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Theorem cmetss 18793
Description: A subspace of a complete metric space is complete iff it is closed in the parent space. Theorem 1.4-7 of [Kreyszig] p. 30. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cmetss.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
cmetss  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
)  <->  Y  e.  ( Clsd `  J ) ) )

Proof of Theorem cmetss
Dummy variables  x  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmetmet 18765 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
2 metxmet 17951 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
31, 2syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
43adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
5 cmetss.2 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
65mopntopon 18037 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
74, 6syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
8 resss 5016 . . . . . . . 8  |-  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  C_  D
9 dmss 4915 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  C_  D  ->  dom  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  C_  dom  D )
10 dmss 4915 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) 
C_  dom  D  ->  dom 
dom  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  C_  dom  dom 
D )
118, 9, 10mp2b 9 . . . . . . 7  |-  dom  dom  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) 
C_  dom  dom  D
12 cmetmet 18765 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
)  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( Met `  Y ) )
13 metdmdm 17953 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( Met `  Y
)  ->  Y  =  dom  dom  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )
1412, 13syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
)  ->  Y  =  dom  dom  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )
15 metdmdm 17953 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  X  =  dom  dom  D )
161, 15syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  X  =  dom  dom  D )
17 sseq12 3235 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  =  dom  dom  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  /\  X  =  dom  dom 
D )  ->  ( Y  C_  X  <->  dom  dom  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  C_  dom  dom  D ) )
1814, 16, 17syl2anr 464 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  ( Y  C_  X  <->  dom  dom  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  C_  dom  dom  D ) )
1911, 18mpbiri 224 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  Y  C_  X )
20 flimcls 17732 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 Y )  <->  E. f  e.  ( Fil `  X
) ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )
217, 19, 20syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 Y )  <->  E. f  e.  ( Fil `  X
) ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )
22 simprrr 741 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  x  e.  ( J  fLim  f ) )
234adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
245methaus 18118 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Haus )
25 hausflimi 17727 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  Haus  ->  E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) )
2623, 24, 253syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) )
2723, 6syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
28 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  f  e.  ( Fil `  X ) )
29 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  Y  e.  f )
30 flimrest 17730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  f  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  f )  ->  (
( Jt  Y )  fLim  (
ft 
Y ) )  =  ( ( J  fLim  f )  i^i  Y ) )
3127, 28, 29, 30syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  ( ( Jt  Y )  fLim  (
ft 
Y ) )  =  ( ( J  fLim  f )  i^i  Y ) )
3219adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  Y  C_  X
)
33 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  =  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )
34 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  =  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
3533, 5, 34metrest 18122 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( Jt  Y
)  =  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
3623, 32, 35syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  ( Jt  Y
)  =  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
3736oveq1d 5915 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  ( ( Jt  Y )  fLim  (
ft 
Y ) )  =  ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) 
fLim  ( ft  Y ) ) )
3831, 37eqtr3d 2350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  ( ( J  fLim  f )  i^i 
Y )  =  ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  fLim  ( ft  Y ) ) )
39 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  (
CMet `  Y )
)
405flimcfil 18792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  ( J  fLim  f )
)  ->  f  e.  (CauFil `  D ) )
4123, 22, 40syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  f  e.  (CauFil `  D ) )
42 cfilres 18775 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  f  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  f )  ->  ( f  e.  (CauFil `  D )  <->  ( ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) )
4323, 28, 29, 42syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  ( f  e.  (CauFil `  D )  <->  ( ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) )
4441, 43mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  ( ft  Y
)  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
4534cmetcvg 18764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
)  /\  ( ft  Y
)  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  (
( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  fLim  ( ft  Y ) )  =/=  (/) )
4639, 44, 45syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  ( ( MetOpen
`  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  fLim  ( ft  Y ) )  =/=  (/) )
4738, 46eqnetrd 2497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  ( ( J  fLim  f )  i^i 
Y )  =/=  (/) )
48 n0 3498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  fLim  f
)  i^i  Y )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( ( J  fLim  f )  i^i  Y ) )
49 elin 3392 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( J 
fLim  f )  i^i 
Y )  <->  ( x  e.  ( J  fLim  f
)  /\  x  e.  Y ) )
5049exbii 1573 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x  x  e.  ( ( J  fLim  f
)  i^i  Y )  <->  E. x ( x  e.  ( J  fLim  f
)  /\  x  e.  Y ) )
5148, 50bitri 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  fLim  f
)  i^i  Y )  =/=  (/)  <->  E. x ( x  e.  ( J  fLim  f )  /\  x  e.  Y ) )
5247, 51sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  E. x
( x  e.  ( J  fLim  f )  /\  x  e.  Y
) )
53 mopick 2238 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E* x  x  e.  ( J  fLim  f
)  /\  E. x
( x  e.  ( J  fLim  f )  /\  x  e.  Y
) )  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  f )  ->  x  e.  Y )
)
5426, 52, 53syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  ( x  e.  ( J  fLim  f
)  ->  x  e.  Y ) )
5522, 54mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  x  e.  Y )
5655expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  f  e.  ( Fil `  X
) )  ->  (
( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f )
)  ->  x  e.  Y ) )
5756rexlimdva 2701 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  ( E. f  e.  ( Fil `  X ) ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) )  ->  x  e.  Y )
)
5821, 57sylbid 206 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 Y )  ->  x  e.  Y )
)
5958ssrdv 3219 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  (
( cls `  J
) `  Y )  C_  Y )
605mopntop 18038 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Top )
614, 60syl 15 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  J  e.  Top )
625mopnuni 18039 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
634, 62syl 15 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  X  =  U. J )
6419, 63sseqtrd 3248 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  Y  C_ 
U. J )
65 eqid 2316 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
6665iscld4 16858 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  U. J )  ->  ( Y  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( ( cls `  J ) `  Y
)  C_  Y )
)
6761, 64, 66syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  ( Y  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( ( cls `  J ) `  Y )  C_  Y
) )
6859, 67mpbird 223 . 2  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  Y  e.  ( Clsd `  J
) )
691adantr 451 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
7065cldss 16822 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  ( Clsd `  J
)  ->  Y  C_  U. J
)
7170adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  Y  C_ 
U. J )
7269, 2, 623syl 18 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  X  =  U. J )
7371, 72sseqtr4d 3249 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  Y  C_  X )
74 metres2 17979 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( Met `  Y
) )
7569, 73, 74syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( Met `  Y
) )
763ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
7773adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  Y  C_  X )
7876, 77, 35syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( Jt  Y )  =  (
MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )
7978eqcomd 2321 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( MetOpen
`  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  =  ( Jt  Y ) )
80 metxmet 17951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( Met `  Y
)  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( * Met `  Y
) )
8175, 80syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( * Met `  Y
) )
82 cfilfil 18746 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( * Met `  Y )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  f  e.  ( Fil `  Y ) )
8381, 82sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  f  e.  ( Fil `  Y
) )
84 elfvdm 5592 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  X  e.  dom  CMet )
8584ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  X  e.  dom  CMet )
86 trfg 17638 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  ( Fil `  Y )  /\  Y  C_  X  /\  X  e. 
dom  CMet )  ->  (
( X filGen f )t  Y )  =  f )
8783, 77, 85, 86syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  (
( X filGen f )t  Y )  =  f )
8887eqcomd 2321 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  f  =  ( ( X
filGen f )t  Y ) )
8979, 88oveq12d 5918 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  (
( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  fLim  f )  =  ( ( Jt  Y )  fLim  (
( X filGen f )t  Y ) ) )
9076, 6syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
91 filfbas 17595 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( Fil `  Y
)  ->  f  e.  ( fBas `  Y )
)
9283, 91syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  f  e.  ( fBas `  Y
) )
93 filsspw 17598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  ( Fil `  Y
)  ->  f  C_  ~P Y )
9483, 93syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  f  C_ 
~P Y )
95 sspwb 4260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y 
C_  X  <->  ~P Y  C_ 
~P X )
9677, 95sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ~P Y  C_  ~P X )
9794, 96sstrd 3223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  f  C_ 
~P X )
98 fbasweak 17612 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  ( fBas `  Y )  /\  f  C_ 
~P X  /\  X  e.  dom  CMet )  ->  f  e.  ( fBas `  X
) )
9992, 97, 85, 98syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  f  e.  ( fBas `  X
) )
100 fgcl 17625 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( X filGen f )  e.  ( Fil `  X ) )
10199, 100syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( X filGen f )  e.  ( Fil `  X
) )
102 ssfg 17619 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( fBas `  X
)  ->  f  C_  ( X filGen f ) )
10399, 102syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  f  C_  ( X filGen f ) )
104 filtop 17602 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( Fil `  Y
)  ->  Y  e.  f )
10583, 104syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  Y  e.  f )
106103, 105sseldd 3215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  Y  e.  ( X filGen f ) )
107 flimrest 17730 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( X filGen f )  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  ( X filGen f ) )  ->  ( ( Jt  Y )  fLim  ( ( X filGen f )t  Y ) )  =  ( ( J  fLim  ( X filGen f ) )  i^i 
Y ) )
10890, 101, 106, 107syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  (
( Jt  Y )  fLim  (
( X filGen f )t  Y ) )  =  ( ( J  fLim  ( X filGen f ) )  i^i  Y ) )
109 flimclsi 17725 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  ( X filGen f )  ->  ( J  fLim  ( X filGen f ) )  C_  ( ( cls `  J ) `  Y ) )
110106, 109syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( J  fLim  ( X filGen f ) )  C_  (
( cls `  J
) `  Y )
)
111 cldcls 16835 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  Y )  =  Y )
112111ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  (
( cls `  J
) `  Y )  =  Y )
113110, 112sseqtrd 3248 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( J  fLim  ( X filGen f ) )  C_  Y
)
114 df-ss 3200 . . . . . . 7  |-  ( ( J  fLim  ( X filGen f ) )  C_  Y 
<->  ( ( J  fLim  ( X filGen f ) )  i^i  Y )  =  ( J  fLim  ( X filGen f ) ) )
115113, 114sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  (
( J  fLim  ( X filGen f ) )  i^i  Y )  =  ( J  fLim  ( X filGen f ) ) )
11689, 108, 1153eqtrd 2352 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  (
( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  fLim  f )  =  ( J 
fLim  ( X filGen f ) ) )
117 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  D  e.  ( CMet `  X
) )
11869, 2syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
119 cfilresi 18774 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( X filGen f )  e.  (CauFil `  D )
)
120118, 119sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( X filGen f )  e.  (CauFil `  D )
)
1215cmetcvg 18764 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( X filGen f )  e.  (CauFil `  D )
)  ->  ( J  fLim  ( X filGen f ) )  =/=  (/) )
122117, 120, 121syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( J  fLim  ( X filGen f ) )  =/=  (/) )
123116, 122eqnetrd 2497 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  (
( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  fLim  f )  =/=  (/) )
124123ralrimiva 2660 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  A. f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  fLim  f )  =/=  (/) )
12534iscmet 18763 . . 3  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
)  <->  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( Met `  Y )  /\  A. f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  fLim  f )  =/=  (/) ) )
12675, 124, 125sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )
12768, 126impbida 805 1  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
)  <->  Y  e.  ( Clsd `  J ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1532    = wceq 1633    e. wcel 1701   E*wmo 2177    =/= wne 2479   A.wral 2577   E.wrex 2578    i^i cin 3185    C_ wss 3186   (/)c0 3489   ~Pcpw 3659   U.cuni 3864    X. cxp 4724   dom cdm 4726    |` cres 4728   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   ↾t crest 13374   * Metcxmt 16418   Metcme 16419   fBascfbas 16421   filGencfg 16422   MetOpencmopn 16423   Topctop 16687  TopOnctopon 16688   Clsdccld 16809   clsccl 16811   Hauscha 17092   Filcfil 17592    fLim cflim 17681  CauFilccfil 18731   CMetcms 18733
This theorem is referenced by:  recmet  18798  cmsss  18825  bnsscmcl  21502  rrnheibor  25709
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-iin 3945  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-fi 7210  df-sup 7239  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-q 10364  df-rp 10402  df-xneg 10499  df-xadd 10500  df-xmul 10501  df-ico 10709  df-icc 10710  df-rest 13376  df-topgen 13393  df-xmet 16425  df-met 16426  df-bl 16427  df-mopn 16428  df-fbas 16429  df-fg 16430  df-top 16692  df-bases 16694  df-topon 16695  df-cld 16812  df-ntr 16813  df-cls 16814  df-nei 16891  df-haus 17099  df-fil 17593  df-flim 17686  df-cfil 18734  df-cmet 18736
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