MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmpcmet Unicode version

Theorem cmpcmet 18759
Description: A compact metric space is complete. One half of heibor 26648. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relcmpcmet.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
relcmpcmet.2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
cmpcmet.3  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
Assertion
Ref Expression
cmpcmet  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )

Proof of Theorem cmpcmet
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcmpcmet.1 . 2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
2 relcmpcmet.2 . 2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
3 1rp 10374 . . 3  |-  1  e.  RR+
43a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  1  e.  RR+ )
5 cmpcmet.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
65adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  J  e.  Comp )
7 metxmet 17915 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
82, 7syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
98adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
101mopntop 18002 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Top )
119, 10syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  J  e.  Top )
12 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
13 rpxr 10377 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
143, 13mp1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  1  e.  RR* )
15 blssm 17984 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  1  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) 1 ) 
C_  X )
169, 12, 14, 15syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
x ( ball `  D
) 1 )  C_  X )
171mopnuni 18003 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
189, 17syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  X  =  U. J )
1916, 18sseqtrd 3227 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
x ( ball `  D
) 1 )  C_  U. J )
20 eqid 2296 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
2120clscld 16800 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x ( ball `  D ) 1 ) 
C_  U. J )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
1 ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
2211, 19, 21syl2anc 642 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
1 ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
23 cmpcld 17145 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  (
( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
1 ) )  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( Jt  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
1 ) ) )  e.  Comp )
246, 22, 23syl2anc 642 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( Jt  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
1 ) ) )  e.  Comp )
251, 2, 4, 24relcmpcmet 18758 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    C_ wss 3165   U.cuni 3843   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1c1 8754   RR*cxr 8882   RR+crp 10370   ↾t crest 13341   * Metcxmt 16385   Metcme 16386   ballcbl 16387   MetOpencmopn 16388   Topctop 16647   Clsdccld 16769   clsccl 16771   Compccmp 17129   CMetcms 18696
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ico 10678  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-cmp 17130  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-flim 17650  df-fcls 17652  df-cfil 18697  df-cmet 18699
  Copyright terms: Public domain W3C validator