MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmnmnd Unicode version

Theorem cmnmnd 15355
Description: A commutative monoid is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
cmnmnd  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )

Proof of Theorem cmnmnd
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2388 . . 3  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
2 eqid 2388 . . 3  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
31, 2iscmn 15347 . 2  |-  ( G  e. CMnd 
<->  ( G  e.  Mnd  /\ 
A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) )
43simplbi 447 1  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   Basecbs 13397   +g cplusg 13457   Mndcmnd 14612  CMndccmn 15340
This theorem is referenced by:  cmn32  15358  cmn4  15359  cmn12  15360  mulgnn0di  15376  mulgmhm  15378  prdscmnd  15404  gsumres  15448  gsumcl  15449  gsumf1o  15450  gsumsubmcl  15452  gsumadd  15456  gsumsplit  15458  gsummhm  15462  gsummulglem  15464  gsuminv  15469  gsumunsn  15472  gsum2d  15474  prdsgsum  15480  mplcoe2  16458  psrbagev1  16494  ply1coe  16612  tmdgsum  18047  tmdgsum2  18048  tsms0  18093  tsmsmhm  18097  tsmsadd  18098  tgptsmscls  18101  tsmssplit  18103  tsmsxplem1  18104  tsmsxplem2  18105  imasdsf1olem  18312  evlslem3  19803  evlslem1  19804  lgseisenlem4  21004  xrge00  24038  xrge0iifmhm  24130  xrge0tmdOLD  24136  esum0  24241  esumsn  24253  esumcocn  24267  gsumvsmul  26437  frlmgsum  26902  frlmup2  26921  islindf4  26978
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-iota 5359  df-fv 5403  df-ov 6024  df-cmn 15342
  Copyright terms: Public domain W3C validator