545  bfplem1  26546  bfplem2  26547  bfp  26548
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-cmet 18683
  Copyright terms: Public domain W3C validator