MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmnmnd Unicode version

Theorem cmnmnd 15104
Description: A commutative monoid is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
cmnmnd  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )

Proof of Theorem cmnmnd
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . 3  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
2 eqid 2283 . . 3  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
31, 2iscmn 15096 . 2  |-  ( G  e. CMnd 
<->  ( G  e.  Mnd  /\ 
A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) )
43simplbi 446 1  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   Mndcmnd 14361  CMndccmn 15089
This theorem is referenced by:  cmn32  15107  cmn4  15108  cmn12  15109  mulgnn0di  15125  mulgmhm  15127  prdscmnd  15153  gsumres  15197  gsumcl  15198  gsumf1o  15199  gsumsubmcl  15201  gsumadd  15205  gsumsplit  15207  gsummhm  15211  gsummulglem  15213  gsuminv  15218  gsumunsn  15221  gsum2d  15223  prdsgsum  15229  mplcoe2  16211  psrbagev1  16247  ply1coe  16368  tmdgsum  17778  tmdgsum2  17779  tsms0  17824  tsmsmhm  17828  tsmsadd  17829  tgptsmscls  17832  tsmssplit  17834  tsmsxplem1  17835  tsmsxplem2  17836  imasdsf1olem  17937  evlslem3  19398  evlslem1  19399  lgseisenlem4  20591  xrge00  23311  xrge0iifmhm  23321  xrge0tmdALT  23327  esum0  23428  esumsn  23437  esumcocn  23448  gsumvsmul  26764  frlmgsum  27232  frlmup2  27251  islindf4  27308
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-iota 5219  df-fv 5263  df-ov 5861  df-cmn 15091
  Copyright terms: Public domain W3C validator