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Theorem cmpcovf 17174
Description: Combine cmpcov 17172 with ac6sfi 7146 to show the existence of a function that indexes the elements that are generating the open cover. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iscmp.1  |-  X  = 
U. J
cmpcovf.2  |-  ( z  =  ( f `  y )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
cmpcovf  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  E. z  e.  A  ph ) )  ->  E. s  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. s  /\  E. f ( f : s --> A  /\  A. y  e.  s  ps ) ) )
Distinct variable groups:    f, s, x, y, z, A    J, s, x, y, z    ph, f,
s, x    ps, s,
z    x, X, s
Allowed substitution hints:    ph( y, z)    ps( x, y, f)    J( f)    X( y, z, f)

Proof of Theorem cmpcovf
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . 2  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  E. z  e.  A  ph ) )  ->  J  e.  Comp )
2 iscmp.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
32cmpcov2 17173 . 2  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  E. z  e.  A  ph ) )  ->  E. u  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. u  /\  A. y  e.  u  E. z  e.  A  ph )
)
4 elfpw 7202 . . . 4  |-  ( u  e.  ( ~P J  i^i  Fin )  <->  ( u  C_  J  /\  u  e. 
Fin ) )
5 simplrl 736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  ( u  C_  J  /\  u  e.  Fin ) )  /\  ( X  =  U. u  /\  A. y  e.  u  E. z  e.  A  ph ) )  ->  u  C_  J )
6 vex 2825 . . . . . . . . 9  |-  u  e. 
_V
76elpw 3665 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ~P J  <->  u  C_  J
)
85, 7sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  ( u  C_  J  /\  u  e.  Fin ) )  /\  ( X  =  U. u  /\  A. y  e.  u  E. z  e.  A  ph ) )  ->  u  e.  ~P J )
9 simplrr 737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  ( u  C_  J  /\  u  e.  Fin ) )  /\  ( X  =  U. u  /\  A. y  e.  u  E. z  e.  A  ph ) )  ->  u  e.  Fin )
10 elin 3392 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( ~P J  i^i  Fin )  <->  ( u  e.  ~P J  /\  u  e.  Fin ) )
118, 9, 10sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  ( u  C_  J  /\  u  e.  Fin ) )  /\  ( X  =  U. u  /\  A. y  e.  u  E. z  e.  A  ph ) )  ->  u  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) )
12 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  ( u  C_  J  /\  u  e.  Fin ) )  /\  ( X  =  U. u  /\  A. y  e.  u  E. z  e.  A  ph ) )  ->  X  =  U. u )
13 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  ( u  C_  J  /\  u  e.  Fin ) )  /\  ( X  =  U. u  /\  A. y  e.  u  E. z  e.  A  ph ) )  ->  A. y  e.  u  E. z  e.  A  ph )
14 cmpcovf.2 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( f `  y )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
1514ac6sfi 7146 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  Fin  /\  A. y  e.  u  E. z  e.  A  ph )  ->  E. f ( f : u --> A  /\  A. y  e.  u  ps ) )
169, 13, 15syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  ( u  C_  J  /\  u  e.  Fin ) )  /\  ( X  =  U. u  /\  A. y  e.  u  E. z  e.  A  ph ) )  ->  E. f
( f : u --> A  /\  A. y  e.  u  ps )
)
17 unieq 3873 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  u  ->  U. s  =  U. u )
1817eqeq2d 2327 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  u  ->  ( X  =  U. s  <->  X  =  U. u ) )
19 feq2 5413 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  u  ->  (
f : s --> A  <-> 
f : u --> A ) )
20 raleq 2770 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  u  ->  ( A. y  e.  s  ps 
<-> 
A. y  e.  u  ps ) )
2119, 20anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  u  ->  (
( f : s --> A  /\  A. y  e.  s  ps )  <->  ( f : u --> A  /\  A. y  e.  u  ps ) ) )
2221exbidv 1617 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  u  ->  ( E. f ( f : s --> A  /\  A. y  e.  s  ps ) 
<->  E. f ( f : u --> A  /\  A. y  e.  u  ps ) ) )
2318, 22anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( s  =  u  ->  (
( X  =  U. s  /\  E. f ( f : s --> A  /\  A. y  e.  s  ps ) )  <-> 
( X  =  U. u  /\  E. f ( f : u --> A  /\  A. y  e.  u  ps ) ) ) )
2423rspcev 2918 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  ( ~P J  i^i  Fin )  /\  ( X  =  U. u  /\  E. f ( f : u --> A  /\  A. y  e.  u  ps ) ) )  ->  E. s  e.  ( ~P J  i^i  Fin )
( X  =  U. s  /\  E. f ( f : s --> A  /\  A. y  e.  s  ps ) ) )
2511, 12, 16, 24syl12anc 1180 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  ( u  C_  J  /\  u  e.  Fin ) )  /\  ( X  =  U. u  /\  A. y  e.  u  E. z  e.  A  ph ) )  ->  E. s  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. s  /\  E. f ( f : s --> A  /\  A. y  e.  s  ps ) ) )
2625ex 423 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  (
u  C_  J  /\  u  e.  Fin )
)  ->  ( ( X  =  U. u  /\  A. y  e.  u  E. z  e.  A  ph )  ->  E. s  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. s  /\  E. f ( f : s --> A  /\  A. y  e.  s  ps ) ) ) )
274, 26sylan2b 461 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  u  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) )  ->  (
( X  =  U. u  /\  A. y  e.  u  E. z  e.  A  ph )  ->  E. s  e.  ( ~P J  i^i  Fin )
( X  =  U. s  /\  E. f ( f : s --> A  /\  A. y  e.  s  ps ) ) ) )
2827rexlimdva 2701 . 2  |-  ( J  e.  Comp  ->  ( E. u  e.  ( ~P J  i^i  Fin )
( X  =  U. u  /\  A. y  e.  u  E. z  e.  A  ph )  ->  E. s  e.  ( ~P J  i^i  Fin )
( X  =  U. s  /\  E. f ( f : s --> A  /\  A. y  e.  s  ps ) ) ) )
291, 3, 28sylc 56 1  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  E. z  e.  A  ph ) )  ->  E. s  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. s  /\  E. f ( f : s --> A  /\  A. y  e.  s  ps ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1532    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577   E.wrex 2578    i^i cin 3185    C_ wss 3186   ~Pcpw 3659   U.cuni 3864   -->wf 5288   ` cfv 5292   Fincfn 6906   Compccmp 17169
This theorem is referenced by:  txtube  17390  txcmplem1  17391  txcmplem2  17392  xkococnlem  17409  cnheibor  18506
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-br 4061  df-opab 4115  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-1o 6521  df-er 6702  df-en 6907  df-fin 6910  df-cmp 17170
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