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Theorem cmpcov2 17117
Description: Rewrite cmpcov 17116 for the cover  { y  e.  J  |  ph }. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
iscmp.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
cmpcov2  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  ph ) )  ->  E. s  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. s  /\  A. y  e.  s  ph ) )
Distinct variable groups:    x, s,
y, J    ph, s, x   
x, X
Allowed substitution hints:    ph( y)    X( y, s)

Proof of Theorem cmpcov2
StepHypRef Expression
1 dfss3 3170 . . . . . 6  |-  ( X 
C_  U. { y  e.  J  |  ph }  <->  A. x  e.  X  x  e.  U. { y  e.  J  |  ph } )
2 elunirab 3840 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  U. { y  e.  J  |  ph } 
<->  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  ph ) )
32ralbii 2567 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  x  e.  U. { y  e.  J  |  ph }  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  ph ) )
41, 3bitri 240 . . . . 5  |-  ( X 
C_  U. { y  e.  J  |  ph }  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  ph ) )
54biimpri 197 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  ph )  ->  X  C_  U. {
y  e.  J  |  ph } )
6 ssrab2 3258 . . . . . . 7  |-  { y  e.  J  |  ph }  C_  J
7 uniss 3848 . . . . . . 7  |-  ( { y  e.  J  |  ph }  C_  J  ->  U. { y  e.  J  |  ph }  C_  U. J
)
86, 7ax-mp 8 . . . . . 6  |-  U. {
y  e.  J  |  ph }  C_  U. J
9 iscmp.1 . . . . . 6  |-  X  = 
U. J
108, 9sseqtr4i 3211 . . . . 5  |-  U. {
y  e.  J  |  ph }  C_  X
1110a1i 10 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  ph )  ->  U. { y  e.  J  |  ph }  C_  X )
125, 11eqssd 3196 . . 3  |-  ( A. x  e.  X  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  ph )  ->  X  =  U. { y  e.  J  |  ph } )
139cmpcov 17116 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  {
y  e.  J  |  ph }  C_  J  /\  X  =  U. { y  e.  J  |  ph } )  ->  E. s  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ph }  i^i  Fin ) X  =  U. s )
146, 13mp3an2 1265 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  X  =  U. { y  e.  J  |  ph }
)  ->  E. s  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ph }  i^i  Fin ) X  =  U. s )
1512, 14sylan2 460 . 2  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  ph ) )  ->  E. s  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ph }  i^i  Fin ) X  =  U. s )
16 ssrab 3251 . . . . . . . 8  |-  ( s 
C_  { y  e.  J  |  ph }  <->  ( s  C_  J  /\  A. y  e.  s  ph ) )
1716anbi1i 676 . . . . . . 7  |-  ( ( s  C_  { y  e.  J  |  ph }  /\  X  =  U. s )  <->  ( (
s  C_  J  /\  A. y  e.  s  ph )  /\  X  =  U. s ) )
18 an32 773 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( s  C_  J  /\  A. y  e.  s 
ph )  /\  X  =  U. s )  <->  ( (
s  C_  J  /\  X  =  U. s
)  /\  A. y  e.  s  ph ) )
19 anass 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( s  C_  J  /\  X  =  U. s )  /\  A. y  e.  s  ph ) 
<->  ( s  C_  J  /\  ( X  =  U. s  /\  A. y  e.  s  ph ) ) )
2018, 19bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( ( ( s  C_  J  /\  A. y  e.  s 
ph )  /\  X  =  U. s )  <->  ( s  C_  J  /\  ( X  =  U. s  /\  A. y  e.  s  ph ) ) )
2117, 20bitri 240 . . . . . 6  |-  ( ( s  C_  { y  e.  J  |  ph }  /\  X  =  U. s )  <->  ( s  C_  J  /\  ( X  =  U. s  /\  A. y  e.  s  ph ) ) )
2221anbi1i 676 . . . . 5  |-  ( ( ( s  C_  { y  e.  J  |  ph }  /\  X  =  U. s )  /\  s  e.  Fin )  <->  ( (
s  C_  J  /\  ( X  =  U. s  /\  A. y  e.  s  ph ) )  /\  s  e.  Fin ) )
23 an32 773 . . . . 5  |-  ( ( ( s  C_  { y  e.  J  |  ph }  /\  s  e.  Fin )  /\  X  =  U. s )  <->  ( (
s  C_  { y  e.  J  |  ph }  /\  X  =  U. s )  /\  s  e.  Fin ) )
24 an32 773 . . . . 5  |-  ( ( ( s  C_  J  /\  s  e.  Fin )  /\  ( X  = 
U. s  /\  A. y  e.  s  ph ) )  <->  ( (
s  C_  J  /\  ( X  =  U. s  /\  A. y  e.  s  ph ) )  /\  s  e.  Fin ) )
2522, 23, 243bitr4i 268 . . . 4  |-  ( ( ( s  C_  { y  e.  J  |  ph }  /\  s  e.  Fin )  /\  X  =  U. s )  <->  ( (
s  C_  J  /\  s  e.  Fin )  /\  ( X  =  U. s  /\  A. y  e.  s  ph ) ) )
26 elfpw 7157 . . . . 5  |-  ( s  e.  ( ~P {
y  e.  J  |  ph }  i^i  Fin )  <->  ( s  C_  { y  e.  J  |  ph }  /\  s  e.  Fin ) )
2726anbi1i 676 . . . 4  |-  ( ( s  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ph }  i^i  Fin )  /\  X  =  U. s )  <->  ( (
s  C_  { y  e.  J  |  ph }  /\  s  e.  Fin )  /\  X  =  U. s ) )
28 elfpw 7157 . . . . 5  |-  ( s  e.  ( ~P J  i^i  Fin )  <->  ( s  C_  J  /\  s  e. 
Fin ) )
2928anbi1i 676 . . . 4  |-  ( ( s  e.  ( ~P J  i^i  Fin )  /\  ( X  =  U. s  /\  A. y  e.  s  ph ) )  <-> 
( ( s  C_  J  /\  s  e.  Fin )  /\  ( X  = 
U. s  /\  A. y  e.  s  ph ) ) )
3025, 27, 293bitr4i 268 . . 3  |-  ( ( s  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ph }  i^i  Fin )  /\  X  =  U. s )  <->  ( s  e.  ( ~P J  i^i  Fin )  /\  ( X  =  U. s  /\  A. y  e.  s  ph ) ) )
3130rexbii2 2572 . 2  |-  ( E. s  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ph }  i^i  Fin ) X  =  U. s 
<->  E. s  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. s  /\  A. y  e.  s  ph ) )
3215, 31sylib 188 1  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  ph ) )  ->  E. s  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. s  /\  A. y  e.  s  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   Fincfn 6863   Compccmp 17113
This theorem is referenced by:  cmpcovf  17118  locfincmp  26304
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3627  df-uni 3828  df-cmp 17114
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