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Theorem cmetss 18740
Description: A subspace of a complete metric space is complete iff it is closed in the parent space. Theorem 1.4-7 of [Kreyszig] p. 30. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cmetss.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
cmetss  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
)  <->  Y  e.  ( Clsd `  J ) ) )

Proof of Theorem cmetss
Dummy variables  x  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmetmet 18712 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
2 metxmet 17899 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
31, 2syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
43adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
5 cmetss.2 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
65mopntopon 17985 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
74, 6syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
8 resss 4979 . . . . . . . 8  |-  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  C_  D
9 dmss 4878 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  C_  D  ->  dom  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  C_  dom  D )
10 dmss 4878 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) 
C_  dom  D  ->  dom 
dom  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  C_  dom  dom 
D )
118, 9, 10mp2b 9 . . . . . . 7  |-  dom  dom  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) 
C_  dom  dom  D
12 cmetmet 18712 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
)  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( Met `  Y ) )
13 metdmdm 17901 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( Met `  Y
)  ->  Y  =  dom  dom  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )
1412, 13syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
)  ->  Y  =  dom  dom  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )
15 metdmdm 17901 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  X  =  dom  dom  D )
161, 15syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  X  =  dom  dom  D )
17 sseq12 3201 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  =  dom  dom  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  /\  X  =  dom  dom 
D )  ->  ( Y  C_  X  <->  dom  dom  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  C_  dom  dom  D ) )
1814, 16, 17syl2anr 464 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  ( Y  C_  X  <->  dom  dom  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  C_  dom  dom  D ) )
1911, 18mpbiri 224 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  Y  C_  X )
20 flimcls 17680 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 Y )  <->  E. f  e.  ( Fil `  X
) ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )
217, 19, 20syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 Y )  <->  E. f  e.  ( Fil `  X
) ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )
22 simprrr 741 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  x  e.  ( J  fLim  f ) )
234adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
245methaus 18066 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Haus )
25 hausflimi 17675 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  Haus  ->  E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) )
2623, 24, 253syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) )
2723, 6syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
28 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  f  e.  ( Fil `  X ) )
29 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  Y  e.  f )
30 flimrest 17678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  f  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  f )  ->  (
( Jt  Y )  fLim  (
ft 
Y ) )  =  ( ( J  fLim  f )  i^i  Y ) )
3127, 28, 29, 30syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  ( ( Jt  Y )  fLim  (
ft 
Y ) )  =  ( ( J  fLim  f )  i^i  Y ) )
3219adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  Y  C_  X
)
33 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  =  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )
34 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  =  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
3533, 5, 34metrest 18070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( Jt  Y
)  =  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
3623, 32, 35syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  ( Jt  Y
)  =  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
3736oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  ( ( Jt  Y )  fLim  (
ft 
Y ) )  =  ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) 
fLim  ( ft  Y ) ) )
3831, 37eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  ( ( J  fLim  f )  i^i 
Y )  =  ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  fLim  ( ft  Y ) ) )
39 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  (
CMet `  Y )
)
405flimcfil 18739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  ( J  fLim  f )
)  ->  f  e.  (CauFil `  D ) )
4123, 22, 40syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  f  e.  (CauFil `  D ) )
42 cfilres 18722 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  f  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  f )  ->  ( f  e.  (CauFil `  D )  <->  ( ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) )
4323, 28, 29, 42syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  ( f  e.  (CauFil `  D )  <->  ( ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) )
4441, 43mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  ( ft  Y
)  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
4534cmetcvg 18711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
)  /\  ( ft  Y
)  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  (
( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  fLim  ( ft  Y ) )  =/=  (/) )
4639, 44, 45syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  ( ( MetOpen
`  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  fLim  ( ft  Y ) )  =/=  (/) )
4738, 46eqnetrd 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  ( ( J  fLim  f )  i^i 
Y )  =/=  (/) )
48 n0 3464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  fLim  f
)  i^i  Y )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( ( J  fLim  f )  i^i  Y ) )
49 elin 3358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( J 
fLim  f )  i^i 
Y )  <->  ( x  e.  ( J  fLim  f
)  /\  x  e.  Y ) )
5049exbii 1569 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x  x  e.  ( ( J  fLim  f
)  i^i  Y )  <->  E. x ( x  e.  ( J  fLim  f
)  /\  x  e.  Y ) )
5148, 50bitri 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  fLim  f
)  i^i  Y )  =/=  (/)  <->  E. x ( x  e.  ( J  fLim  f )  /\  x  e.  Y ) )
5247, 51sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  E. x
( x  e.  ( J  fLim  f )  /\  x  e.  Y
) )
53 mopick 2205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E* x  x  e.  ( J  fLim  f
)  /\  E. x
( x  e.  ( J  fLim  f )  /\  x  e.  Y
) )  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  f )  ->  x  e.  Y )
)
5426, 52, 53syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  ( x  e.  ( J  fLim  f
)  ->  x  e.  Y ) )
5522, 54mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  x  e.  Y )
5655expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  f  e.  ( Fil `  X
) )  ->  (
( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f )
)  ->  x  e.  Y ) )
5756rexlimdva 2667 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  ( E. f  e.  ( Fil `  X ) ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) )  ->  x  e.  Y )
)
5821, 57sylbid 206 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 Y )  ->  x  e.  Y )
)
5958ssrdv 3185 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  (
( cls `  J
) `  Y )  C_  Y )
605mopntop 17986 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Top )
614, 60syl 15 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  J  e.  Top )
625mopnuni 17987 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
634, 62syl 15 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  X  =  U. J )
6419, 63sseqtrd 3214 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  Y  C_ 
U. J )
65 eqid 2283 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
6665iscld4 16802 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  U. J )  ->  ( Y  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( ( cls `  J ) `  Y
)  C_  Y )
)
6761, 64, 66syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  ( Y  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( ( cls `  J ) `  Y )  C_  Y
) )
6859, 67mpbird 223 . 2  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  Y  e.  ( Clsd `  J
) )
691adantr 451 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
7065cldss 16766 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  ( Clsd `  J
)  ->  Y  C_  U. J
)
7170adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  Y  C_ 
U. J )
7269, 2, 623syl 18 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  X  =  U. J )
7371, 72sseqtr4d 3215 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  Y  C_  X )
74 metres2 17927 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( Met `  Y
) )
7569, 73, 74syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( Met `  Y
) )
763ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
7773adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  Y  C_  X )
7876, 77, 35syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( Jt  Y )  =  (
MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )
7978eqcomd 2288 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( MetOpen
`  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  =  ( Jt  Y ) )
80 metxmet 17899 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( Met `  Y
)  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( * Met `  Y
) )
8175, 80syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( * Met `  Y
) )
82 cfilfil 18693 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( * Met `  Y )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  f  e.  ( Fil `  Y ) )
8381, 82sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  f  e.  ( Fil `  Y
) )
84 elfvdm 5554 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  X  e.  dom  CMet )
8584ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  X  e.  dom  CMet )
86 trfg 17586 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  ( Fil `  Y )  /\  Y  C_  X  /\  X  e. 
dom  CMet )  ->  (
( X filGen f )t  Y )  =  f )
8783, 77, 85, 86syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  (
( X filGen f )t  Y )  =  f )
8887eqcomd 2288 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  f  =  ( ( X
filGen f )t  Y ) )
8979, 88oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  (
( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  fLim  f )  =  ( ( Jt  Y )  fLim  (
( X filGen f )t  Y ) ) )
9076, 6syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
91 filfbas 17543 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( Fil `  Y
)  ->  f  e.  ( fBas `  Y )
)
9283, 91syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  f  e.  ( fBas `  Y
) )
93 filsspw 17546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  ( Fil `  Y
)  ->  f  C_  ~P Y )
9483, 93syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  f  C_ 
~P Y )
95 sspwb 4223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y 
C_  X  <->  ~P Y  C_ 
~P X )
9677, 95sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ~P Y  C_  ~P X )
9794, 96sstrd 3189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  f  C_ 
~P X )
98 fbasweak 17560 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  ( fBas `  Y )  /\  f  C_ 
~P X  /\  X  e.  dom  CMet )  ->  f  e.  ( fBas `  X
) )
9992, 97, 85, 98syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  f  e.  ( fBas `  X
) )
100 fgcl 17573 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( X filGen f )  e.  ( Fil `  X ) )
10199, 100syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( X filGen f )  e.  ( Fil `  X
) )
102 ssfg 17567 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( fBas `  X
)  ->  f  C_  ( X filGen f ) )
10399, 102syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  f  C_  ( X filGen f ) )
104 filtop 17550 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( Fil `  Y
)  ->  Y  e.  f )
10583, 104syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  Y  e.  f )
106103, 105sseldd 3181 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  Y  e.  ( X filGen f ) )
107 flimrest 17678 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( X filGen f )  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  ( X filGen f ) )  ->  ( ( Jt  Y )  fLim  ( ( X filGen f )t  Y ) )  =  ( ( J  fLim  ( X filGen f ) )  i^i 
Y ) )
10890, 101, 106, 107syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  (
( Jt  Y )  fLim  (
( X filGen f )t  Y ) )  =  ( ( J  fLim  ( X filGen f ) )  i^i  Y ) )
109 flimclsi 17673 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  ( X filGen f )  ->  ( J  fLim  ( X filGen f ) )  C_  ( ( cls `  J ) `  Y ) )
110106, 109syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( J  fLim  ( X filGen f ) )  C_  (
( cls `  J
) `  Y )
)
111 cldcls 16779 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  Y )  =  Y )
112111ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  (
( cls `  J
) `  Y )  =  Y )
113110, 112sseqtrd 3214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( J  fLim  ( X filGen f ) )  C_  Y
)
114 df-ss 3166 . . . . . . 7  |-  ( ( J  fLim  ( X filGen f ) )  C_  Y 
<->  ( ( J  fLim  ( X filGen f ) )  i^i  Y )  =  ( J  fLim  ( X filGen f ) ) )
115113, 114sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  (
( J  fLim  ( X filGen f ) )  i^i  Y )  =  ( J  fLim  ( X filGen f ) ) )
11689, 108, 1153eqtrd 2319 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  (
( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  fLim  f )  =  ( J 
fLim  ( X filGen f ) ) )
117 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  D  e.  ( CMet `  X
) )
11869, 2syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
119 cfilresi 18721 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( X filGen f )  e.  (CauFil `  D )
)
120118, 119sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( X filGen f )  e.  (CauFil `  D )
)
1215cmetcvg 18711 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( X filGen f )  e.  (CauFil `  D )
)  ->  ( J  fLim  ( X filGen f ) )  =/=  (/) )
122117, 120, 121syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( J  fLim  ( X filGen f ) )  =/=  (/) )
123116, 122eqnetrd 2464 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  (
( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  fLim  f )  =/=  (/) )
124123ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  A. f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  fLim  f )  =/=  (/) )
12534iscmet 18710 . . 3  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
)  <->  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( Met `  Y )  /\  A. f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  fLim  f )  =/=  (/) ) )
12675, 124, 125sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )
12768, 126impbida 805 1  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
)  <->  Y  e.  ( Clsd `  J ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   E*wmo 2144    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827    X. cxp 4687   dom cdm 4689    |` cres 4691   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ↾t crest 13325   * Metcxmt 16369   Metcme 16370   MetOpencmopn 16372   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   Clsdccld 16753   clsccl 16755   Hauscha 17036   fBascfbas 17518   filGencfg 17519   Filcfil 17540    fLim cflim 17629  CauFilccfil 18678   CMetcms 18680
This theorem is referenced by:  recmet  18745  cmsss  18772  bnsscmcl  21447  rrnheibor  26561
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ico 10662  df-icc 10663  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-haus 17043  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-flim 17634  df-cfil 18681  df-cmet 18683
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