MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmntrcld Unicode version

Theorem cmntrcld 16800
Description: The complement of an interior is closed. (Contributed by NM, 1-Oct-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
cmntrcld  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( X  \  (
( int `  J
) `  S )
)  e.  ( Clsd `  J ) )

Proof of Theorem cmntrcld
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
21ntrval2 16788 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  S )  =  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  ( X  \  S ) ) ) )
32difeq2d 3294 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( X  \  (
( int `  J
) `  S )
)  =  ( X 
\  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  ( X  \  S ) ) ) ) )
4 difss 3303 . . . . . 6  |-  ( X 
\  S )  C_  X
51clsss3 16796 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( X  \  S ) 
C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( X  \  S ) )  C_  X )
64, 5mpan2 652 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( cls `  J
) `  ( X  \  S ) )  C_  X )
7 dfss4 3403 . . . . 5  |-  ( ( ( cls `  J
) `  ( X  \  S ) )  C_  X 
<->  ( X  \  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  ( X  \  S ) ) ) )  =  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  S ) ) )
86, 7sylib 188 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( X  \  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  ( X  \  S ) ) ) )  =  ( ( cls `  J ) `
 ( X  \  S ) ) )
91clscld 16784 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( X  \  S ) 
C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( X  \  S ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
104, 9mpan2 652 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( cls `  J
) `  ( X  \  S ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
118, 10eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( X  \  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  ( X  \  S ) ) ) )  e.  ( Clsd `  J ) )
1211adantr 451 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( X  \  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  ( X  \  S ) ) ) )  e.  (
Clsd `  J )
)
133, 12eqeltrd 2357 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( X  \  (
( int `  J
) `  S )
)  e.  ( Clsd `  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    \ cdif 3149    C_ wss 3152   U.cuni 3827   ` cfv 5255   Topctop 16631   Clsdccld 16753   intcnt 16754   clsccl 16755
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-top 16636  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758
  Copyright terms: Public domain W3C validator