MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmnmnd Structured version   Unicode version

Theorem cmnmnd 15419
Description: A commutative monoid is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
cmnmnd  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )

Proof of Theorem cmnmnd
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . 3  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
2 eqid 2435 . . 3  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
31, 2iscmn 15411 . 2  |-  ( G  e. CMnd 
<->  ( G  e.  Mnd  /\ 
A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) )
43simplbi 447 1  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   Mndcmnd 14676  CMndccmn 15404
This theorem is referenced by:  cmn32  15422  cmn4  15423  cmn12  15424  mulgnn0di  15440  mulgmhm  15442  prdscmnd  15468  gsumres  15512  gsumcl  15513  gsumf1o  15514  gsumsubmcl  15516  gsumadd  15520  gsumsplit  15522  gsummhm  15526  gsummulglem  15528  gsuminv  15533  gsumunsn  15536  gsum2d  15538  prdsgsum  15544  mplcoe2  16522  psrbagev1  16558  ply1coe  16676  tmdgsum  18117  tmdgsum2  18118  tsms0  18163  tsmsmhm  18167  tsmsadd  18168  tgptsmscls  18171  tsmssplit  18173  tsmsxplem1  18174  tsmsxplem2  18175  imasdsf1olem  18395  evlslem3  19927  evlslem1  19928  lgseisenlem4  21128  xrge00  24200  xrge0iifmhm  24317  xrge0tmdOLD  24323  esum0  24436  esumsn  24448  esumcocn  24462  gsumvsmul  26736  frlmgsum  27200  frlmup2  27219  islindf4  27276
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-iota 5410  df-fv 5454  df-ov 6076  df-cmn 15406
  Copyright terms: Public domain W3C validator