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Theorem cmpcld 17129
Description: A closed subset of a compact space is compact. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Jun-2009.)
Assertion
Ref Expression
cmpcld  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( Jt  S )  e.  Comp )

Proof of Theorem cmpcld
Dummy variables  t 
s  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2791 . . . . 5  |-  s  e. 
_V
21elpw 3631 . . . 4  |-  ( s  e.  ~P J  <->  s  C_  J )
3 simp1l 979 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  J  e.  Comp )
4 simp2 956 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  -> 
s  C_  J )
5 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. J  =  U. J
65cldopn 16768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( U. J  \  S )  e.  J )
76adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. J  \  S )  e.  J )
873ad2ant1 976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  -> 
( U. J  \  S )  e.  J
)
98snssd 3760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  { ( U. J  \  S ) }  C_  J )
104, 9unssd 3351 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  -> 
( s  u.  {
( U. J  \  S ) } ) 
C_  J )
11 simp3 957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  S  C_  U. s )
12 uniss 3848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s 
C_  J  ->  U. s  C_ 
U. J )
13123ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  U. s  C_  U. J
)
1411, 13sstrd 3189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  S  C_  U. J )
15 undif 3534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  U. J  <->  ( S  u.  ( U. J  \  S ) )  = 
U. J )
1614, 15sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  -> 
( S  u.  ( U. J  \  S ) )  =  U. J
)
17 unss1 3344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  U. s  ->  ( S  u.  ( U. J  \  S ) ) 
C_  ( U. s  u.  ( U. J  \  S ) ) )
18173ad2ant3 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  -> 
( S  u.  ( U. J  \  S ) )  C_  ( U. s  u.  ( U. J  \  S ) ) )
1916, 18eqsstr3d 3213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  U. J  C_  ( U. s  u.  ( U. J  \  S ) ) )
20 difss 3303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. J  \  S )  C_  U. J
2113, 20jctir 524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  -> 
( U. s  C_  U. J  /\  ( U. J  \  S )  C_  U. J ) )
22 unss 3349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U. s  C_  U. J  /\  ( U. J  \  S )  C_  U. J
)  <->  ( U. s  u.  ( U. J  \  S ) )  C_  U. J )
2321, 22sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  -> 
( U. s  u.  ( U. J  \  S ) )  C_  U. J )
2419, 23eqssd 3196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  U. J  =  ( U. s  u.  ( U. J  \  S ) ) )
25 uniexg 4517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  Comp  ->  U. J  e.  _V )
2625ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J )  ->  U. J  e.  _V )
27263adant3 975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  U. J  e.  _V )
28 difexg 4162 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. J  e.  _V  ->  ( U. J  \  S
)  e.  _V )
29 unisng 3844 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U. J  \  S
)  e.  _V  ->  U. { ( U. J  \  S ) }  =  ( U. J  \  S
) )
3027, 28, 293syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  U. { ( U. J  \  S ) }  =  ( U. J  \  S
) )
3130uneq2d 3329 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  -> 
( U. s  u. 
U. { ( U. J  \  S ) } )  =  ( U. s  u.  ( U. J  \  S ) ) )
3224, 31eqtr4d 2318 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  U. J  =  ( U. s  u.  U. {
( U. J  \  S ) } ) )
33 uniun 3846 . . . . . . . 8  |-  U. (
s  u.  { ( U. J  \  S
) } )  =  ( U. s  u. 
U. { ( U. J  \  S ) } )
3432, 33syl6eqr 2333 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  U. J  =  U. ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } ) )
355cmpcov 17116 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  (
s  u.  { ( U. J  \  S
) } )  C_  J  /\  U. J  = 
U. ( s  u. 
{ ( U. J  \  S ) } ) )  ->  E. u  e.  ( ~P ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  i^i  Fin ) U. J  =  U. u )
363, 10, 34, 35syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  E. u  e.  ( ~P ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  i^i  Fin ) U. J  =  U. u
)
37 elfpw 7157 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( ~P (
s  u.  { ( U. J  \  S
) } )  i^i 
Fin )  <->  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin ) )
38 simp2l 981 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  ->  u  C_  ( s  u. 
{ ( U. J  \  S ) } ) )
39 uncom 3319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  =  ( { ( U. J  \  S ) }  u.  s )
4038, 39syl6sseq 3224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  ->  u  C_  ( { ( U. J  \  S
) }  u.  s
) )
41 ssundif 3537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u 
C_  ( { ( U. J  \  S
) }  u.  s
)  <->  ( u  \  { ( U. J  \  S ) } ) 
C_  s )
4240, 41sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  -> 
( u  \  {
( U. J  \  S ) } ) 
C_  s )
43 diffi 7089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  Fin  ->  (
u  \  { ( U. J  \  S ) } )  e.  Fin )
4443ad2antll 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin ) )  ->  (
u  \  { ( U. J  \  S ) } )  e.  Fin )
45443adant3 975 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  -> 
( u  \  {
( U. J  \  S ) } )  e.  Fin )
46 elfpw 7157 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  \  { ( U. J  \  S
) } )  e.  ( ~P s  i^i 
Fin )  <->  ( (
u  \  { ( U. J  \  S ) } )  C_  s  /\  ( u  \  {
( U. J  \  S ) } )  e.  Fin ) )
4742, 45, 46sylanbrc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  -> 
( u  \  {
( U. J  \  S ) } )  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )
48113ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  ->  S  C_  U. s )
49133ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  ->  U. s  C_  U. J
)
50 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  ->  U. J  =  U. u )
5149, 50sseqtrd 3214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  ->  U. s  C_  U. u
)
5248, 51sstrd 3189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  ->  S  C_  U. u )
5352sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  v  e.  U. u
)
54 eluni 3830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  U. u  <->  E. w
( v  e.  w  /\  w  e.  u
) )
5553, 54sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  E. w ( v  e.  w  /\  w  e.  u ) )
56 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  w  /\  w  e.  u )  ->  v  e.  w )
5756a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( ( v  e.  w  /\  w  e.  u )  ->  v  e.  w ) )
58 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v  e.  w  /\  w  e.  u )  ->  w  e.  u )
5958a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( ( v  e.  w  /\  w  e.  u )  ->  w  e.  u ) )
60 elndif 3300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  e.  S  ->  -.  v  e.  ( U. J  \  S ) )
6160ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  /\  v  e.  w
)  ->  -.  v  e.  ( U. J  \  S ) )
62 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  ( U. J  \  S )  ->  (
v  e.  w  <->  v  e.  ( U. J  \  S
) ) )
6362biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  ( U. J  \  S )  ->  (
v  e.  w  -> 
v  e.  ( U. J  \  S ) ) )
6463a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( w  =  ( U. J  \  S
)  ->  ( v  e.  w  ->  v  e.  ( U. J  \  S ) ) ) )
6564com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( v  e.  w  ->  ( w  =  ( U. J  \  S
)  ->  v  e.  ( U. J  \  S
) ) ) )
6665imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  /\  v  e.  w
)  ->  ( w  =  ( U. J  \  S )  ->  v  e.  ( U. J  \  S ) ) )
6761, 66mtod 168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  /\  v  e.  w
)  ->  -.  w  =  ( U. J  \  S ) )
6867ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( v  e.  w  ->  -.  w  =  ( U. J  \  S
) ) )
6968adantrd 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( ( v  e.  w  /\  w  e.  u )  ->  -.  w  =  ( U. J  \  S ) ) )
70 elsn 3655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  { ( U. J  \  S ) }  <-> 
w  =  ( U. J  \  S ) )
7170notbii 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  w  e.  { ( U. J  \  S
) }  <->  -.  w  =  ( U. J  \  S ) )
7269, 71syl6ibr 218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( ( v  e.  w  /\  w  e.  u )  ->  -.  w  e.  { ( U. J  \  S ) } ) )
7359, 72jcad 519 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( ( v  e.  w  /\  w  e.  u )  ->  (
w  e.  u  /\  -.  w  e.  { ( U. J  \  S
) } ) ) )
74 eldif 3162 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  ( u  \  { ( U. J  \  S ) } )  <-> 
( w  e.  u  /\  -.  w  e.  {
( U. J  \  S ) } ) )
7573, 74syl6ibr 218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( ( v  e.  w  /\  w  e.  u )  ->  w  e.  ( u  \  {
( U. J  \  S ) } ) ) )
7657, 75jcad 519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( ( v  e.  w  /\  w  e.  u )  ->  (
v  e.  w  /\  w  e.  ( u  \  { ( U. J  \  S ) } ) ) ) )
7776eximdv 1608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( E. w ( v  e.  w  /\  w  e.  u )  ->  E. w ( v  e.  w  /\  w  e.  ( u  \  {
( U. J  \  S ) } ) ) ) )
7855, 77mpd 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  E. w ( v  e.  w  /\  w  e.  ( u  \  {
( U. J  \  S ) } ) ) )
7978ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  -> 
( v  e.  S  ->  E. w ( v  e.  w  /\  w  e.  ( u  \  {
( U. J  \  S ) } ) ) ) )
80 eluni 3830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  U. ( u 
\  { ( U. J  \  S ) } )  <->  E. w ( v  e.  w  /\  w  e.  ( u  \  {
( U. J  \  S ) } ) ) )
8179, 80syl6ibr 218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  -> 
( v  e.  S  ->  v  e.  U. (
u  \  { ( U. J  \  S ) } ) ) )
8281ssrdv 3185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  ->  S  C_  U. ( u 
\  { ( U. J  \  S ) } ) )
83 unieq 3836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  ( u  \  { ( U. J  \  S ) } )  ->  U. t  =  U. ( u  \  { ( U. J  \  S
) } ) )
8483sseq2d 3206 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  ( u  \  { ( U. J  \  S ) } )  ->  ( S  C_  U. t  <->  S  C_  U. (
u  \  { ( U. J  \  S ) } ) ) )
8584rspcev 2884 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  \  {
( U. J  \  S ) } )  e.  ( ~P s  i^i  Fin )  /\  S  C_ 
U. ( u  \  { ( U. J  \  S ) } ) )  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) S  C_  U. t )
8647, 82, 85syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) S  C_  U. t )
8737, 86syl3an2b 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  u  e.  ( ~P ( s  u. 
{ ( U. J  \  S ) } )  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. u
)  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) S  C_  U. t )
8887rexlimdv3a 2669 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  -> 
( E. u  e.  ( ~P ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  i^i  Fin ) U. J  =  U. u  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) S  C_  U. t
) )
8936, 88mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) S  C_  U. t )
90893exp 1150 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
s  C_  J  ->  ( S  C_  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) S  C_  U. t
) ) )
912, 90syl5bi 208 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
s  e.  ~P J  ->  ( S  C_  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) S  C_  U. t
) ) )
9291ralrimiv 2625 . 2  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  A. s  e.  ~P  J ( S 
C_  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) S  C_  U. t ) )
93 cmptop 17122 . . 3  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
945cldss 16766 . . 3  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  S  C_  U. J
)
955cmpsub 17127 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( ( Jt  S )  e.  Comp  <->  A. s  e.  ~P  J ( S 
C_  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) S  C_  U. t ) ) )
9693, 94, 95syl2an 463 . 2  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( Jt  S )  e.  Comp  <->  A. s  e.  ~P  J
( S  C_  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) S  C_  U. t
) ) )
9792, 96mpbird 223 1  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( Jt  S )  e.  Comp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   ↾t crest 13325   Topctop 16631   Clsdccld 16753   Compccmp 17113
This theorem is referenced by:  hausllycmp  17220  cldllycmp  17221  txkgen  17346  cmphaushmeo  17491  cnheiborlem  18452  cmpcmet  18743  stoweidlem28  27777  stoweidlem50  27799  stoweidlem57  27806
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-fin 6867  df-fi 7165  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cld 16756  df-cmp 17114
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